8.6空间直线、平面的垂直B
一．选择题（共8小题）
1．如图，在三棱锥中，不能证明的条件是
A．平面
B．，
C．，
D．，平面平面
2．如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论
①；
②是等边三角形；
③三棱锥是正三棱锥；
④平面平面
其中正确的是
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
3．已知、为两个不同平面，为直线且，则“”是“”
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．直线与平面垂直的一个充分条件是
A．垂直于平面内的一条直线
B．垂直于平面内的两条直线
C．垂直于平面内的无数条直线
D．垂直于平面内的任一条直线
5．如图，四棱锥中，与是正三角形，平面平面，，则下列结论不一定成立的是
A．
B．平面
C．
D．平面平面
6．如图，在中，，为所在平面外一点，平面，则四面体中直角三角形的个数为
A．4
B．3
C．2
D．1
7．已知梯形如图（1）所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当点满足时，平面平面，则的值为
A．
B．
C．
D．
8．把正方形沿对角线折成直二面角后，下列命题正确的是
A．
B．
C．平面
D．平面平面
二．多选题（共2小题）
9．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是
A．直线与所成的角可能是
B．平面平面
C．三棱锥的体积为定值
D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
10．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是
A．在棱上存在点，使平面
B．异面直线与所成的角为
C．二面角的大小为
D．平面
三．填空题（共4小题）
11．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点．若，则面积的最小值为 ．
12．若直线垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆周上异于，的一点，有下列关系：
①；②平面；③；④．
其中正确的是 ．
13．已知，，，，是球的球面上的五个点，四边形为梯形，，，，为等边三角形且平面平面，则球的表面积为 ．
14．已知正方形的边长为，平面，且，则 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图，长方体中，，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：．
16．如图，在四棱锥中，，平面平面，，在上，且．
（1）求证：平面平面；
（2）设直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
17．如图，边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相垂直，，分别为，的中点，
（1）求证：平面．
（2）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，点是的中点，于点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
8.6空间直线、平面的垂直B
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由平面，平面，可得，故正确；
由，，可得为异面直线，的公垂线，
若，由，可得平面，则，不一定成立，故错误；
由，，又，可得平面，可得，故正确；
由，平面平面，可得平面，可得，故正确．
故选：．
2．【解答】解：设等腰直角三角形的腰为，则斜边，
①为的中点，，
又平面平面，平面平面，，平面，
平面，又平面，
，故①正确；
②由知，平面，平面，
，又，
由勾股定理得：，又，
是等边三角形，故②正确；
③是等边三角形，，
三棱锥是正三棱锥，故③正确．
④为等腰直角三角形，取斜边的中点，则，又为等边三角形，连接，则，
为平面与平面的二面角的平面角，
由平面可知，为直角，不是直角，故平面与平面不垂直，故④错误；
综上所述，正确的结论是①②③．
故选：．
3．【解答】解：根据题意，当“”时，必有“”，
反之，当“”时，可能在平面内，即“”不一定成立，
则“”是“”的必要不充分条件；
故选：．
4．【解答】解：在中，垂直于平面内的一条直线，
则与平面相交或，故错误；
在中，垂直于平面内的两条直线，
当这两条直线是平行线时，与平面有可能相交，故错误；
在中，垂直于平面内的无数条直线，
当这无数条直线没有交点时，与平面有可能相交，故错误；
在中，垂直于平面内的任一条直线，由线面垂直的判定定理得，故正确．
故选：．
5．【解答】解：在中，取中点，连结、，
四棱锥中，与是正三角形，平面平面，，
，，
，平面，
平面，，故成立；
在中，与是正三角形，，，
设，则是中点，连结，则，
若平面，则，
由已知条件得点满足，且位于的延长线上，
点的位置不确定，与不一定垂直，
与平面不一定垂直，故不成立；
在中，平面，平面，，
，，平面，
平面，，故成立；
在中，平面，平面，
平面平面，故成立．
故选：．
6．【解答】解：在中，，
为所在平面外一点，平面，
，，
，
平面．
四面体中直角三角形有，，，．
故选：．
7．【解答】解：由题意，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，4，，，0，，，4，，，0，，，0，，，0，，
设，0，，，，
则，0，，0，，，，0，，
，，，，，，，4，，，0，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，1，，
平面平面，
，解得．
故选：．
8．【解答】解：取的中点为连接、．
，易证：，是正三角形，不正确．
，易证平面，正确；
，把正方形沿对角线折成直二面角，平面，所以、，不垂直，不正确；
