2020—2021学年北师大版八年级数学下册课课练 4.3 公式法（第1课时　利用平方差公式因式分解）（word版含答案）

3　第1课时　利用平方差公式因式分解（A卷）
知识点
1　利用平方差公式因式分解
1.多项式x2-4因式分解的结果是
(　　)
A.(x+2)(x-2)
B.(x-2)2
C.(x+4)(x-4)
D.x(x-4)
2.[2020·金华]
下列多项式中,能运用平方差公式因式分解的是
(　　)
A.a2+b2
B.2a-b2
C.a2-b2
D.-a2-b2
3.下列因式分解中,结果正确的是
(　　)
A.x2-25=(x+5)(x-5)
B.1-(x+2)2=(x+1)(x+3)
C.4m2-n2=(2m+n)(m-n)
D.x2-4=(x-2)2
4.若x2-9=(x+a)(x+3),则a=　　　　.?
5.因式分解:-0.81+121a2=　　　　　　　　.?
6.把下列各式因式分解:
(1)x2-16;　　　　　(2)49m2-n2;
(3)(2x+3y)2-1.
知识点
2　先提取公因式,再利用平方差公式因式分解
7.[2020·宁波]
因式分解:2a2-18=　　　　.?
8.把下列各式因式分解:
(1)x3y-xy3;
(2)2a2(n-m)+8(m-n).
知识点
3　用平方差公式因式分解的应用
图4-3-1
9.[教材“随堂练习”第3题变式]
如图4-3-1,已知R=6.75,r=3.25,则图中阴影部分的面积为(结果保留π)
(　　)
A.3.5π　　　　
B.12.25π
C.27π　　　　
D.35π
　　
　　　　　　　　　　　　　　　
10.若k为整数,且993-99能被k整除,则k不可能是
(　　)
A.100
B.99
C.98
D.97
11.若a+b=4,a-b=1,则(a+1)2-(b-1)2的值为　　　　.?
12.把下列各式因式分解:
(1)(3x+2y)2-(2x+3y)2;
(2)-16a4b4+1.
13.将一个多项式分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法,一般的分组分解法有四种形式,即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法.
如“2+2”分法:ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b).
请你仿照以上方法,探索并解决下列问题:
(1)因式分解:x2-y2-x-y;
(2)因式分解:x3+x2y-xy2-y3.
（B卷）
命题点
1　利用平方差公式因式分解
1．下列能用平方差公式因式分解的是(　　)
A．a2＋b2
B．－a2－b2
C．a2－c2－2ac
D．－4a2＋b2
2．因式分解(x－1)2－9的结果是(　　)
A．(x＋8)(x＋1)
B．(x＋2)(x－4)
C．(x－2)(x＋4)
D．(x－10)(x＋8)
3．2020·滁州模拟
把多项式4x－4x3因式分解正确的是(　　)
A．－x(x＋2)(x－2)
B．x(x＋2)(2－x)
C．－4x(x＋1)(1－x)
D．4x(x＋1)(1－x)
方法点拨(3题)
因式分解时，如果有公因式，一定要先提取公因式，然后再用公式法因式分解．
4．－(a＋3)(a－3)是多项式________因式分解的结果(　　)
A．a2－9
B．a2＋9
C．－a2－9
D．－a2＋9
5．将(x＋3)2－(x－1)2因式分解的结果是(　　)
A．4(2x＋2)
B．8x＋8
C．8(x＋1)
D．4(x＋1)
6．2019·杭州模拟
因式分解：4x2－(y－2)2＝________________．
7．若M·(y2＋3x)＝y4－9x2，则多项式M应是________．
8．若整式x2＋ky2(k为不等于零的常数)能在有理数范围内因式分解，则k的值可能是________．(写出一个即可)
9．将下列多项式因式分解：
(1)a2－144b2；　　　　
(2)2020·哈尔滨模拟
－(a＋2)2＋16(a－1)2；　　
(3)2xn＋2－8xn(n为自然数)；
(4)－x4＋x2y2;
(5)(a－2)(a－3)＋5a－42.
方法点拨(9题)
若式子中既没有公因式，也不能用公式法因式分解，不妨先计算乘法，将式子整理后再进行因式分解．例如本题中的第(5)小题.
命题点
2　利用平方差公式因式分解进行简便运算
10．2020·河北模拟
现有一列式子：①552－452；②5552－4452；③55552－44452；…；则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为(　　)
A．1.1111111×1016
B．1.1111111×1027
C．1.111111×1056
D．1.1111111×1017
11．2019·厦门海沧区月考
设a＝192×918，b＝8882－302，c＝6982－2202，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是__________(用“<”连接)．
12．计算：(1－)(1－)(1－)×…×(1－)(1－)．
解题突破(12题)
与相等吗？题目中括号里的运算可以因式分解吗？
命题点
3　利用平方差公式因式分解进行化简求值
13．2018·苏州
若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________．
方法点拨(13题)
把所要求值的代数式进行因式分解，将其转化为可用已知条件表示的形式，然后整体代入求解.
