上海市华师大二附中2021届高三下学期4月月考数学试题 Word版含答案解析

2020-2021学年上海市华师大二附中高三下4月月考
数学卷
一、填空题
1.已知false（false为虚数单位），则false
2.若一个圆锥的轴截面是面积为false的等边三角形，则该圆锥的表面积为
3.若点false在抛物线false上，点false为该抛物线的焦点，则false的值为
4.圆false（false为参数）的圆心到直线false的距离为
5.false展开式的二项式系数之和为false，则展开式中false的系数为 （用数字填写答案）
274193012147556.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于false与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为false，故其总曲率为false，则四棱锥的总曲率为
7.在数列false中，若对一切false都有false且false，则false的值为
8.已知函数false(其中false为常数，且false)有且仅有3个零点，则false的最小值为
9.关于false的不等式false共有2021个整数解，则false的取值范围为
499808582740510.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶）， 而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为
11.已知false的外接圆圆心为false，
若false（false为实数）有最小值，则参数false的取值范围为
12.关于false的方程false在区间false上恰好有两个不等实根，则实数false的取值范围为
二、选择题
13.已知全集false，集合false是false的非空子集，且false，则必有（ ）
A. false B. false C. false D. false
14.“false”是“直线false与直线false平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
15.已知false的反函数图像的对称中心为false， 则false的值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
16.设false，若三个数false能组成一个三角形的三条边长，则实数false的取值范围为（ ）
A.false B.false C.false D.false
三、解答题
17.如图在三棱锥false中，棱false、false、false两两垂直，false，点false在false上，且false．
333248050800（1）求异面直线false和false所成的角的大小；
（2）求三棱锥false的体积．
18.若函数false对定义域内的每一个值false，在其定义域内都存在唯一的false，使false成立，则该函数为“依附函数”.
（1）判断函数false是否为“依附函数”，并说明理由；
（2）若函数false在定义域false上“依附函数”，求false的取值范围.
19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济?小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中false，且在该区域内点false处有一个路灯，经测量点false到区域边界false、false的距离分别为false，false，(false为长度单位).陈某准备过点false修建一条长椅false（点false，false分别落在false，false上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点false到点false的距离；
（2）为优化经营面积，当false等于多少时，该三角形false区域面积最小？并求出面积最小值.
20.已知false，如图，曲线false由曲线false：false和曲线false：false组成，其中点false为曲线false所在圆锥曲线的焦点，点false为曲线false所在圆锥曲线的焦点.
（1）若false，求曲线false的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线false平行于曲线false的渐近线，交曲线false于点false，求弦false的中点false的轨迹方程；
（3）对于（1）中的曲线false，若直线false过点false交曲线false于点false，求false面积的最大值.
21.已知无穷数列false满足：false，false（false，false）．对任意正整数false，记false，false．
（1）写出false，false；
（2）当false时，求证：数列false是递增数列，且存在正整数false，使得false；
（3）求集合false．
2020-2021年上海市华师大二附中高三下4月月考
数学卷答案
一、填空题
1.已知false（false为虚数单位），则false
【解析】因为false，所以false，所以false，所以false.
2.若一个圆锥的轴截面是面积为false的等边三角形，则该圆锥的表面积为
【解析】设等边三角形的边长为false，则false，解得false，
所以圆锥的底面半径false，母线false，
所以该圆锥的表面积为false.
3.若点false在抛物线false上，点false为该抛物线的焦点，则false的值为
【解析】由抛物线的定义，false.
4.圆false（false为参数）的圆心到直线false的距离为
【解析】圆心false到直线false的距离false.
5.false展开式的二项式系数之和为false，则展开式中false的系数为 （用数字填写答案）
【解析】由题意得false，所以false，
所以展开式的通项为false，令false，得false，
所以展开式中false的系数为false.
6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于false与多面体在该点的面2647315399415角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为false，故其总曲率为false，则四棱锥的总曲率为
【解析】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以面角和为false，总曲率为false.
7.在数列false中，若对一切false都有false且false，则false的值为
【解析】因为false，所以数列false是公比为false的等比数列，
所以false，解得false.
8.已知函数false(其中false为常数，且false)有且仅有3个零点，则false的最小值为
【解析】因为函数false为偶函数，又有且仅有3个零点，故必有1个
零点为0，所以false，所以false，故false，
由false得false，所以false，而false，
所以false，所以false的最小值为false.
9.关于false的不等式false共有2021个整数解，则false的取值范围为
【解析】显然false，由false解得false，
因为共有2021个整数解，所以false，解得false，
所以false，故这2021个整数解只能为false，
所以false，解得false.
457200055689510.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶）， 而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为
【解析】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，
所以逆时针方向跳的概率是false，顺时针方向跳的概率是false，
若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，
则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，
若先按逆时针开始从A→B,则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针
跳，则对应的概率为false；
若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时
针跳，则对应的概率为false；
故跳四次之后停在A叶上的概率为false.
11.已知false的外接圆圆心为false，若
false（false为实数）有最小值，则参数false的取值范围为
【解析】因为false，
false，
又false，
所以false，即false，
解得false，代入false，
化简得false，因为false且有最小值，
所以false，解得false，
所以参数false的取值范围为false.
12.关于false的方程false在区间false上恰好有两个不等实根，则实数false的取值范围为
【解析】false，
令false，
由复合函数的单调性得false在false上递增，在false上递减，
457644576835 在false上递增，
又false，
故false，故实数false的取值范围为false.
