2020-2021学年江西省南昌高一（下）开学数学试卷（Word解析版）

2020-2021学年江西省南昌高一（下）开学数学试卷
一、单项选择题（共12小题）.
1．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．（0．e） B．（0，e] C．[e，+∞） D．（e，+∞）
2．已知sin（π+α）＝，则sin（+2α）＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，c＝ln3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
4．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若f（m）+2f（﹣m）＞0，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
7．已知函数f（x）＝cosx（x∈（0，π））的图象与函数y＝tanx的图象交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数是偶函数，则f（x）在上是减函数的一个θ值是（　　）
A． B． C． D．
9．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）?（﹣）＝0，则||的最大值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
10．设函数f（x）＝asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（）＝0
B．点（，0）是函数f（x）的一个对称中心
C．f（x）在（0，）上是增函数
D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点
11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点），则的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，1） C． D．[﹣1，0）
12．已知函数f（x）＝的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知函数y＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点A在角α的终边上，则tan2α＝　 　．
14．如图，在同一个平面内．向量，，的模分别为1，，，与的夹角为α，且，与的夹角为45°．若，则m﹣n＝　 　．
15．△ABC的三个内角为A、B、C，当A为　 　°时，取得最大值，且这个最大值为　 　．
16．已知函数（ω＞0）在内恰有两个最小值点，则ω的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17．已知tan（π+α）＝3，求的值．
18．已知，求的值．
19．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k．
（Ⅰ）若，求实数k的值；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得∥？说明理由．
20．如图是函数一个周期内的图象，已知点是图象与x轴的交点．点C是图象上的最高点，点C的横坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记∠ACB＝θ，求tanθ的值．
21．如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，证明：是定值．
22．如图（1）所示，用两块宽分别为+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|＝+1，|MN|＝1），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．
（Ⅰ）设∠POA＝x，请问下料时x应取多少度？
（Ⅱ）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧上，求矩形DEFG面积的最大值．
23．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h（x）的图象．若对任意的，不等式成立，求实数p的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共60分）
1．函数f（x）＝的定义域是（　　）
A．（0．e） B．（0，e] C．[e，+∞） D．（e，+∞）
解：函数f（x）＝的定义域的定义域为：
解得0＜x≤e．
故函数的定义域为：（0，e]，
故选：B．
2．已知sin（π+α）＝，则sin（+2α）＝（　　）
A． B． C． D．
解：由，得，
∴＝＝．
故选：A．
3．已知，，c＝ln3，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解：a＝＝，b＝＝，
又因为，
所以，
即a＜b，
又c＝ln3＞lne＝1，
即a＜b＜c．
故选：A．
4．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意，设向量，夹角为θ，
