2020-2021学年河南省郑州市九年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年河南省郑州市九年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中最大的数是（　　）
A．5 B． C．π D．﹣8
2．（3分）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（　　）
A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106
3．（3分）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为（　　）
A．26° B．36° C．46° D．56°
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
5．（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
8．（3分）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）
A．25° B．30° C．36° D．45°
9．（3分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（　　）个“?”．
A．90 B．91 C．110 D．111
10．（3分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（　　）
A．n＝﹣2m B．n＝﹣ C．n＝﹣4m D．n＝﹣
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018+（2+）（2﹣）＝　 　．
12．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是　 　．
13．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝　 　．
14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　 　．
15．（3分）如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　 　．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
17．（9分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
19．（9分）如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）
20．（9分）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
21．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x与y＝当k＞0时的图象性质进行了探究，探究过程如下：
如图所示，设函数y＝x与y＝图象的交点为A、B．
已知点A的坐标为（﹣k，﹣1）．
（1）B点的坐标为　 　；
（2）若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM＝PN．
证明过程如下：设P（m，），直线PA的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
则解得 a＝　 　，b＝　 　．
所以，直线PA的解析式为　 　．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明；
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状．
22．（10分）如图所示，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上的一个定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1所示，当点C在射线AN上时，
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC、AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2所示，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝，请直接写出线段AD的长．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
2020-2021学年河南省郑州市九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1．（3分）下列各数中最大的数是（　　）
A．5 B． C．π D．﹣8
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣8，
所以各数中最大的数是5．
故选：A．
2．（3分）截止到2015年6月1日，北京市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140000立方米，将140000用科学记数法表示应为（　　）
A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106
【分析】将140000用科学记数法表示即可．
【解答】解：140000＝1.4×105，
故选：B．
3．（3分）如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为（　　）
A．26° B．36° C．46° D．56°
【分析】如图，首先运用平行线的性质求出∠AOB的大小，然后借助平角的定义求出∠3即可解决问题．
【解答】解：如图，∵直线l4∥l1，
∴∠1+∠AOB＝180°，而∠1＝124°，
∴∠AOB＝56°，
∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠AOB
＝180°﹣88°﹣56°
＝36°，
故选：B．
4．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选：D．
5．（3分）如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
6．（3分）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可作出判断．
【解答】解：解不等式x+2＞1得：x＞﹣1；
解不等式x≤1得：x≤2，
所以次不等式的解集为：﹣1＜x≤2．
故选：A．
7．（3分）在一次定点投篮训练中，五位同学投中的个数分别为3，4，4，6，8，则关于这组数据的说法不正确的是（　　）
A．平均数是5 B．中位数是6 C．众数是4 D．方差是3.2
【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．
【解答】解：A、平均数＝＝5，此选项正确；
B、3，4，4，6，8中位数是4，此选项错误；
C、3，4，4，6，8众数是4，此选项正确；
D、方差S2＝＝3.2，此选项正确；
故选：B．
8．（3分）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN．
观察，探究可以得到∠ABM的度数是（　　）
A．25° B．30° C．36° D．45°
【分析】连接AN，根据折叠的性质得到△ABN为等边三角形，可得∠ABN＝60°，于是得到∠ABM＝∠NBM＝30°．
【解答】解：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
由折叠知AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°．
故选：B．
9．（3分）观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有（　　）个“?”．
A．90 B．91 C．110 D．111
【分析】观察图形可知前4个图形中分别有：3，7，13，21个“?”，所以可得规律为：第n个图形中共有[n（n+1）+1]个“?”．再将n＝10代入计算即可．
【解答】解：由图形可知：
n＝1时，“?”的个数为：1×2+1＝3，
n＝2时，“?”的个数为：2×3+1＝7，
n＝3时，“?”的个数为：3×4+1＝13，
n＝4时，“?”的个数为：4×5+1＝21，
所以n＝n时，“?”的个数为：n（n+1）+1，
n＝10时，“?”的个数为：10×11+1＝111．
故选：D．
10．（3分）如图，已知点A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（　　）
A．n＝﹣2m B．n＝﹣ C．n＝﹣4m D．n＝﹣