，易证：，是正三角形，取中点，连接，，设正方形边长为1，则可求，，
即有，可得，即可证命题不正确．
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，设，，，，
，，，，1，，
，，
，，
又当时，，
当，时，，
，
直线与所成的角为，故错误；
对于，正方体中，，，
，平面，
平面，平面平面，故正确；
对于，，到平面的距离，
三棱锥的体积：
，为定值，故正确；
对于，平面截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故错误．
故选：．
10．【解答】解：如图所示，．取的中点，连接，，连接对角线，相交于点．
侧面为正三角形，．又底面为菱形，，是等边三角形．
．又．平面，因此正确．
．由可得：平面，，异面直线与所成的角为，正确．
．平面平面，，平面，，．
是二面角的平面角，设，则，在中，，，因此正确．
．与不垂直，与平面不垂直，因此错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：设，，则，
平面，平面，，
，，平面，，
由题意得，，
在中，，，
化简，得，
在中，，，
，
，
当且仅当，
时，等号成立，．
面积的最小值为．
故答案为：．
12．【解答】解：直线垂直于以为直径的圆所在的平面，
为圆周上异于，的一点，
以为直径的圆所在的平面，，故①正确；
是圆的直径，为圆周上异于，的一点，
，又，，
平面，故②正确；
，但与相交且不垂直，与不垂直，故③错误；
平面，平面，，故④正确．
故答案为：①②④．
13．【解答】解：由题意可知，几何体的图形，如图：为等边三角形，为的中点，
底面是等腰梯形，侧面是正三角形与底面垂直，所以四棱锥的外接球的球心是，在底面的外心的垂直直线与侧面的外心的垂直直线的交点，
因为，，，为等边三角形且平面平面，
所以是底面的外心，半径为2，，是正三角形的外心，，，
所以外接球的半径为，
则球的表面积为：．
故答案为：．
14．【解答】解：如图所示，平面，平面，
，
正方形的边长为，且，
．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】证明：（Ⅰ）连结、，交于点，连结，
长方体中，，为的中点．
是中点，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）长方体中，，
，，
，平面，
平面，．
16．【解答】解：（1）连接，．
，，在上，且．
，四边形为菱形，
平面平面，面，
且，面．
平面，平面平面；
（2）易得四边形，为菱形，、、均为正三角形．
设，可得，
由（1）得面，为直线与平面所成的角，．
，．，
过作直线，可得面平面．
取中点，则，又，可得．
平面与平面所成的锐二面角．
在中，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．．
17．【解答】解：（1）证明：连接交于点，连接，
由正方形知为的中点，
为的中点，．
平面，平面，
平面．
（2）解：存在点，当为中点时，平面平面，证明如下：
四边形是正方形，为的中点，
．
为的中点，为正三角形，
．
又平面平面，且面面，平面
平面．
又平面，．
又，平面．
平面，平面平面．
18．【解答】证明：（1）在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，
，，点是的中点，于点．
底面是正方形，
由条件有，，
平面，且平面，．
又，是的中点，．
平面．平面，．
由已知，平面．
又平面，平面平面．
解：（2）取中点，则．
作于，连结．
底面，底面．
为在平面内的射影
，．
为二面角的平面角．
设，在中，，，
，．
二面角的余弦值为．8.6空间直线、平面的垂直A
一．选择题（共8小题）
1．已知直线平面，直线平面，则下列结论一定不正确的是
A．，相交
B．，异面
C．
D．
2．所在平面外一点，分别连接、、，则这四个三角形中直角三角形最多有
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
3．在正方体中，为的中点，为的中点，则
A．
B．
C．平面
D．平面
4．已知直线，，平面，且，下列条件中能推出的是
A．
B．
C．
D．与相交
5．如图，正四面体中，，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是直线的动点，则
A．存在点，使成立
B．存在点，使成立
C．不存在点，使平面平面成立
D．不存在点，使平面平面成立
6．正方体中与垂直的平面是
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
7．如图，垂直于矩形所在的平面，则图中与平面垂直的平面是
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
8．如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是
A．平面平面
B．
C．平面平面
D．平面
二．多选题（共2小题）
9．如图，点在正方体的面对角线上运动，则正确的结论是
A．三棱锥的体积不变
B．平面
C．
D．平面平面
10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，截面与直线平行，与交于点，则下列判断正确的是
A．为的中点
B．与所成的角为
C．平面平面
D．点与点到平面的距离相等
三．填空题（共4小题）
11．将一本书打开后竖立在桌面上（如图），则书脊所在直线与桌面的位置关系为 ．
12．如图，已知平行四边形中，，，，平面，且，则 ．
13．在正方体中，，分别是，的中点，在上，若平面平面，则 ．
14．在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面，，别是线段，的中点，点在线段上．若，，，则 ．
四．解答题（共4小题）
15．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为对角线与的交点，为棱的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）证明：．
