上海市上海高级中学校2020-2021学年高二下学期3月月考数学试题 Word版含答案解析

2020-2021年上海市上海中学高二下3月月考
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。
1.已知复数z满足false（false为虚数单位），则false______________.
2.若false的二项展开式中有一项为false，则false______________.
3.计算：false______________.
4.甲、乙，丙三项任务，甲需要2人承担，乙和丙各需要1人承担，从10个人中选出4人去完成这三项任务，共有______________种不同的安排方式.
5.一个口袋中装有大小相同的编号球，其中5个是白球，4个是黑球，从中任取3个球，取出的球都是白球的概率是______________.
6．某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是______________.
7.下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面．其中正确的是______________.
8.从集合false随机取一个为false，从集合false随机取一个为false，则方程false表示双曲线的概率为______________.
9.将1，2，3填入false的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是其中一种填法，则不同的填写方法共有______________种.
10.有4位同学在同一天的上、下午参加“身高和体重”，“立定跳远”、“肺活量”“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力项目”，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）
11.设false，false分别是双曲线false（false，false）的左、右焦点，点false在双曲线右支上且满足false，双曲线的渐近线方程为false，则false______________.
12.已知false，false为不垂直的异面直线，false是一个平面，则false，false在false上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.正确结论的编号为______________.（写出所有正确结论的编号）
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13.现有乒乓球女运动员5名和男运动员6名，从中选出4人进行混合双打比赛，则不同的对阵安排有（ ）种
A.false B.false C.false D.false
14.设false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A.若false，false，则false；
B.若false，false，则false；
C.若false，false，false，则false；
D.若false，且false，点false，直线false，则false；
15.有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为false，4的对面的数字为false，那么false的值为（ ）

A.3 B.7 C.8 D.11
16.设集合false，那么集合false中满足条件“false”的元素个数为（ ）
A.60 B.90 C.120 D.130
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17.（14分）如图，长方体false中，false，false，点false为false的中点.
（1）求证：直线false平面false；
（2）求异面直线false与false所成角的大小.
18.用0-9这十个数字组成没有重复数字的正整数.
（1）共有多少个三位数？并求所有三位数的和；
（2）末位数字是4的三位数有多少？
（3）四位偶数有多少？
（4）比5231大的四位数有多少？
19.已知10件产品中有2件次品，
（1）任意取出4件产品检验，求其中恰有1件次品的概率；
（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率在0.6以上，至少应抽取几件产品作检验？
20.若false
（1）求false的值；
（2）求false的值；
（3）求false的值.
21.已知false，false分别为椭圆false：false的左、右焦点，false为false上的一点.
（1）若点false的坐标为false，求false的面积；
（2）若点false的坐标false，且直线false与false交于两不同点false、false，求证：false为定值，并求出该定值；
（3）如右图，设点false的坐标为false，过坐标原点false作圆false：false（其中false为定值，false且false）的两条切线，分别交false于点false，false，直线false，false的斜率分别记为false，false.如果false为定值，试问：是否存在锐角false，使得false﹖若存在，试求出false的一个值；若不存在，请说明理由.
2020-2021年上海市上海中学高二下3月月考
答案及其解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。
1.【答案】：false
【解析】：false，所以false.
2.【答案】：60
【解析】：展开式的通项为false，令false，解得false，所以false.
3.【答案】：46
【解析】：由题意得false，解得false，又false，所以false，
所以false.
4.【答案】：2520
【解析】：（方法1）先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出1人承担任务乙；最后从剩下的7人中选出1人承担任务丙.根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有false种.
（方法2）先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有false种.
5.【答案】：false
【解析】：取出的球都是白球的概率是false.
6.【答案】：false
【解析】：这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是false.
7.【答案】：④
8.【答案】：false
【解析】：false
9.【答案】：12
【解析】：由题意，可按分步原理计数，
第一步，第一行第一个位置可从1，2，3三个数字中任意选一个，有三种填法，
第二步，第一行第二个位置可从余下两个数字中选一个，有二种填法.
第三步，第二行第一个位置，由于不能与第一行第一个位置上数字同，故其有两种填法，
第四步，第二行第二个位置，由于不能与第一行第二个数字同也不能与第二行第一个数字同，故它只能有一种填法.