【分析】首先根据点C的坐标为（m，n），分别求出点A的坐标、点B的坐标；然后根据AO、BO所在的直线的斜率相同，求出m，n满足的关系式即可．
【解答】解：由反比例函数的性质可知，A点和B点关于原点对称，
∵点C的坐标为（m，n），
∴点A的坐标为（，n），
∴点B的坐标为（﹣，﹣n），
根据图象可知，B点和C点的横坐标相同，
∴﹣＝m，即n＝﹣．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）2018+（2+）（2﹣）＝　2　．
【分析】先计算乘方、二次根式的乘法，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝1+4﹣3＝2，
故答案为：2．
12．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是　　．
【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到两枚正面向上，一枚正面向下的概率．
【解答】解：画树状图得：
由树状图可知所有可能情况有8种，其中两枚正面向上，一枚正面向下的情况数为3种，
所以两枚正面向上，一枚正面向下的概率＝．
13．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上．已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝　　．
【分析】利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出AB，AE的长，进而求出即可．
【解答】解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵四边形ABCD与四边形AECF都是菱形，点E、F在BD上，∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，
∴∠ABD＝30°，∠EAC＝15°，则∠BAE＝45°，
∴设AN＝x，则NE＝x，AE＝x，BN＝＝x，
∴＝＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为　π﹣2　．
【分析】先求出CE＝2CD，求出∠DEC＝30°，求出∠DCE＝60°，DE＝2，分别求出扇形CEB′和三角形CDE的面积，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴CE＝BC＝4，
∴CE＝2CD，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DCE＝60°，
由勾股定理得：DE＝2，
∴阴影部分的面积是S＝S扇形CEB′﹣S△CDE＝﹣×2×2＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　2或5　．
【分析】先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′＝10，DB＝DB′，接下来分为∠B′DE＝90°和∠B′ED＝90°，两种情况画出图形，设DB＝DB′＝x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，
∴BD＝DB′，AB′＝AB＝10．
如图1所示：当∠B′DE＝90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．
设BD＝DB′＝x，则AF＝6+x，FB′＝8﹣x．
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2＝AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2＝102．
解得：x1＝2，x2＝0（舍去）．
∴BD＝2．
如图2所示：当∠B′ED＝90°时，C与点E重合．
∵AB′＝10，AC＝6，
∴B′E＝4．
设BD＝DB′＝x，则CD＝8﹣x．
在Rt△′BDE中，DB′2＝DE2+B′E2，即x2＝（8﹣x）2+42．
解得：x＝5．
∴BD＝5．
综上所述，BD的长为2或5．
故答案为：2或5．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简÷（﹣x+1），然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣＜x＜中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：÷（﹣x+1）
＝
＝
＝
＝，
∵﹣＜x＜且x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，x是整数，
∴x＝﹣2时，原式＝﹣．
17．（9分）为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中m的值，并补全条形统计图；
（2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？
（3）已知该校有800名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排20人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？
【分析】（1）根据C类人数有15人，占总人数的25%可得出总人数，求出A类人数，进而可得出结论；
（2）直接根据概率公式可得出结论；
（3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）总人数＝15÷25%＝60（人）．
A类人数＝60﹣24﹣15﹣9＝12（人）．
∵12÷60＝0.2＝20%，
∴m＝20．
条形统计图如图；
（2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率＝＝；
（3）∵800×25%＝200，200÷20＝10，
∴开设10个“实验活动类”课程的班级数比较合理．
18．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
【分析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；
（2）AE＝AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD＝4，DC＝2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE＝＝1，故AE＝AD﹣ED＝3．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴AB＝＝＝5．
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝＝，即＝＝，
∴AD＝4，DC＝2．
在直角△DCE中，DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣ED＝4﹣1＝3．
19．（9分）如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）
【分析】过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，求出DH、GH的值即可判断；
【解答】解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，
在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．
∴GH＝GF?cos∠FGH＝100×0.17＝17，
在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，
∴EL＝≈46.5cm，
DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，
∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，
而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，
小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．
20．（9分）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹（tái）共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．
（1）求两批次购进蒜薹各多少吨？
（2）公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？
