8.5空间直线平面平行B
一．选择题（共8小题）
1．、表示平面，、表示直线，则的一个充分条件是
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
2．如图所示的四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为
A．①②
B．③④
C．①②③
D．②④
3．若平面，平面，则与的位置关系是
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
4．在长方体中，，，，，分别是，，的中点，是底面内一个动点，若直线与平面平行，则△面积的最小值为
A．
B．1
C．
D．
5．下列命题中不正确的是
A．平面平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面
B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面
C．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行
D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线
6．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是
A．①③
B．①④
C．①③④
D．②④
7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则的一个充分条件是
A．存在一条直线，，
B．存在一条直线，，
C．存在两条平行直线、，，，，
D．存在两条异面直线、，，，，
8．已知点为所在平面外一点，点、、分别在直线、、上，平面平面，且，则
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共2小题）
9．在四棱锥中，侧面平面，，四边形是正方形，点是棱的中点，则
A．平面
B．平面
C．
D．
10．在正方体中，下列直线或平面与平面平行的有
A．直线
B．直线
C．平面
D．平面
三．填空题（共4小题）
11．正四面体的棱长为2，棱平面，则正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是 ，最大值是 ．
12．空间四边形的两条对角线、所成角为，设，．则过的中点且平行于、的截面四边形的面积为 ．
13．棱长为2的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是 ．
14．如图，长方体中，，，分别是侧棱，上的动点，．点在棱上，且，若平面，则 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：．
16．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面底面，且侧面为菱形，，是的中点，是与的交点．
（1）求证：底面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
17．如图，多面体中，四边形为菱形，且，，，．
（1）求证：面；
（2）求证：．
18．在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点．
（1）求证：平面
（2）求二面角的余弦值．
8.5空间直线平面平行B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：、还可能有，所以不正确
、因为不一定在内，所以不正确
、还可能有，所以不正确
、，且由面面平行的性质定理可知是正确的．
故选：．
2．【解答】解：正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，
在图①中，，，，，
平面平面，
平面，平面，故①能得出平面；
在图②中，，，，，
平面平面，
平面，平面，故②能得出平面；
在图③中，，，，，
平面平面，
平面，平面，故③能得出平面；
在图④中，，平面，平面，
故④不能得出平面．
故选：．
3．【解答】解：平面，平面，
即为平面，的公共点，
平面，有一条经过的公共直线，
故，相交．
故选：．
4．【解答】解：如图，
补全截面为截面，易知平面平面，设于点，
直线平面，
，且当与重合时，最短，此时的面积最小，
由等积法：得，又平面，
，为直角三角形，
故，
故选：．
5．【解答】解：、平面平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面；因为有可能在内；故错误；
、平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面，由面面平行可得一个平面内的线与另一平面平行，故正确；
、一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行，由面面平行的判定可知语句正确；
、分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线；由面面平行的性质可知语句正确；
故选：．
6．【解答】解：在①中，由正方体性质得到平面与所在平面平行，
平面，故①成立；
②若下底面中心为，则，面，
与面不平行，故②不成立；
③过作与平行的直线，则与平面相交，
与面不平行，故③不成立；
④在④中，与平行，平面，故④成立．
故选：．
7．【解答】解：对于，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故不对；
对于，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故不对；
对于，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故不对；
对于，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故正确．
故选：．
8．【解答】解：如图，平面平面，
，，，，
．
又，
，
，
