2020-2021学年浙江省名校协作体高二（下）开学数学试卷（Word解析版）

2020-2021学年浙江省名校协作体高二（下）开学数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（　　）
A． B．3 C． D．
3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥n，n?α，则m∥α B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a?α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（　　）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m的值是（　　）
A． B． C． D．
8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为　 　，焦点到准线的距离为　 　．
12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　 　cm3，表面积为　 　cm2．
13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点　 　，l1与l2的距离的最大值是　 　．
14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是　 　，圆C上到Q的距离等于3的点有　 　个．
15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m?α，l⊥m，直线n?β，且l和n所成角为，那么m与n所成的角为　 　．
16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为　 　．
17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．
20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|?|FD|的最小值．
21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．
（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．
22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．
（1）若，求直线AB的方程；
（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
解：设直线x+y﹣1＝0的倾斜角为α．
直线x+y﹣1＝0化为．
∴tanα＝﹣．
∵α∈[0°，180°），
∴α＝150°．
故选：D．
2．直线2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，则实数a的值为（　　）
A． B．3 C． D．
解：双曲线的渐近线方程为，化为2x±ay＝0，
又2x+3y＝0是双曲线的一条渐近线，∴a＝3．
故选：B．
3．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若m∥n，n?α，则m∥α B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
解：若m∥n，n?α，且m?α，则m∥α，故A错误；
若m∥α，m∥β，则α∥β，或α、β相交，故B错误；
若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故C正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，或α、β相交，故D错误．
故选：C．
4．“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”?2m+m（m﹣1）＝0，解得m＝0，或m＝﹣1．
∴“m＝﹣1”是“直线mx+（m﹣1）y+1＝0和直线2x+my+3＝0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
5．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，，}可表示为（　　）
A． B．
C． D．
解：∵点P为棱BC的中点，
∴＝（+），
∴＝＝（+）﹣，
又∵，，，
∴＝（+）﹣＝﹣++．
故选：B．
6．已知平面α和两条异面直线a，b满足a?α，b⊥α，平面α内的动点M到两条直线a，b的距离相等，则点M的轨迹是（　　）
A．两条直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
解：b⊥α，设垂足为B，则M到直线b的距离即为M到定点B的距离，
即动点M在平面α内到一定直线距离与一定点的距离相等，
符合抛物线性质，则M的轨迹是抛物线，
故选：D．
7．圆x2+y2﹣mx+y+m＝0在x轴上截得的弦长是它在y轴上截得的弦长的2倍，则实数m的值是（　　）
A． B． C． D．
解：对于x2+y2﹣mx+y+m＝0，
令x＝0得：y2+y+m＝0，设与y轴交点的纵坐标为y1，y2，且1﹣4m＞0，得m①．
则y1+y2＝﹣1，y1y2＝m，故与y轴相交的弦长为：＝．
同理，令y＝0可得：x2﹣mx+m＝0，设与x轴交点的横坐标为x1，x2，且m2﹣4m＞0，得m＞4，或m＜0②．
则x1+x2＝m，x1x2＝m，故与x轴相交的弦长为：＝．
由题意得：，解得：，结合①②得：m＝﹣6符合题意．
故选：A．
8．正三棱锥A﹣BCD中，二面角A﹣BC﹣D的大小为α，二面角B﹣AC﹣D的大小为β，则cos2α+cosβ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：设该正三棱锥的底面边长为2a，
记点A在底面BCD上的投影为点O，连结AO，
则点O为△BCD的中心，AO⊥平面BCD，
因为△BCD为等边三角形，所以O为△BCD的重心，
取BC的中点E，连结DE，AE，
则DE⊥BC，AE⊥BC，OE＝，
所以∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，即∠AED＝α，
记△ABC的高为h，则h＝AE＞OE＝，
所以cosα＝cos∠AED＝，
过点B作BF⊥AC于点F，连结DE，