二、选择题
13.已知全集false，集合false是false的非空子集，且false，则必有（ A ）
A. false B. false C. false D. false
【解析】作出韦恩图易得A.
14.“false”是“直线false与直线false平行”的（ D ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
【解析】若直线false与直线false平行，
则false且false，即false，故为充要条件，故选D.
15.已知false的反函数图像的对称中心为false，则false的值为（ B ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】false，故false的对称中心为false，
因为false的反函数图像的对称中心为false，所以false的对称中心为false，
所以false，所以false，故选B.
16.设false，若三个数false能组成一个三角形的三条边长，则实数false的取值范围为（ C ）
A.false B.false C.false D.false
【解析】因为false，令false，
则false，所以false，
因为false能组成一个三角形的三条边长，所以false，
即false，
因为false，所以令false，
则false，
即false，
因为false，
当且仅当false时取等号，但是取不到，所以false，
所以false，所以false；
令false，则false，
可用求导或其他方法得出false在false上单调递增，
所以false，所以false，
所以false，
综上，false，故选C.58019956821805
三、解答题
485140030035517.如图在三棱锥false中，棱false、false、false两两垂直，false，点false在false上，且false．
（1）求异面直线false和false所成的角的大小；
（2）求三棱锥false的体积．
【解析】法一：
（1）如图，取线段false，连结false、false.
因为false∥false，所以false的大小等于异面直线false和false所
成的角或补角的大小．…………3分
false，false
false,false……6分
所以异面直线false和false所成的角的大小等于false．………………7分
（2）因为false、false、false两两垂直,false，false,false.
所以false.…………9分
false.…………11分
false.
所以三棱锥false的体积大小等于3（立方单位）．……………14分
法二：
（1）因为棱false两两垂直，如图建系，
385318046990 则false，
所以false，
设false和false所成角为false，
则false，
所以false；
（2）false，
又false，且false相交于点false，
所以false平面false，
则false.
18.若函数false对定义域内的每一个值false，在其定义域内都存在唯一的false，使false成立，则该函数为“依附函数”.
（1）判断函数false是否为“依附函数”，并说明理由；
（2）若函数false在定义域false上“依附函数”，求false的取值范围.
【解析】（1）对于函数false的定义域false内存在false，
则false，无解.
故false不是“依附函数”；
（2）首先证明：当false在定义域上false上单调递增，且为“依赖函数”时，有
false。
假设false，则当false时，存在false，使得false，
当false时，存在false，使得false，
由于false在定义域上false上单调递增，故false，
所以false与false矛盾，
故false.
因为false在false递增，故false，
即false，false，
由false，故false，得false，
从而false在false上单调递增，故false.
19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济?小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中false，且在该区域内点false处有一个路灯，经测量点false到区域边界false、false的距离分别为false，false，(false为长度单位).陈某准备过点false修建一条长椅false（点false，false分别落在false，false上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
（1）求点false到点false的距离；
（2）为优化经营面积，当false等于多少时，该三角形false区域面积最小？并求出面积最小值.
【解析】（1）连接false，在false中，false，
由余弦定理得false，所以false，
在false中，由余弦定理得false，
在false中，由正弦定理得false，
解得false，
在直角false中，false，所以false；
（2）false，
false，
false，
所以false，当且仅当false，即false时取等号，
所以false.
20.已知false，如图，曲线false由曲线false：false和曲线false：false组成，其中点false为曲线false所在圆锥曲线的焦点，点false为曲线false所在圆锥曲线的焦点.
（1）若false，求曲线false的方程；
（2）如图，作斜率为正数的直线false平行于曲线false的渐近线，交曲线false于点false，求弦false的中点false的轨迹方程；
（3）对于（Ⅰ）中的曲线false，若直线false过点false交曲线false于点false，求false面积的最大值.
【解析】（1）由题意得false，所以false，解得false，
则曲线false的方程为：false和false.
（2）由题意曲线false的渐近线为：false，设直线false，
由false，得false，
所以false，解得：false，
又由数形结合知false. 设点false，
则false，false，所以false，false，
所以false，即点false在射线false上.
（3）由（1）得，曲线false，点false，
设直线false的方程为：false，
由false，得false，
所以falsefalse，
设false，所以false，false，
所以false，
所以false面积
false，
令false，所以false，所以false
当且仅当false，即false时取等号，所以false面积的最大值为false.
21.已知无穷数列false满足：false，false（false，false）．对任意正整数false，记false，false．
（1）写出false，false；
（2）当false时，求证：数列false是递增数列，且存在正整数false，使得false；
（3）求集合false．
【解析】（1）false，false．
（2）当false时，对任意false，都有
false，所以false．
所以数列false是递增数列．
false 所以false．
令false，则false，
所以false．
所以存在正整数false，使得false．
（3）由题意得，对任意false，都有false且false．
由（2）得，当false时，存在正整数false，使得false，所以false．
所以若false，则false．
又因为false，所以若false，则false．
所以若false，则false，即false．
下面证明false．
①当false时，对任意false，都有false．
下证对任意false，false．
假设存在正整数false，使得false．
令集合false，则非空集合false存在最小数false．
因为false，所以false．
因为false，所以false．
所以false，与false矛盾．
所以对任意false，false．
所以当false时，false．
②当false时，false．
下证对任意false，false．
假设存在正整数false，使得false．
令集合false，则非空集合false存在最小数false．
因为false，所以false，所以false．
因为false，所以false．
false，且false，
所以false，与false矛盾．
所以当false时，false．
所以当false时，对任意false，都有false．
所以false，即false．
因为false，且false，所以false．