若单位向量，满足，
则有（2+）2＝42+2+4?＝5+4cosθ＝8，
则有cosθ＝，
故选：A．
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：函数
满足f（﹣x）＝﹣f（x），
故函数图象关于原点对称，排除A、B，
当x∈（0，）时，，
故排除D，
故选：C．
6．已知函数，若f（m）+2f（﹣m）＞0，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣e）∪（0，e） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
解：当m＞0时则﹣m＜0，所以f（m）+2f（﹣m）＝lnm﹣2ln（﹣m）＞0，
即lnm﹣lnm2＝ln＞0，解得0＜m＜1，
当m＜0时，﹣m＞0，所以f（m）+2f（﹣m）＝﹣ln（﹣m）+2lnm＞0，
即ln（﹣m）＞0，解得m＜﹣1，
综上，实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1），
故选：D．
7．已知函数f（x）＝cosx（x∈（0，π））的图象与函数y＝tanx的图象交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）
A． B． C． D．
解：由题意有，有，
有，解得sinx＝，或 sinx＝﹣（舍去），
由x∈（0，π）可得或，
则点A的坐标为，点B的坐标为，
线段AB中点的坐标为，则△OAB的面积为，
故选：B．
8．已知函数是偶函数，则f（x）在上是减函数的一个θ值是（　　）
A． B． C． D．
解：函数＝2sin（2x+θ+）
∵f（x）是偶函数
∴θ+＝，k∈Z
得θ＝kπ．
又∵f（x）在上是减函数，
则，
可得：，k∈Z．
当k＝0时，
可得．
故选：A．
9．已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）?（﹣）＝0，则||的最大值是（　　）
A．1 B．2 C． D．
解：由题意可得?＝0，
可得|+|＝＝，
（﹣）?（﹣）＝2+?﹣?（+）
＝||2﹣||?|+|cos＜（+，＞＝0，
即为||＝cos＜+，＞，
当cos＜+，＞＝1即+，同向时，
||的最大值是．
故选：C．
10．设函数f（x）＝asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（）＝0
B．点（，0）是函数f（x）的一个对称中心
C．f（x）在（0，）上是增函数
D．存在直线经过点（a，b）且与函数f（x）的图象有无数多个交点
解：函数f（x）＝asinx+bcosx＝sin（x+φ），sinφ，
周期T＝2π．
由题意么x＝取得最小值，a，b∈R，ab≠0，
∴f（）＝0不正确；
x＝取得最小值，
那么就是相邻的对称中点，
∴点（，0）不是函数f（x）的一个对称中心；
因为x＝取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在（0，）是减函数．
故选：D．
11．已知A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点），则的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，1） C． D．[﹣1，0）
解：∵A，B是单位圆上的两点，O为圆心，且∠AOB＝120°，MN是圆O的一条直径，点C在线段AB上（不包含两个端点），
∴，
∴，即，
又∵0＜λ＜1，∠AOB＝120°，
∴点C在线段AB上，且，
∴＝，
∵，
∴．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
解：若x＞0，则﹣x＜0，
∵x＜0时，f（x）＝sin（x）﹣1，
∴f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣1＝﹣sin（x）﹣1，
则若f（x）＝sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，
则f（﹣x）＝﹣sin（x）﹣1＝f（x），
即y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0，
设g（x）＝﹣sin（x）﹣1，x＞0
作出函数g（x）的图象，
要使y＝﹣sin（x）﹣1，x＞0与f（x）＝logax，x＞0的图象至少有3个交点，
则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），
即﹣2＜loga5，
即loga5＞logaa﹣2，
则5＜，
解得0＜a＜，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数y＝ax﹣3+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点A在角α的终边上，则tan2α＝　　．
解：∵y＝3x﹣3+1恒过点A（3，4），
∴tanα＝，
∴tan2＝＝．
故答案为：．
14．如图，在同一个平面内．向量，，的模分别为1，，，与的夹角为α，且，与的夹角为45°．若，则m﹣n＝　　．
解：以O为坐标原点．向量方向为x轴，与向量垂直的方向为y轴，建立平面直角坐标系．
