上海市嘉定第一高级中学校2021届高三下学期3月月考数学试题 Word版含答案解析
文档属性
| 名称 | 上海市嘉定第一高级中学校2021届高三下学期3月月考数学试题 Word版含答案解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-10 16:35:16 | ||
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文档简介
2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考
数学卷
一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．不等式false的解集为___________．
2.已知，，则__________．
3．false.
4．设false为等比数列false的前false项和，若false，false，则false的公比的取值范围是______．
5．418782523495如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面false，水面宽false. 若水面下降false，则水面宽是__________．（结果精确到false）
6．已知函数false，若函数false的值域为false，则实数false的取值范围为__________．
7．已知正数false，false满足false，则false的最小值为 ．
8.某长方体的长、宽、高分别为false，false，false，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.
9．已知false是双曲线false的左焦点，false，false是双曲线右支上的动点，则false的最小值为________．
10. 从false这false个整数中任意取false个不同的数作为二次函数false的系数，则使得false的概率为 ．
11.设常数false，false，对于二项式false的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_____
①若false，则各项系数随着项数增加而减小；
②若各项系数随着项数增加而增大，则false;
③若false，false，则第7项的系数最大；
3910330-65405④若false，false，则所有奇数项系数和为239.
12. 设函数false和false的定义域为false，若存在非零实数false，使得false，则称函数false和false在D上具有性质P.
现有三组函数：①false，false②false，false③false，false其中具有性质P的是__________．
二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）
13.下列说法中正确的是false false
（A）false； （B）若false、false非零向量且false，则false；
（C）若false且false，则false；（D）若false，则有且只有一个实数false，使得false.
14.已知函数false，则“false”是“false的值域为false”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度false (毫克/立方米)与时间false (分钟)之间的函数关系为false (false为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
447738522796516．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在false轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线false．给出以下命题：
①当false时，若直线false截黑色阴影区域所得两部分面积记为falsefalse,则false；
②当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点；
③当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点．
其中所有正确命题的序号是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
三. 解答题（本大题满分76题）
17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为false、false与false、false.
（1）若false,false, 求false的值;
（2）若false，求证：false；
18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数false．
（1）求函数false的最大值及此时x的值；
（2）在false中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对false定义域中的任意的x都有false，若false，求false的最大值．
19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距false海里的false，false两个观测站，观测范围是到false，false两观测站距离之和不超过false海里的区域.
3581400254635（1）、以false所在直线为false轴，线段false的垂直平分线为false轴建立平面直角坐标系，
求观测区域边界曲线的方程；
（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.
20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知false.
（1）当false时，讨论函数false的奇偶性；
（2）当false，false，false时，false的最大值为false，
求false的零点；
（3）当false时，对于任意的false，总有false，试求false的取值范围.
21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列false，定义false 设false的前false项和为false.
（1）设false，写出false；
（2）证明：“对任意false，有false”的充要条件是“对任意false，有false”；
（3）已知首项为0，项数为false的数列false满足：
①对任意false且false，有false；
②false.求所有满足条件的数列false的个数.
2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考
数学卷 解析
一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．不等式false的解集为___________．
【答案】false
【解析】由false得，false，所以不等式解集为false
2.已知，，则__________．
【答案】false
【解析】false
false false
false
故答案为： false
3．false.
【答案】false
【解析】false
故答案为: false
4．设false为等比数列false的前false项和，若false，false，则false的公比的取值范围是______．
【答案】false
【解析】设等比数列false的公比为false，则false．falsefalse，false，falsefalse，false，false．false，解得false．得false的公比的取值范围是false．
5．418782523495如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面false，水面宽false. 若水面下降false，则水面宽是__________．（结果精确到false）
【答案】false
334327546355【解析】建系，设双曲线解析式为false,
顶点为falsefalse，
代入双曲线，false，解得false
水面下降5米后，即false
代入双曲线，false解得false
false宽度为false
6．已知函数false，若函数false的值域为false，则实数false的取值范围为__________．
【答案】false
【解析】由函数false单调递增，
①当false时，若false，有false，而false，此时函数false的值域不是false；
②当false时，若false，有false，而false，
若函数false的值域为false，必有false，可得false．则实数false的取值范围为false．
7．已知正数false满足false，则false的最小值为 ．
【答案】4
【解析】正数false满足false，所以false，当且仅当false时取等号，
令false，则false，则false
false，则false的最小值为4．
8.某长方体的长、宽、高分别为false，false，false，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.
