吉林省松原市实验高级中学2021届高三下学期月考（一）（四月第一周）文科数学试题 Word版含答案解析

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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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【月考试卷】
吉林省松原市实验高级中学
2020-2021学年度下学期高三月考测试金卷（四月第一周）
文 科 数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下图是某统计部门网站发布的《某市2020年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第个月与去年第个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）
2020年居民消费价格月度涨跌幅度

下列说法错误的是（ ）
①年月CPI环比下降，同比上涨
②年月CPI环比上升，同比无变化
③年月CPI环比下降，同比上涨
④年月CPI环比下降，同比上涨
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
6．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为，现从，，，，这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（ ）

A． B． C． D．
8．设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
9．在四边形中，，，为等边三角形，将沿边折起，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．当时，函数的最小值为
D．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位
12．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则__________．
14．已知正方形的边长为，点满足，则__________．
15．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．
16．在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．

①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；
②当时，面与正方体的截面面积为；
③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；
④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求证：．













18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．
（1）证明：当时，直线平面；
（2）当平面时，求的体积．













19．（12分）某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了名学生，其中有四成学生经常使用手机．名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于分为一般，分以上为良好．


（1）根据以上资料完成以下列联表，并判断有多大的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”；
物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机
经常使用手机
合计
（2）现将个成绩分为，，，，共组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这名学生的物理平均成绩的估计值；
（3）从这名学生成绩高于分的人中随机选取人，求至少有一人不使用手机的概率．
附表及公式：，．















20．（12分）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线，为切点，延长与“蒙日圆”点交于点，为坐标原点，若直线，的斜率存在，且分别设为，，证明：为定值．















21．（12分）已知函数．
（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，讨论函数零点的个数．





























请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线极坐标方程为，且曲线与直线有且只有一个交点．
（1）求；
（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点，交曲线异于原点的一点，，求的取值范围．



















23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）求的最小值；
（2）在（1）的件下，证明：．






文 科 数 学（一）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】由，，，故选A．
2．【答案】B
【解析】，故选B．
3．【答案】C
【解析】若，，则平面和可能平行，也可能相交；
若，，则，
所以是的必要而不充分条件，故选C．
4．【答案】A
【解析】由，，则，所以A正确；
当，时，，所以B不正确；
由函数为减函数，又，所以，故C不正确；
当，时，，所以D不正确，
故选A．
5．【答案】D
【解析】观看拆线图，年月CPI环比下降，同比上涨，①正确，②错误；
年月CPI环比下降，同比上涨，④正确，③错误，
故选D．
6．【答案】D
【解析】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数的定义域为，关于原点对称，利用正弦函数知为奇函数，
又，当时，；当时，，
故不满足在区间上单调递增，不符合题意；
对于C，函数的定义域为，关于原点对称，
又，故为偶函数，不符合题意；
对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，
又，故为奇函数，
又利用指数函数知在上单调递增，在上单调递减，
故在上单调递增，符合题意，
故选D．
7．【答案】B
【解析】由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从，，，，这五个数中任取两个数，这两个数的和是7，
任选两个数包含，，，，，，，，，，共有10种情况，
其中和为7的有，两种情况，
所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率，故选B．
8．【答案】A
【解析】令，，
则函数为偶函数，故排除B、D；
当时，，，则，故排除C，
故选A．
9．【答案】D
【解析】取的中点为，连接，
因为，所以三角形外接圆的圆心为，且，
因为平面平面，所以平面，
因为为等边三角形，所以三棱锥外接球的球心在上，
设球心为，半径为，连接，，
由，解得，
即三棱锥外接球的表面积为，故选D．

10．【答案】C
【解析】如图，作，，，
则设，则，
由抛物线定义可知，，，，，，
因为，所以，即，得，
所以，故选C．

11．【答案】D
【解析】由题意可得，函数的最小正周期为，，
所以，，
由于函数的图象关于点对称，则，
可得，
，，，所以，．
对于A选项，当时，，
所以，函数在上单调递减，A选项错误；
对于B选项，，
所以，函数的图象不关于直线对称，B选项错误；
对于C选项，当时，，，C选项错误；
对于D选项，，
所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，D选项正确，
故选D．
12．【答案】B
【解析】由，则，
因为函数存在两个极值点，，
所以，即，
，，
，
设，则，
当时，，则在上单调递减．
所以，
所以的取值范围是，故选B．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】由余弦定理得，
，化简得，解得，
所以，故答案为．
14．【答案】
【解析】
，
故答案为．
15．【答案】
【解析】因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，
因为，所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为．

16．【答案】①②④
【解析】由题设可得为所在棱的中点．
当时，如图（1），

直线 分别交，于，连接并延长于，
连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确；

当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，
其面积为，故②正确；
当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误；


在平面内，设，则，而平面，
故平面，同理平面，
故平面平面，即、、三条直线交于一点，
故答案为①②④．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）解：由已知，得，，
，，，
即，解得或（舍去），
，．
（2）证明：，
左边，
右边，
因此，原式得证．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：连接与交于点，连接，
，，，，
，，，
又面，面，平面．

（2）解：平面，平面，，
，是的中点，
面面，点到面的距离为，
点到面的距离为，
．
19．【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）直方图见解析，；（3）．
【解析】（1）
物理成绩一般
物理成绩良好
合计
不使用手机
经常使用手机
合计
，
有的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”．
（2）

设名学生物理平均成绩估计值为，
．
（3）高于分经常使用手机的有人，分别设为，，
不使用手机的有人，分别设为，，，，，
高于分人中随机抽取人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，
则至少有一人不使用手机的概率为．
20．【答案】（1），；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意知，，，，
椭圆的方程，
“蒙日圆”的方程为，即．
（2）当切线的斜率存在且不为零时，设切线的方程为，
则由，消去，得，
，，
由，消去，得，
，
设，，则，，
，
，，
当切线的斜率不存在且为零时，成立，为定值．
21．【答案】（1）；（2）答案见解析．
【解析】（1）因为在上单调递减，
等价于在恒成立，
变形得恒成立，
而（当且仅当，即时，等号成立），
所以．
（2），令，解得，
当变化时，，的取值及变化如下表：
极小值
所以，
（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；
（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；
（ⅲ）当时，，
①因为，所以在增区间内有唯一零点；
②，设，则，
因为，所以，即在上单调递增，
所以，即，所以在减区间内有唯一的零点，
所以当时，在定义域内有两个零点，
综上所述：当时，在定义域内无零点；
当时，在定义域内有唯一的零点；
当时，在定义域内有两个零点．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）消去参数可得直线的普通方程为，
由，可得，故，
故曲线的普通方程为．
因为曲线与直线有且只有一个交点，所以直线与曲线相切，
所以圆心到直线的距离为到直线，
所以，解得或（舍去）．
（2）直线的极坐标方程为，
曲线极坐标方程为，
则设点的极坐标为，点的极坐标为，，，
，，
，
，，
，．
23．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1），
在递减，在递增，
当时，的最小值为．
（2）证明：，
当时，原式；
当时，原式，
，，
或用如下方法：
．