【分析】（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．构建方程组即可解决问题．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工（100﹣m）吨．由m≤3（100﹣m），解得m≤75，利润w＝1000m+400（100﹣m）＝600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．
由题意，
解得，
答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．
（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工（100﹣m）吨．
由m≤3（100﹣m），解得m≤75，
利润w＝1000m+400（100﹣m）＝600m+40000，
∵600＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝75时，w有最大值为85000元．
21．（10分）小明根据学习函数的经验，对函数y＝x与y＝当k＞0时的图象性质进行了探究，探究过程如下：
如图所示，设函数y＝x与y＝图象的交点为A、B．
已知点A的坐标为（﹣k，﹣1）．
（1）B点的坐标为　（k，1）　；
（2）若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点．
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N．求证：PM＝PN．
证明过程如下：设P（m，），直线PA的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
则解得 a＝　　，b＝　﹣1　．
所以，直线PA的解析式为　y＝x+﹣1　．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明；
②当P点坐标为（1，k）（k≠1）时，判断△PAB的形状．
【分析】（1）根据正、反比例函数图象的对称性结合点A的坐标即可得出点B的坐标；
（2）①设P（m，），根据点P、A的坐标利用待定系数法可求出直线PA的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M的坐标，过点P作PH⊥x轴于H，由点P的坐标可得出点H的坐标，进而即可求出MH的长度，同理可得出HN的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可证出PM＝PN；
②根据①结合PH、MH、NH的长度，可得出△PAB为直角三角形，分k＞1和0＜k＜1两种情况，利用分割图形求面积法即可求出△PAB的面积．
【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，
∵A点的坐标为（﹣k，﹣1），
∴B点的坐标为（k，1）．
故答案为：（k，1）．
（2）证明过程如下，
设P（m，），直线PA的解析式为y＝ax+b（a≠0）．
则 ，
解得：，
∴直线PA的解析式为y＝x+﹣1．
当y＝0时，x＝m﹣k，
∴M点的坐标为（m﹣k，0）．
过点P作PH⊥x轴于H，如图1所示，
∵P点坐标为（m，），
∴H点的坐标为（m，0），
∴MH＝xH﹣xM＝m﹣（m﹣k）＝k．
同理可得：N（m+k，0），
∴HN＝k．
∴MH＝HN，
∴PM＝PN．
故答案为：，﹣1，y＝x+﹣1；
（3）由（2）可知，在△PMN中，PM＝PN，
∴△PMN为等腰三角形，且MH＝HN＝k．
当P点坐标为（1，k）时，PH＝k，
∴MH＝HN＝PH，
∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°，
∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°，
∴△PAB为直角三角形．
22．（10分）如图所示，∠MAN＝60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上的一个定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1所示，当点C在射线AN上时，
①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC、AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2所示，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB＝4，AC＝，请直接写出线段AD的长．
【分析】（1）①结论：BC＝BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．
②结论：AD+AC＝BE．只要证明AD+AC＝2AG＝2EG，再证明EB＝BE即可解决问题；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH＝GB＝2，AH＝AG＝EG＝2，BC＝BD＝＝，CH＝DG＝3，推出AD＝5．
【解答】解：（1）①结论：BC＝BD．
理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H．
∵∠MAN＝60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H
∴BG＝BH，∠GBH＝∠CBD＝120°，
∴∠CBH＝∠GBD，∵∠BGD＝∠BHC＝90°，
∴△BGD≌△BHC，
∴BD＝BC．
②结论：AD+AC＝BE．
∵∠ABE＝120°，∠BAE＝30°，
∴∠BEA＝∠BAE＝30°，
∴BA＝BE，∵BG⊥AE，
∴AG＝GE，EG＝BE?cos30°＝BE，
∵△BGD≌△BHC，
∴DG＝CH，
∵AB＝AB，BG＝BH，
∴Rt△ABG≌Rt△ABH，
∴AG＝AH，
∴AD+AC＝AG+DG+AH﹣CH＝2AG＝BE，
∴AD+AC＝BE．
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，
由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH＝GB＝2，AH＝AG＝EG＝2，BC＝BD＝＝，CH＝DG＝3，
∴AD＝AG+DG＝AH+DG＝5．
23．（11分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣2），直线l：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点，P为抛物线上一动点（不与A，D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l下方时，过点P作PM∥x轴交l于点M，PN∥y轴交l于点N，求PM+PN的最大值．
（3）设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
【分析】（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），得到N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）求得E（0，﹣），得到CE＝，设P（m，m2﹣m﹣2），①以CE为边，根据CE＝PF，列方程得到m＝1，m＝0（舍去），②以CE为对角线，连接PF交CE于G，CG＝GE，PG＝FG，得到G（0，﹣），设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），列方程得到此方程无实数根，于是得到结论．
【解答】解：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得，，
∴，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵PM∥x轴，PN∥y轴，M，N在直线AD上，
∴N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），
∴PM+PN＝﹣m2+2m+2﹣m﹣m﹣﹣m2+m+2＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PM+PN的最大值是；
（3）能，
理由：∵y＝﹣x﹣交y轴于点E，
∴E（0，﹣），
∴CE＝，
设P（m，m2﹣m﹣2），
若以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形，
①以CE为边，∴CE∥PF，CE＝PF，
∴F（m，﹣m﹣），
∴﹣m﹣﹣m2+m+2＝，或m2﹣m﹣2+m+＝，
∴m1＝1，m2＝0（舍去），m3＝，m4＝，
F1（1，﹣），F2（，），F3（，﹣），
②以CE为对角线，连接PF交CE于G，
∴CG＝GE，PG＝FG，
∴G（0，﹣），
设P（m，m2﹣m﹣2），则F（﹣m，m﹣），
∴×（m2﹣m﹣2+m﹣）＝﹣，
∴m＝1，m＝0（舍去），
∴F4（﹣1，0），
综上所述，F（1，﹣），（，﹣），（，）、（﹣1，0），以E，C，P，F为顶点的四边形能构成平行四边形．