【答案】false
【解析】因为长方体的长、宽、高分别为false，false，false，所以其体积为
false。
其外接球直径为false，故false；所以其外接球体积为false，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为false.
9．已知false是双曲线false的左焦点，false，false是双曲线右支上的动点，则false的最小值为________．
3949700318770【答案】false
【解析】
对于双曲线false，则false，false，false，如图所示：
设双曲线的右焦点为false，则false，
由双曲线的定义可得false，则false，
所以，
false，
当且仅当false、false、false三点共线时，等号成立. 因此，false的最小值为false.
10. 从false这false个整数中任意取false个不同的数作为二次函数false的系数，则使得false的概率为 ．
【答案】false
【解析】首先从false这false个整数中任意取false个不同的数分别为false，
取法数为false，使false，即使falsefalse为偶数（两偶一奇数或三偶数）的取法有false，所概率为false．
11.设常数false，false，对于二项式false的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_____
①若false，则各项系数随着项数增加而减小；
②若各项系数随着项数增加而增大，则false;
③若false，false，则第7项的系数最大；
④若false，false，则所有奇数项系数和为239.
【答案】②③④
【解析】二项式false的展开式的通项为false，对于①：若false，则各项系数一正一负交替出现，故①不对，
对于②false对于任意的false，1，2，false，false，都成立，所以false，且false对任意的false都成立，false，故②正确；
当false，false，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，
所以，只需比较false，false，false，false，false，false即可，
可得，false最大，即展开式中第7项的系数最大，故③正确；
当false，false，则奇数项系数和为：false，故④正确；故选：②③④
12. 设函数false和false的定义域为false，若存在非零实数false，使得false，则称函数false和false在D上具有性质P.
现有三组函数：①false，false②false，false ③false，false其中具有性质P的是__________．
【答案】①③
【解析】对①②③中分别判断方程false是否有非零实数解，可得出结论.
对于①，false，
则false，合乎题意；
对于②, false，可得false，即false，
解得 false，不合乎题意；
对于③, false，
则false 合乎题意.
因此，具有性质false的是①③.
二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）
13.下列说法中正确的是false false
（A）false； （B）若false、false非零向量且false，则false；
（C）若false且false，则false；（D）若false，则有且只有一个实数false，使得false.
【答案】B
【解析】由false、false非零向量且false，两边平方可得false，即false，所以false，故false正确；由false且false，可得false或false，故false错误；
若false且false，则有且只有一个实数false，使得false，故false错误．故选：B．
14.已知函数false，则“false”是“false的值域为false”的（）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：取false 则false成立， 此时false 则false
可得false 充分性不成立;
必要性: 函数false的最小正周期为false,
因为函数false在false上的值域为false，false在false上单调时，false取得最小值，
且有false，必要性成立.
因此，"false"是"false"的值域为false的必要而不充分条件. 故选：B.
4211320440880515.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度false (毫克/立方米)与时间false (分钟)之间的函数关系为false (false为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
【答案】B
【解析】由图象可知，当 false时，false，false，解得 false，
false
令 false，得：false，
解得false，
所以开始喷酒药物的时间最迟是9点30分，
故选：B.
447738522796516．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在false轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线false．给出以下命题：
①当false时，若直线false截黑色阴影区域所得两部分面积记为falsefalse,则false；
②当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点；
③当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点．
其中所有正确命题的序号是（）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
【答案】A
【解析】如图所示，
大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为false 小圆面积为false,
所以大圆的四分之一面积为false 小圆的一半面积为false,
对①: 当false时，直线 false方程为false,即直线false为false 轴， 直线false截阴
影部分的面积分为两部分，
false 所以false，故正确.