．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：如图，对于，与不一定垂直，不一定垂直平面，故错误；
对于，连接，记，连接，四边形是正方形，为的中点，
，分别为，的中点，，而平面，平面，则平面，故正确；
对于，四边形为正方形，，
侧面平面，平面，
，平面，而平面，得，则，故正确；
对于，取的中点，连接，，，分别为，的中点，，
若，则，设，则，
，由，得，则，
，，，，得，
又，，则平面，而与平面不一定垂直，故错误．
故选：．
10．【解答】解：对于，由于，且平面，可得直线平面；
对于，由于，且平面，可得直线不平行平面；
对于，由于，平面，可得平面不与平面平行；
对于，由于，，，平面，可得平面平面．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱平面，
当平面，这时的投影面是对角线为2的正方形，
此时面积最大，是．
当平面时，射影面的面积最小，
此时构成的三角形底边是2，高是直线到的距离，为，
射影面的面积是．
正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的最小值是，
最大值是2．
故答案为：，2．
12．【解答】解：设截面四边形为，、、分别是、、的中点，
则四边形为平行四边形，
，，或
截面四边形的面积为．
过的中点且平行于、的截面四边形的面积为6．
故答案为：6．
13．【解答】解：如图，由面面平行的性质知截面与平面的交线是△的中位线，所以截面是梯形，
易求其面积为．
14．【解答】解：连接，交于点，连接．
平面，平面，平面平面，
．
在上截取，连接，则，
，
又，
四边形为平行四边形，．
又，，
，即点为的中点，
而，
．
故答案为：2．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】证明：（Ⅰ），点分别是，中点，
，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）四边形是正方形，，
又底面，底面，
，
，平面，
平面，．
16．【解答】解：（1）证法一：取的中点，连接，，
是与的交点，且侧面是菱形，
是的中点，，
底面，底面，底面，
，，为中点，，，
四边形为平行四边形，，
底面，底面，
底面，
，平面，平面，
平面底面，
平面，底面．
证法二：取中点，连接，，
是与的交点，且侧面为菱形，是的中点，
，，
是的中点，，，
是的中点，，，
，，
四边形是平行四边形，，
又底面，底面，
底面．
（2）连接，侧面为菱形，，
△是正三角形，，
侧面底面，侧面底面，侧面，
底面，
底面为正三角形，为的中点，，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
底面是边长为2的正三角形，
，，，，0，，，1，，，0，，
，1，，，1，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
由，取，得，，，
与平面所成角的正弦值为：
．
17．【解答】
证明：（1）设交于点，连接，
四边形为菱形，且，，
，由余弦定理可得：，
，
又，
四边形为平行四边形，可得，
又面，面，
面；
（2）如图，取中点，连接，，
，可得，
四边形为菱形，且，可得，
又，
平面，
平面，
．
18．【解答】证明：（1）设，相交于点，连接，
因为为正方形，所以为的中点，因为是的中点，
所以又因为平面，平面，
所以平面；
（2）平面，，
是正方形，，，
平面，．
以为轴，为轴，如立空间直角坐标系，，，
则：设平面的法向量为：，，，
，
，
，1，，
设平面的法向量为，，，，
，
，
，
二面角是钝角，余弦值为：．8.5空间直线平面平行A
一．选择题（共8小题）
1．若、、是空间中三个不同的平面，，，，则是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．如图，在正方体中，、分别为平面和平面的中心，则正方体的六个面中与平行的平面有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．设，为两个不重合的平面，能使成立的是
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．，垂直于同一平面
4．如图所示的四个正方体中，，是正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为
A．①②
B．②③
C．③④
D．①②③
5．下列条件中，能判断平面与平面平行的是
A．内有无穷多条直线都与平行
B．与同时平行于同一条直线
C．与同时要垂直于同一条直线
D．与同时垂直于同一个平面
6．在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，点在线段上，，平面，则实数的值为
A．
B．
C．
D．
7．如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则
A．
B．
C．
D．以上均有可能
8．在三棱台中，点在上，且，点是△内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是
A．平面
B．直线
C．线段，但只含1个端点
D．圆
二．多选题（共2小题）
9．正方体的棱长为1，，，分别为，，的中点．则
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点到平面的距离相等
10．下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
11．已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：
①，；②，；③，，；
能推得的条件是 ．
12．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，平面分别与，，，交于，，，且，分别是，的中点，如果直线平面，那么四边形的面积为 ．
13．已知平面平面，点是，外一点过的两条直线，分别交于，，交于，，若，，，则 ．
14．已知棱长为2的正方体中，在棱上，且，则过点且与平面平行的正方体的截面面积为 ．
四．解答题（共4小题）