点A的坐标为（1，0），，，
可得点C的坐标为（2，1），，
所以，，
又点B的坐标为（1，3），．，
若，则m+n＝2且3n＝1，
所以，所以．
故答案为：．
15．△ABC的三个内角为A、B、C，当A为　60　°时，取得最大值，且这个最大值为　　．
解：因为A+B+C＝180°，则＝1﹣2+2cos（﹣）＝1﹣2+2sin＝﹣2+，
所以当sin＝，因为为锐角，所以＝30°
即A＝60°时，原式的最大值为．
故答案为：60，
16．已知函数（ω＞0）在内恰有两个最小值点，则ω的取值范围是　　．
解：作出函数（ω＞0）的图象，
＝，，
要使在内恰有两个最小值点，
所以，解得，即．
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17．已知tan（π+α）＝3，求的值．
解：∵tan（π+α）＝tanα＝3，
∴原式＝＝＝＝7．
18．已知，求的值．
【解答】解∵，，
∴，
∴原式＝
＝
＝
＝．
19．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k．
（Ⅰ）若，求实数k的值；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得∥？说明理由．
解：（Ⅰ）向量与的夹角为60°，||＝3，||＝2，＝2﹣3，＝3+k，
∴?＝（2﹣3）?（3+k）＝6||2﹣3k||2+（2k﹣9）?||?||?cos60°＝54﹣12k+3（2k﹣9）＝0，
解得k＝；
（Ⅱ）∵∥，
∴存在实数λ可得（2﹣3）＝λ（3+k），
∴，解得k＝﹣．
20．如图是函数一个周期内的图象，已知点是图象与x轴的交点．点C是图象上的最高点，点C的横坐标为．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记∠ACB＝θ，求tanθ的值．
解：（1）由图可知，函数f（x）的周期为，
∴．
代入点C的坐标，有．
又由，可得，
可得，有，
故函数f（x）的解析式为．
（2）如图．过点C作x轴的垂线，垂足为M．
可得点M的坐标为，
由函数f（x）图象的周期性，可得点B的坐标为，|，，|CM|＝1，
在△AMC中，，
在△BMC中，，，
由θ＝π﹣（∠CAM+∠CBM）．
可得 tanθ＝﹣tan（∠CAM+∠CBM）＝8，故tanθ＝8．
21．如图，G是△OAB的重心，P、Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线．
（1）设，将用λ、、表示；
（2）设，，证明：是定值．
解：（1）∵，
∴，即＝λ（）
整理，得＝（1﹣λ）+λ
（2）∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×（+）＝（+）
∵，，＝（1﹣λ）+λ
∴＝（1﹣λ）+λ
因此，得到，可得，
∴＝3（1﹣λ）+3λ＝3，即＝3（定值）．
22．如图（1）所示，用两块宽分别为+1cm和1cm的矩形钢板（|PQ|＝+1，|MN|＝1），剪裁后在平面内焊成60°的“角型”．
（Ⅰ）设∠POA＝x，请问下料时x应取多少度？
（Ⅱ）如图（2）所示，在以O为圆心，OA为半径的扇形钢板区域内雕刻一矩形铭牌DEFG，其中动点F在扇形的弧上，求矩形DEFG面积的最大值．
解：（Ⅰ）过A作AX、AY分别垂直OP、ON于X、Y，则在Rt△OAX与Rt△OAY中，
OA＝＝，
∴＝，
∴（+1）sin（60°﹣x）＝sinx，
∴sinx＝cosx
∴x＝45°，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OF＝OA＝（+1）×＝+，
设∠BOF＝θ，EF＝OFsinθ＝（+）sinθ，
DE＝OE﹣OD＝OE﹣＝（+）cosθ﹣sinθ＝（+）（cosθ﹣sinθ），
∴S矩形DEFG＝EF?DE＝（+）2sinθ（cosθ﹣sinθ）＝（+）2[（sin2θ+cos2θ）﹣]，
＝（+）2[sin（2θ+φ）﹣]，
≤（+）2（﹣），
＝2+
∴矩形DEFG面积的最大值为2+
23．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，再把图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数h（x）的图象．若对任意的，不等式成立，求实数p的取值范围．
解：（1）＝
＝＝，
由于y＝sinθ的单调增区间为，k∈Z，
令，
解得：，
∴f（x）单调增区间为，k∈Z．
（2）由于 ，
向左平移个单位得到 y＝的图象，
再将各点横坐标伸长为原来的两倍得：y＝的图象，故h（x）＝sinx．
不等式，
即 ，即 p?（sinx﹣1）（cosx﹣1）＜sin2x，成立．
此时，sinx∈（0，1），cosx∈（0，1），sin2x∈（0，1]，
∴（sinx﹣1）（cosx﹣1）＞0，sin2x＞0，
当p≤0时，不等式恒成立，
当p＞0时，，
令＝，
∴＝，
其中sinx+cosx+sinxcosx+1＞0，
∴令F'（x）＝0得，sinx＝cosx，即，
当时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，
当时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，
∴，
∴，即，
综上，．