对②：根据题意 , 半圆在第一象限的方程为 false
若当false时，直线false方程为false，即false，与小圆圆心 (0,1)的距离false，等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示， 直线与阴影区域只有一个公共点，故②正确；
对③: 当false时, 如图所示：
直线false与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误；
综上所述，①②正确.
故选：A.
三. 解答题（本大题满分76题）
17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为false、false与false、false.
（1）若false,false, 求false的值;
（2）若false，求证：false；
【解析】设正四棱柱的底面边长为false，圆柱的底面半径为false.
则false，false，false.
（1）false，得false，又false，所以false.
所以false，得false，
falsefalse.
（2）false，则false，
falsefalse
falsefalsefalsefalse
falsefalse.得证.
18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数false．
（1）求函数false的最大值及此时x的值；
（2）在false中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对false定义域中的任意的x都有false，若false，求false的最大值．
【解析】
（1）false
故当false，即false时，最大值为false
（2）false，则false，故false
根据余弦定理：false
即false
当false时等号成立
false，故false的最大值为false
19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距false海里的false，false两个观测站，观测范围是到false，false两观测站距离之和不超过false海里的区域.
3581400254635（1）、以false所在直线为false轴，线段false的垂直平分线为false轴建立平面直角坐标系，
求观测区域边界曲线的方程；
（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.
【解析】（1）依题意可知：观测区域边界曲线是以A,B为焦点的椭圆，
3535680245110A
B
北
O
y
C
D
xy
A
B
北
O
y
C
D
xy
设椭圆方程为：false，
则false
解得false
∴观测区域边界曲线的方程为：false.
（2）设轮船在观测区域内航行的时间为false小时，航线与区域边界的交点为false、false，
∵false，false，
∴直线false方程：false联立方程false，整理得：false，
解得false
∴false
∴ false（小时）.
∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域.
20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知false.
（1）当false时，讨论函数false的奇偶性；
（2）当false，false，false时，false的最大值为false，
求false的零点；
（3）当false时，对于任意的false，总有false，试求false的取值范围.
【解析】（1）当false时，函数false，函数定义域为false。
当false时，false；所以false为奇函数；
当false时，false；false；
所以false，false 所以false为非奇非偶函数。
（2）由false知false，故当false时false取得最大值false，
即false，所以false，
所以false，
所以false的零点为0，或-4.
（3）任意的false，总有false，令false，则命题转化为：
任给false，不等式false，
当false时，false满足false；
当false时，有false对于任意的false恒成立；
由false得false，所以false，
所以要使false恒成立，则有false.
21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列false，定义false 设false的前false项和为false.
（1）设false，写出false；
（2）证明：“对任意false，有false”的充要条件是“对任意false，有false”；
（3）已知首项为0，项数为false的数列false满足：
①对任意false且false，有false；②false.
求所有满足条件的数列false的个数.
解：（1）因为false，false，false，false，false，
根据题意可得false，false，false，false.
（2）必要性：对false，有false，因此false.
对任意false且false，有false，false，
两式作差，得false，即false，
因此 false.
综上，对任意false，有false.
充分性：若对任意false，有false，则false，
所以 false.
综上，“对任意false，false”的充要条件是“对任意false，
false”.
（3）【法一】已知false，即false中，
不妨假设false中，有false项false，false项false，false项false
则false
false且false
所以false项中false组false，且满足false
false
所以可知false与false固定
false且false项中有一项为false
所以共有false个
【法二】构造数列false：false，false
则对任意false且，有false，false.
结合（2）可知：false.
又false，因此false.
设中有项为，
则false=
false.
即.
因为false，所以false或false.
若false，则false，与false中有false项为false，
即false矛盾，不符题意.
若false，则false.所以，当false，false中有一项为false，其余false项为false时，数列false满足条件.
false中有一项为false，共false种取法；其余项每项有或两种取法， 所以，满足条件的数列false的个数为false.