15．已知如图甲，在矩形中，，，分别在，上，且．现将四边形沿折起，使平面平面得到几何体乙，设，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
16．如图，四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，，，，，，分别是，的中点．
（1）①求证：平面；
②求线段的长度．
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
17．如图所示，已知在五棱锥底面为凸五边形，，，，，为上的点，且，平面与底面垂直．求证：
（1）平面；
（2）．
18．已知直角梯形中，，，，，为线段上的动点（异于、，交于点，沿折叠使二面角为直二面角．
在线段上是否存在点，使面？若存在，则求出的长；若不存在，则说明理由；
（Ⅱ）若直线与面所成的角为，求的取值范围．
8.5空间直线平面平行A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：根据题意，如图，若，则平面，则有，则是的充分条件，
反之：若，则平面，则有，则是的必要条件，
故是的充要条件，
故选：．
2．【解答】解：如图，连接，，，，，
则由题意可得，
又平面，平面，平面，平面，
所以平面，平面，平面，平面，
则正方体的六个面中与平行的平面有4个．
故选：．
3．【解答】解：对于，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以错误；
对于，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，，所以正确；
对于，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，错误；
对于，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以错误．
故选：．
4．【解答】解：对①，连接交于点，则，易知平面，即①正确，故排除；
对③，由正方体的性质可知，平面平面，又在平面内，故平面，即③正确，故排除．
故选：．
5．【解答】解：对于，若内有无穷多条平行的直线与平行，则不能说明平行；
对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项正确．
故选：．
6．【解答】解：连交于，交于，连接，如图
则为的中点，
又为边上中线，为正三角形的中心，
令菱形的边长为，则，．
平面，平面，平面平面
即，．
故选：．
7．【解答】解：四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．
故选：．
8．【解答】解：过作，交于，连结，
在三棱台中，点在上，且，
，，
平面平面，
点是△内（含边界）的一个动点，且有平面平面，
的轨迹是线段，且与不重合，
动点的轨迹是线段，但只含1个端点．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：取中点，则为在平面上的射影，
与不垂直，与不垂直，故错；
取中点，连接，，可得平面平面，故正确；
把截面补形为四边形，由等腰梯形计算其面积，故正确；
假设与到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，
连接交于，而不是中点，则假设不成立，故错．
故选：．
10．【解答】解：在中，连接，则，由正方体性质得到平面平面，
平面，故成立；
若下底面中心为，则，面，
与面不平行，故不成立；
过作，则是中点，
则与平面相交，则与平面相交，
与面不平行，故不成立；
连接，则，，则，平面，故成立．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：①，；可能；
②，；面面平行的性质得出成立；
③，，；若与相交，可能与相交，
故答案为：②
12．【解答】解：、、、分别是、、、的中点，
，，．，
则四边形是平行四边形，且，，
取的中点，连结，
，，
，，
，
平面，
，
则，
即四边形是矩形，
四边形的面积．
故答案为：10．
13．【解答】解：当两个平面在点的同侧时，如图1所示：
由面面平行的性质定理可得，
所以，由，，，解得；
当点在两个面的中间时，如图2所示：
由，可得，
所以．
综上知，的值为6或2．
故答案为：2或6．
14．【解答】解：取的中点，取，使，取使，连接，，，由平行性质可知：且，即四边形为平行四边形，
棱长为2的正方体中，在棱上，且，，
，，面，面，
，
面面，
，，
四边形为菱形，，
，
截面面积．．
故答案为：，
四．解答题（共4小题）
15．【解答】证明：（1）取的中点，连接，，
，分别是，的中点，，，
四边形是矩形，是的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
（2）四边形是矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，，
同理可证：，
设，，则，
，，
，，
，
．
16．【解答】解：（1）①证明：取的中点，则，，
，，
平面平面，
平面；
②由①可知，，
由余弦定理有，．
（2），
，
又，，
平面，
平面平面，
延长到，使得，则平面，，
，，
，
设到平面的距离设为，则，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
17．【解答】证明：（1）如图，凸五边形，延长、交于点．
，
，为等边三角形，
．
，
．
又平面，平面，
平面；
（2）如图，连结．
是等边三角形，
，
．
又，
为等边三角形．
又，
．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
又平面，
．
18．【解答】解：（Ⅰ）假设在线段上存在点，使面，则即可，
，平面，平面，
面，
，，，又，
四边形是平行四边形，
．
（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，0，，，0，，，4，，，0，，，，，，2，，
，4，，，2，，，，，
，，
，1，，
，
直线与面所成的角为，
．
．