16．在四棱锥中，底面四边形是一个菱形，且，，平面．
（1）若是线段上的任意一点，证明：平面平面．
（2）当平面与平面所成的锐二面角的余弦值为时，求的长．
17．如图所示，在直三棱柱中，侧面和侧面都是正方形且互相垂直，为的中点，为的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
8.6空间直线、平面的垂直A
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：由平面的垂线的定义可知，
在平面内肯定不存在与直线平行的直线．
故选：．
2．【解答】解：如果一个三棱锥中，侧棱底面，并且中是直角．
因为的射影，所以平面的斜线，
所以是直角．
由底面，所以，都是直角．
因此三棱锥的四个面中；；；都是直角．
所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．
故选：．
3．【解答】解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为2，
则，0，，，1，，，2，，，0，，，0，，
在中，，1，，，，，
与不平行，故错误；
在中，，0，，，
与不垂直，故错误；
在中，平面的法向量，1，，
，与平面不平行，故错误；
在中，，0，，，2，，
，，，，
，平面．
故选：．
4．【解答】解：中，若，由，可得；故不满足题意；
中，若，由，可得；故不满足题意；
中，若，由，可得；故正确；
中，若与相交，由，可得，异面或平，故不满足题意．
故选：．
5．【解答】解：正四面体中，，分别是线段的三等分点，
是线段的中点，是直线的动点，
在中，取中点，连结，，
则，，平面，，
，不存在点，使成立，故错误；
在中，连结，则，
是上的动点，存在点，使成立
存在点，使成立，故正确；
在中，是上动点，存在点，使平面成立，
存在点，使平面平面成立，故错误；
在中，是上动点，存在点，使平面成立，
存在点，使平面平面成立，故错误．
故选：．
6．【解答】解：正方体中，
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，与平面相交但不垂直，故错误；
在中，，，，
平面，故正确．
故选：．
7．【解答】解：由平面，得，
由四边形为矩形得，
从而有平面，平面，
所以平面平面．
故选：．
8．【解答】解：对于，平面平面，平面平面，，
平面，平面平面，即正确；
对于，平面，平面，，即正确；
对于，，，，平面，平面平面，即正确；
对于，若平面，则，与矛盾，
故选：．
二．多选题（共2小题）
9．【解答】解：对于，由题意知，从而平面，
故上任意一点到平面的距离均相等，所以以为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；
对于，连接，，且相等，由于选项知：，
所以面，从而由线面平行的定义可得，故正确；
对于，由于平面，所以，
若，则平面，，则为中点，与为动点矛盾，故错误；
对于，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，故正确．
故选：．
10．【解答】解：对于，连结，交于点，连结，则平面平面，
平面，平面，平面，，
四边形是正方形，，，选项正确；
对于，，（或其补角）为与所成角，
平面，平面，，
在中，，，
与所成角为，选项错误；
对于，四边形为正方形，，
平面，平面，，
，平面，
又平面，平面平面，选项正确；
对于，则，
所以点与点到平面的距离相等，选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
11．【解答】解：如图设桌面所在平面为平面，
由，，
且平面，平面，
且，
可得平面，
故答案为：垂直．
12．【解答】解：由余弦定理有，，
，
平面，在平面内，
，
．
故答案为：7．
13．【解答】解：，分别是，的中点，．
根据正方体的性质可得面，即可得．
当为中点时，，又．
面，
即可得平面平面．
则．
故答案为：2．
14．【解答】解：取的中点，连接，．
平面，平面，，
而，，平面，故平面，
又平面，．
又，，平面，
平面，．
，分别为，的中点，，则，
在直角三角形中，，，可求得．
由等面积法可得．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
15．【解答】证明：四边形是正方形，为对角线与的交点，
是的中点，又是的中点，
，
又平面，平面，
平面．
四边形是正方形，
，
平面，平面，
，
又平面，平面，，
平面，
又平面，
．
16．【解答】解：（1）证明：四边形是一个菱形，
，
又平面，
，
又，则平面，
在平面内，
平面平面；
（2）设，交于点，分别以，所在直线为轴，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设，，，则，
设平面的一个法向量为，则，可取，
同理可求平面的一个法向量为，
，解得，
．
17．【解答】证明：由题意知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设正方形的边长为2，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，
，0，，，0，，，1，，
（1）由题意知，，
又，，平面，
所以平面，
因为，，1，，
所以，即．
又平面，
故平面．
（2）设平面与平面的法向量分别为，
因为，2，，，则，
所以令，则平面的一个法向量为，
同理可得平面的一个法向量为，
因为，
所以，
所以平面平面．
18．【解答】解：（Ⅰ）证明：，为中点，
，
又，
，则，
又侧面底面，侧面底面，
平面，
又在平面内，
平面平面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，1，，，2，，假设存在点，，满足题意，则，
设平面的一个法向量为，则，设，则，
设平面的一个法向量为，则，设，则，
平面与平面所成的角的余弦值为，
，
，即存在点为的中点，使得平面与平面所成的角的余弦值为．