数学卷
一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．不等式false的解集为___________．
2.已知，，则__________．
3．false.
4．设false为等比数列false的前false项和，若false，false，则false的公比的取值范围是______．
5．418782523495如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面false，水面宽false. 若水面下降false，则水面宽是__________．（结果精确到false）
6．已知函数false，若函数false的值域为false，则实数false的取值范围为__________．
7．已知正数false，false满足false，则false的最小值为 ．
8.某长方体的长、宽、高分别为false，false，false，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.
9．已知false是双曲线false的左焦点，false，false是双曲线右支上的动点，则false的最小值为________．
10. 从false这false个整数中任意取false个不同的数作为二次函数false的系数，则使得false的概率为 ．
11.设常数false，false，对于二项式false的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_____
①若false，则各项系数随着项数增加而减小；
②若各项系数随着项数增加而增大，则false;
③若false，false，则第7项的系数最大；
3910330-65405④若false，false，则所有奇数项系数和为239.
12. 设函数false和false的定义域为false，若存在非零实数false，使得false，则称函数false和false在D上具有性质P.
现有三组函数：①false，false②false，false③false，false其中具有性质P的是__________．
二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）
13.下列说法中正确的是false false
（A）false； （B）若false、false非零向量且false，则false；
（C）若false且false，则false；（D）若false，则有且只有一个实数false，使得false.
14.已知函数false，则“false”是“false的值域为false”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度false (毫克/立方米)与时间false (分钟)之间的函数关系为false (false为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
447738522796516．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在false轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线false．给出以下命题：
①当false时，若直线false截黑色阴影区域所得两部分面积记为falsefalse,则false；
②当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点；
③当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点．
其中所有正确命题的序号是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
三. 解答题（本大题满分76题）
17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为false、false与false、false.
（1）若false,false, 求false的值;
（2）若false，求证：false；
18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数false．
（1）求函数false的最大值及此时x的值；
（2）在false中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对false定义域中的任意的x都有false，若false，求false的最大值．
19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距false海里的false，false两个观测站，观测范围是到false，false两观测站距离之和不超过false海里的区域.
3581400254635（1）、以false所在直线为false轴，线段false的垂直平分线为false轴建立平面直角坐标系，
求观测区域边界曲线的方程；
（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.
20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知false.
（1）当false时，讨论函数false的奇偶性；
（2）当false，false，false时，false的最大值为false，
求false的零点；
（3）当false时，对于任意的false，总有false，试求false的取值范围.
21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列false，定义false 设false的前false项和为false.
（1）设false，写出false；
（2）证明：“对任意false，有false”的充要条件是“对任意false，有false”；
（3）已知首项为0，项数为false的数列false满足：
①对任意false且false，有false；
②false.求所有满足条件的数列false的个数.
2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考
数学卷 解析
一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1．不等式false的解集为___________．
【答案】false
【解析】由false得，false，所以不等式解集为false
2.已知，，则__________．
【答案】false
【解析】false
false false
false
故答案为： false
3．false.
【答案】false
【解析】false
故答案为: false
4．设false为等比数列false的前false项和，若false，false，则false的公比的取值范围是______．
【答案】false
【解析】设等比数列false的公比为false，则false．falsefalse，false，falsefalse，false，false．false，解得false．得false的公比的取值范围是false．
5．418782523495如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面false，水面宽false. 若水面下降false，则水面宽是__________．（结果精确到false）
【答案】false
334327546355【解析】建系，设双曲线解析式为false,
顶点为falsefalse，
代入双曲线，false，解得false
水面下降5米后，即false
代入双曲线，false解得false
false宽度为false
6．已知函数false，若函数false的值域为false，则实数false的取值范围为__________．
【答案】false
【解析】由函数false单调递增，
①当false时，若false，有false，而false，此时函数false的值域不是false；
②当false时，若false，有false，而false，
若函数false的值域为false，必有false，可得false．则实数false的取值范围为false．
7．已知正数false满足false，则false的最小值为 ．
【答案】4
【解析】正数false满足false，所以false，当且仅当false时取等号，
令false，则false，则false
false，则false的最小值为4．
8.某长方体的长、宽、高分别为false，false，false，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.