第五步，第三行第一个数字不能与第一行与第二行的第一个数字同，故其只有一种填法，
第六步，此时只余下一个数字，故第三行第二列只有一种填法.
由分步原理知，总的排列方法有false种.
10.【答案】：264
【解析】：上午的总测试方法有false种，我们以false，false，false，false，false依次代表五个测试项目，若上午测试false的下午测试false，则上午测试false的下午只有测试false，false，此种测试方法共有2种；若上午测试false的同学下午测试false，false，false之一，则上午测试false，false，false中任何一个的下午都可以测试false，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故共有false种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测试方法共有false种.
11.【答案】：false
【解析】：
（方法1）因为false，由双曲线的定义得false过点false作false于点false，由等腰三角形三线合一，知false
又false，
所以false，
双曲线的渐近线方程为false，
又双曲线的渐近线方程为false，所以false，即false，
所以false，所以false.
（方法2）双曲线的渐近线方程为false，又双曲线的渐近线方程为false，
所以false，即false，所以false，所以false，false.
由双曲线的定义得false，由余弦定理得false.
12.【答案】：①②④
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
13.【答案】：C
【解析】：对阵安排有false种，故选C.
14.【答案】：C
15.【答案】：C
【解析】：false，false，false，故选C.
16.【答案】：D
【解析】：因为false，且false，
所以false可以取1，2，3，
当false时，false，false，false，false，false中有1个false，其余为0，共有false种；
当false时，false，false，false，false，false中有2个false，其余为0，共有false种；
当false时，false，false，false，false，false中有3个false，其余为0，共有false种；
故共有false个元素，故选D.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。
17.【答案】：见解析
【解析】：（1）设false和false交于点false，则false为false的中点，连结false，又因为false是false的中点，故false
又因为false平面false，false平面false，所以直线false平面false
（2）由（1）知，false，所以异面直线false与false所成的角等于false与false所成的角，故false即为所求：
因为false，false且false
所以false.所以false
即异面直线false与false所成角的大小为false（false）.
18.【答案】：见解析
【解析】：（1）百位不能为0，共有false个三位数，考虑每个数位上的数字之和，所有三位数的和为false；
（2）末位数字是4的三位数有false个；
（3）四位偶数有false个；
（4）①千位上为9，8，7，6的四位数各有false个；
②千位上是5，百位上为3，4，6，7，8，9的四位数各有false个；
③千位上是5，百位上为2，十位上为4，6，7，8，9的四位数各有false个；
④千位上是5，百位上为2，十位上为3且满足要求的共有5个，
因此共有false个.
19.【答案】：见解析
【解析】：（1）其中恰有1件次品的概率false；
（2）设应抽取false件产品作检验，则false，得false，解得false，所以至少应抽取8件产品作检验.
20.【答案】：见解析
【解析】：（1）令false，得false；
（2）令false，得false（*），
令false，得false（**），
（*）false（**），并除以2，得false，
因为false，所以false；
（3）（*）false（**），并除以2，得false，所以false.
21.【答案】：见解析
【解析】：（1）由题意得false，因为false，所以false，
又false，false的坐标分别为false，false，所以false的面积false；
（2）设false，false，由false得false，
显然false，且false，
又false，false，
所以false
false
false，
即false为定值；
（3）满足false的锐角false不存在，理由如下：
因为直线false：false与圆false相切，所以false，即false，
同理，由直线false：false与圆false相切，得false，
所以false，false是关于false的方程false的两实根，
注意到false，且false，所以false，
下面有两种方法处理false为定值；
法一：因为false为定值，故不妨设false（定值），于是有false，即false，
注意到false变化，而false，false均为定值，所以false，解得false，false；
法二：false，注意到false变化，而false为定值上，
所以若false为定值，必有分子分母false的系数和常数成比例，即false，解得false，false；
接下来false的基础上处理false，
法一：（以斜率为参数）设false，false，由false得false，同理，false，
所以falsefalse
false，
即false，故false；
法二：（以三角为参数）设false，false
所以false，即false，
所以false，即false（false），
所以false
false，
所以false；
法三（以点为参数）设false，false，则false，故false，
因为false，false在椭圆false上，所以false，
即false，所以false，
所以false，
由基本不等式得false；
综上，有false，又false为锐角，所以false，故不存在锐角false，使得false.