由正三棱锥的对称性可得，DF⊥AC，
则∠BFD为二面角B﹣AC﹣D的平面角，即∠BFD＝β，
在△ABC中，，
又AC＝，所以，
所以cosβ＝cos∠BFD＝＝＝，
因此cos2α+cosβ＝，
因为，则，
所以cos2α+cosβ＝．
故选：B．
9．曲线C1：y2＝6|x|与C2：＝1交点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：因为曲线C1：y2＝6|x|，
所以当x≥0时，y2＝6x，
当x＜0时，y2＝﹣6x，
因为C2：＝1，
所以当x≥0，y≥0时，﹣＝1，
当x＞0，y＜0时，﹣﹣＝1，无意义，
当x＜0，y＜0时，﹣+＝1，
当x＜0，y＞0时，+＝1，
所以曲线C1与曲线C2共四个交点，
故选：D．
10．在正四面体ABCD中，P，Q分别是棱AB，CD的中点，E，F分别是直线AB，CD上的动点，且满足|PE|+|QF|＝a，M是EF的中点，则点M的轨迹围成的区域的面积是（　　）
A． B． C． D．
解：在正四面体ABCD中，取BC，BD，AD，AC的中点G，H，K，L，如图所示，
因为P，Q分别是棱AB，CD的中点，所以PQ的中点O也为定点，
由对称性可知，PQ和EF的中点都在中截面GHKL（正方形）上，
由，
所以，
设E，F在中截面上的投影分别为E'，F'，
所以，
所以点M是线段E'F'的中点，
作a∥CD，b∥AB，如图所示，则∠E'OF'＝90°，
因为PE+QF＝a，所以OE'+OF'＝a，
取OR＝ON＝，则OR+ON＝a，
两式相减可得RE'＝NF'，
过点E'作E'S∥RN，所以RE'＝NS，所以RE'＝NS'＝NF'，
所以E'F'的中点M在RN上，
同理E'F'的中点M在NT，TW，WR上，
因为，
故定点M的轨迹是边长为的正方形RNTW，
所以其轨迹围成的区域的面积为．
故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．已知抛物线C的焦点F（1，0），则拋物线C的标准方程为　y2＝4x　，焦点到准线的距离为　2　．
解：由抛物线的定义可知该抛物线开口向右，，
∴抛物线方程为y2＝4x，
焦点到准线的距离为2．
故答案为：y2＝4x，2．
12．已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为　7　cm3，表面积为　19+2　cm2．
解：由三视图，可知该几何体为棱长为2的正方体截去一个直三棱柱，
直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长为1，高为2，
则该几何体的体积V＝；
表面积S＝5×＝19+．
故答案为：7；19+2．
13．若直线l1：y＝kx+1与直线l2关于点（2，3）对称，则直线l2恒过定点　（4，5）　，l1与l2的距离的最大值是　4　．
解：因为l1：y＝kx+1经过定点（0，1），∴l2恒过定点（4，5），
∴l1与l2的距离的最大值是＝4．
故答案为：（4，5），4．
14．已知P是圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1上一动点，过圆心C作两条互相垂直的直线l1，l2，它们分别交x轴于A点，交y轴于B点，记AB中点为Q，则PQ的最小值是　　，圆C上到Q的距离等于3的点有　2　个．
解：（1）易知，圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径r＝1．
由已知得：CA⊥CB，且OA⊥OB，所以O，A，C，B四点共圆，故Q点为该圆的圆心，
要使|PQ|最小，只需|CQ|最小，显然当O，C，Q三点共线时|CQ|最小，
此时|CQ|＝．
所以|PQ|min＝．
（2）由上一个问题可知，Q（）．
所以，以Q为圆心，半径为3的圆Q的方程为：．
因为：|CQ|＝＝，
∴|PQ|min＝2.5﹣1＝1.5，
|PQ|max＝2.5+1＝3.5，
∵1.5＜3＜3.5，
所以圆C上到Q的距离等于3的点有2个．
故答案为：，2．
15．已知平面α∥β，直线l与α所成角的正切值为，直线m?α，l⊥m，直线n?β，且l和n所成角为，那么m与n所成的角为　　．
解：如图，
分别平移直线m与n，使得m与l交于A，n与l交于B，
设A在平面β内的射影为A′，则AA′⊥β，
在β内过A′作A′C⊥n，垂足为C，连接AC，可得AC⊥n，
∵直线l与α所成角的正切值为，且α∥β，
∴直线l与β所成角的正切值为，即tan∠ABA′＝，
设A′B＝1，则AA′＝，可得AB＝，
又l和n所成角为，∴，又AC⊥BC，
可得AC＝BC＝，
在Rt△A′CB中，可得cos，则∠A′BC＝．
即A′B与n所成角为，
∵AB⊥m，AA′⊥m，AB∩AA′＝A，∴m⊥平面AA′B，而A′B?平面AA′B，
∴m⊥A′B，则m与n所成角为．
故答案为：．
16．已知椭圆C：＝1，过C上一点P（第一象限）的直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B．若|PA|＝1，则|PB|的值为　　．
解：如图，
设P（，sinθ），A（a，0），
∵|PA|＝1，∴，得a＝，
∵△PQB∽△AOB，∴，
则，
设|PB|＝m，则|AB|＝m+1，
∴，解得m＝，
故答案为：．
17．如图，双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F是拋物线C2：y2＝2px的焦点，O为坐标原点，A为双曲线C1与拋物线C2在第一象限内的交点，若，则双曲线C1的离心率是　　．
解：双曲线C1：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0），
拋物线C2：y2＝2px的焦点F（，0），则c＝，即p＝2c，
设A（x1，y1），则（x1＞0，y1＞0），
联立，得b2x2﹣4a2cx＝a2b2．
解得x1＝＝
＝＝．
由抛物线的性质，可得，，，
＝，
∴，则，
得，
∴．
则，可得＝，
即，可得．
可得e＝，
∵e＞1，∴e＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．已知圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（0，1）的直线l与圆C交于不同的A，B两点，且CA⊥CB，求直线l的方程．
解：（1）由题意设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