【答案】false
【解析】因为长方体的长、宽、高分别为false，false，false，所以其体积为
false。
其外接球直径为false，故false；所以其外接球体积为false，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为false.
9．已知false是双曲线false的左焦点，false，false是双曲线右支上的动点，则false的最小值为________．
3949700318770【答案】false
【解析】
对于双曲线false，则false，false，false，如图所示：
设双曲线的右焦点为false，则false，
由双曲线的定义可得false，则false，
所以，
false，
当且仅当false、false、false三点共线时，等号成立. 因此，false的最小值为false.
10. 从false这false个整数中任意取false个不同的数作为二次函数false的系数，则使得false的概率为 ．
【答案】false
【解析】首先从false这false个整数中任意取false个不同的数分别为false，
取法数为false，使false，即使falsefalse为偶数（两偶一奇数或三偶数）的取法有false，所概率为false．
11.设常数false，false，对于二项式false的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_____
①若false，则各项系数随着项数增加而减小；
②若各项系数随着项数增加而增大，则false;
③若false，false，则第7项的系数最大；
④若false，false，则所有奇数项系数和为239.
【答案】②③④
【解析】二项式false的展开式的通项为false，对于①：若false，则各项系数一正一负交替出现，故①不对，
对于②false对于任意的false，1，2，false，false，都成立，所以false，且false对任意的false都成立，false，故②正确；
当false，false，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，
所以，只需比较false，false，false，false，false，false即可，
可得，false最大，即展开式中第7项的系数最大，故③正确；
当false，false，则奇数项系数和为：false，故④正确；故选：②③④
12. 设函数false和false的定义域为false，若存在非零实数false，使得false，则称函数false和false在D上具有性质P.
现有三组函数：①false，false②false，false ③false，false其中具有性质P的是__________．
【答案】①③
【解析】对①②③中分别判断方程false是否有非零实数解，可得出结论.
对于①，false，
则false，合乎题意；
对于②, false，可得false，即false，
解得 false，不合乎题意；
对于③, false，
则false 合乎题意.
因此，具有性质false的是①③.
二. 填空题（本大题每题5分，满分20分）
13.下列说法中正确的是false false
（A）false； （B）若false、false非零向量且false，则false；
（C）若false且false，则false；（D）若false，则有且只有一个实数false，使得false.
【答案】B
【解析】由false、false非零向量且false，两边平方可得false，即false，所以false，故false正确；由false且false，可得false或false，故false错误；
若false且false，则有且只有一个实数false，使得false，故false错误．故选：B．
14.已知函数false，则“false”是“false的值域为false”的（）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：取false 则false成立， 此时false 则false
可得false 充分性不成立;
必要性: 函数false的最小正周期为false,
因为函数false在false上的值域为false，false在false上单调时，false取得最小值，
且有false，必要性成立.
因此，"false"是"false"的值域为false的必要而不充分条件. 故选：B.
4211320440880515.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度false (毫克/立方米)与时间false (分钟)之间的函数关系为false (false为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
（A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10
【答案】B
【解析】由图象可知，当 false时，false，false，解得 false，
false
令 false，得：false，
解得false，
所以开始喷酒药物的时间最迟是9点30分，
故选：B.
447738522796516．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在false轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线false．给出以下命题：
①当false时，若直线false截黑色阴影区域所得两部分面积记为falsefalse,则false；
②当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点；
③当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点．
其中所有正确命题的序号是（）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
【答案】A
【解析】如图所示，
大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为false 小圆面积为false,
所以大圆的四分之一面积为false 小圆的一半面积为false,
对①: 当false时，直线 false方程为false,即直线false为false 轴， 直线false截阴
影部分的面积分为两部分，
false 所以false，故正确.
对②：根据题意 , 半圆在第一象限的方程为 false
若当false时，直线false方程为false，即false，与小圆圆心 (0,1)的距离false，等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示， 直线与阴影区域只有一个公共点，故②正确；
对③: 当false时, 如图所示：
直线false与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个公共点，故错误；
综上所述，①②正确.
故选：A.
三. 解答题（本大题满分76题）
17. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为false、false与false、false.
（1）若false,false, 求false的值;
（2）若false，求证：false；
【解析】设正四棱柱的底面边长为false，圆柱的底面半径为false.
则false，false，false.
（1）false，得false，又false，所以false.
所以false，得false，
falsefalse.
（2）false，则false，
falsefalse
falsefalsefalsefalse
falsefalse.得证.
18. （本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
已知函数false．
（1）求函数false的最大值及此时x的值；
（2）在false中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对false定义域中的任意的x都有false，若false，求false的最大值．
【解析】
（1）false
故当false，即false时，最大值为false
（2）false，则false，故false
根据余弦定理：false
即false
当false时等号成立
false，故false的最大值为false
19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）
为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距false海里的false，false两个观测站，观测范围是到false，false两观测站距离之和不超过false海里的区域.
3581400254635（1）、以false所在直线为false轴，线段false的垂直平分线为false轴建立平面直角坐标系，
求观测区域边界曲线的方程；
（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.
【解析】（1）依题意可知：观测区域边界曲线是以A,B为焦点的椭圆，
3535680245110A
B
北
O
y
C
D
xy
A
B
北
O
y
C
D
xy
设椭圆方程为：false，
则false
解得false
∴观测区域边界曲线的方程为：false.
（2）设轮船在观测区域内航行的时间为false小时，航线与区域边界的交点为false、false，
∵false，false，
∴直线false方程：false联立方程false，整理得：false，
解得false
∴false
∴ false（小时）.
∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域.
20. （本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
已知false.
（1）当false时，讨论函数false的奇偶性；
（2）当false，false，false时，false的最大值为false，
求false的零点；
（3）当false时，对于任意的false，总有false，试求false的取值范围.
【解析】（1）当false时，函数false，函数定义域为false。
当false时，false；所以false为奇函数；
当false时，false；false；
所以false，false 所以false为非奇非偶函数。
（2）由false知false，故当false时false取得最大值false，
即false，所以false，
所以false，
所以false的零点为0，或-4.
（3）任意的false，总有false，令false，则命题转化为：
任给false，不等式false，
当false时，false满足false；
当false时，有false对于任意的false恒成立；
由false得false，所以false，
所以要使false恒成立，则有false.
21. （本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
对于数列false，定义false 设false的前false项和为false.
（1）设false，写出false；
（2）证明：“对任意false，有false”的充要条件是“对任意false，有false”；
（3）已知首项为0，项数为false的数列false满足：
①对任意false且false，有false；②false.
求所有满足条件的数列false的个数.
解：（1）因为false，false，false，false，false，
根据题意可得false，false，false，false.
（2）必要性：对false，有false，因此false.
对任意false且false，有false，false，
两式作差，得false，即false，
因此 false.
综上，对任意false，有false.
充分性：若对任意false，有false，则false，
所以 false.
综上，“对任意false，false”的充要条件是“对任意false，
false”.
（3）【法一】已知false，即false中，
不妨假设false中，有false项false，false项false，false项false
则false
false且false
所以false项中false组false，且满足false
false
所以可知false与false固定
false且false项中有一项为false
所以共有false个
【法二】构造数列false：false，false
则对任意false且，有false，false.
结合（2）可知：false.
又false，因此false.
设中有项为，
则false=
false.
即.
因为false，所以false或false.
若false，则false，与false中有false项为false，
即false矛盾，不符题意.
若false，则false.所以，当false，false中有一项为false，其余false项为false时，数列false满足条件.
false中有一项为false，共false种取法；其余项每项有或两种取法， 所以，满足条件的数列false的个数为false.
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