根据圆C经过M（1，0），N（2，1）两点，且圆心C在直线x+2y﹣2＝0上可得：
，解得D＝﹣4，E＝0，F＝3．
即圆的方程为：x2+y2﹣4x+3＝0．
（2）由（1）知，圆心C（2，0），半径r＝1．
由CA⊥CB，可知三角形ABC为等腰直角三角形，故圆心C到直线AB的距离为．
由题意设直线l的方程为：y＝kx+1，即kx﹣y+1＝0．
故，整理得7k2+8k+1＝0，解得k＝﹣1，或k＝﹣．
故直线l的方程为：y＝﹣x+1，或，
即x+y﹣1＝0，或x+7y﹣7＝0．
19．如图，已知三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PC＝PB＝，且AB⊥BC．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求二面角P﹣BC﹣A的大小．
【解答】证明：（1）取AC的中点O，连接BO，PO，
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又PA＝PC，∴PO⊥AC，
而PO∩BO＝O，∴AC⊥平面POB，
又PB?平面POB，∴AC⊥PB；
解：（2）在△ABC中，∵AB＝BC＝2，且AB⊥BC，
∴AC＝，则BO＝，
在△PAC中，由PA＝PC＝，AC＝，可得PO＝，
又PB＝，∴PO2+BO2＝PB2，得PO⊥BO，
又PO⊥AC，AC∩BO＝O，AC、BO?平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，在平面ABC中，过O作OD⊥BC，垂足为D，
连接PD，由三垂线定理可得，PD⊥BC，则∠PDO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，
由AB⊥BC，OD⊥BC，O为AC的中点，可得OD＝AB＝1．
在Rt△POD中，由PO＝1，OD＝1，得△POD为等腰直角三角形，
则∠PDO＝．
故二面角P﹣BC﹣A的大小为．
20．如图，已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F且斜率为正的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点A、B分别作与直线l垂直的直线，交x轴于C、D两点，求|FC|?|FD|的最小值．
解：（1）根据题意可得，
解得a＝2，b＝1，c＝，
所以椭圆的方程为+y2＝1．
（2）设直线l的方程为x＝my﹣，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，
所以y1+y2＝，y1y2＝﹣，
所以|AF|＝＝＝|y1|，
同理可得|BF|＝|y2|，
因为△AFC∽△BFD，
所以＝＝，
因为直线AB斜率为，
所以tan∠BFD＝＝，
所以|BD|＝＝|y2|，
所以|DF|＝＝|y2|，
所以＝，
所以|CF|＝?|DF|＝?|y1|，
所以|FC|?|FD|＝＝＝，
当t＝3时，取最小值＝，
所以|FC|?|FD|最小值为．
21．在三棱台ABC﹣DEF中，AB＝BC＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，平面ABED⊥平面ABC，BC⊥BE．
（1）求证：平面ABED⊥平面BCFE；
（2）求直线DF与平面ABF所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AB于H，
∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EH?平面ABED，
∴EH⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，
∴EH⊥BC，
又BC⊥BE，BE、EH?平面ABED，
∴BC⊥平面ABED，
∵BC?平面BCFE，
∴平面ABED⊥平面BCFE．
（2）解：将三棱台ABC﹣DEF补成三棱锥P﹣ABC，
∵AB＝2DE，∠DAB＝∠EBA＝60°，
∴D，E，F分别为PA，PB，PC的中点，且△PAB为正三角形，
以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，作Bz⊥平面ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，则A（0，2，0），P（0，1，），C（2，0，0），D（0，，），F（1，，），
∴＝（1，﹣1，0），＝（0，2，0），＝（1，，），
设平面ABF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝2，则x＝﹣，y＝0，∴＝（﹣，0，2），
设直线DF与平面ABF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，
故直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
22．如图，已知过拋物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于点A，B（点A在第一象限），线段AB的中点为M，拋物线C在点A处的切线与以AM为直径的圆交于另一点P．
（1）若，求直线AB的方程；
（2）试问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值．
解：（1）拋物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），＝（1﹣xA，﹣yA），＝（xB﹣1，yB），
因为，则1﹣xA＝4（xB﹣1），①，﹣yA＝4yB，②，又yA2＝4xA，③，yB2＝4xB，④，
由①②③④解得A（4，4），B（，﹣1），所以kAB＝＝，
则AB的方程为y﹣4＝（x﹣4），化为4x﹣3y﹣4＝0；
（2）设AB的方程为x＝my+1，A（，y1），B（，y2），
由可得y2﹣4my﹣4＝0，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
由y2＝4x，两边对x求得可得2yy′＝4，即y′＝，
可得抛物线在A处的切线的斜率为，
设A点处的切线的方程为x﹣＝（y﹣y1），
化为x＝﹣，AP与y轴的交点为Q（0，），
＝（﹣，﹣），＝＝（，（y2﹣y1）），
因为AM为直径，P在圆上，所以AP⊥PM，
即有|AP|＝＝，
所以|AB|?|AF|＝?＝（（y22﹣y12），y2﹣y1）?（1﹣，﹣y1）＝＝，
又|AP|2＝，
所以为定值．