14．已知x－y－z＝4，且x2－(y＋z)2＝20，则x＋y＋z的值是________．
命题点
4　利用平方差公式因式分解解决整除问题
15．2019·武汉汉阳区期末
对于任何整数m，多项式(4m＋5)2－9都能(　　)
A．被8整除
B．被m整除
C．被(m－1)整除
D．被(2m－1)整除
16．已知248－1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是__________．
方法点拨(16题)
如果一个多项式能被某个数整除，那么这个多项式因式分解后的结果中就包含这个数.
命题点
5　利用平方差公式解决实际问题
17．在“西气东输”工程中，需要许多管道来输送天然气．已知每节管道长l＝5
m，外径D＝1.15
m，内径d＝1.05
m，如图4－3－1所示，则这一节管道的体积约为________．(π取3.14，结果精确到0.01
m3)
图4－3－1
方法点拨(17题)
在解决实际问题时，若计算量较大，往往考虑利用公式法因式分解，这样可使一些实际应用题中的计算化繁为简.
18．如图4－3－2，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为b米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．
(1)用代数式表示草坪的面积；
(2)先对上述代数式进行因式分解，再计算当a＝8.5，b＝0.75时草坪的面积．
图4－3－2
19．如图4－3－3，认真观察下面的算式，并结合你发现的规律，完成下列问题：
图4－3－3
(1)请写出：
算式⑤：____________________________________________________________________；
算式⑥：___________________________________________________________________.
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差是8的整数倍．”如果设两个连续奇数分别为2n－1和2n＋1(n为整数)，请说明这个规律是成立的．
(3)“两个连续偶数的平方差是8的整数倍”这个说法是否成立？请说明理由．
教师详解详析
1.A
2.C
3.A　[解析]
x2-25=(x+5)(x-5);1-(x+2)2=(x+3)(-x-1)=-(x+3)(x+1);4m2-n2=(2m+n)(2m-n);x2-4=(x+2)(x-2).故选A.
4.-3　[解析]
因为x2-9=(x-3)(x+3),所以a=-3.
5.(11a+0.9)(11a-0.9)
6.解:(1)x2-16=x2-42=(x+4)(x-4).
(2)49m2-n2=(7m)2-
=.
(3)(2x+3y)2-1
=(2x+3y)2-12
=(2x+3y+1)(2x+3y-1).
7.2(a+3)(a-3)
8.解:(1)原式=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y).
(2)原式=2(n-m)(a2-4)=2(n-m)(a-2)(a+2).
9.D　[解析]
πR2-πr2=π(6.752-3.252)=π(6.75+3.25)(6.75-3.25)=35π.
10.D　[解析]
993-99=99×(992-1)=99×(99-1)×(99+1)=98×99×100.
因为993-99能被k整除,
所以k可能是98,99,100,
所以k不可能是97.
11.12　[解析]
因为a+b=4,a-b=1,所以(a+1)2-(b-1)2=(a+1+b-1)(a+1-b+1)=(a+b)(a-b+2)=4×(1+2)=12.
12.解:(1)(3x+2y)2-(2x+3y)2
=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)
=(5x+5y)(x-y)
=5(x+y)(x-y).
(2)-16a4b4+1
=1-16a4b4
=12-(4a2b2)2
=(1+4a2b2)(1-4a
2b2)
=(1+4a2b2)(1+2ab)(1-2ab).
13.解:(1)原式=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1).
(2)原式=(x3+x2y)-(xy2+y3)
=x2(x+y)-y2(x+y)
=(x+y)2(x-y).
教师详解详析
1.D　2.B　3.D　4.D　5.C
6.(2x+y-2)(2x-y+2)
7.y2-3x
8.答案不唯一,如-1,-4或-9等
[解析]
答案不唯一,如-1,-4或-9等,因为x2-y2=(x+y)(x-y),x2-4y2=(x+2y)(x-2y),x2-9y2=(x+3y)(x-3y),所以填-1,-4或-9等均符合要求.
9.解:(1)原式=(a+12b)(a-12b).
(2)-(a+2)2+16(a-1)2
=[4(a-1)]2-(a+2)2
=(4a-4+a+2)(4a-4-a-2)
=(5a-2)(3a-6)
=3(5a-2)(a-2).
(3)原式=2xn(x2-4)=2xn(x+2)(x-2).
(4)原式=-x2(x2-y2)=-x2(x+y)(x-y).
(5)(a-2)(a-3)+5a-42
=a2-2a-3a+6+5a-42
=a2-36
=(a-6)(a+6).
10.D　[解析]
根据题意得第⑧个式子为5555555552-4444444452=(555555555+444444445)×(555555555-444444445)=1.1111111×1017.
11.aa=192×918=361×918,b=8882-302=(888-30)×(888+30)=858×918,c=6982-2202=(698+220)×(698-220)=918×478,所以a12.解:原式=1+1-1+1-×1+1-×…×1+1-1+1-=××××××…××××=×=.
13.12　[解析]
(a+1)2-(b-1)2=(a+b)(a-b+2)=4×3=12.
14.5　[解析]
∵x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z)=20,且x-y-z=4,∴x+y+z=5.
15.A　[解析]
(4m+5)2-9=(4m+5)2-32
=(4m+8)(4m+2)
=8(m+2)(2m+1).
∵m是整数,而(m+2)和(2m+1)都是随着m的变化而变化的整数,
∴该多项式肯定能被8整除.
16.63,65　[解析]
248-1=(224+1)×(224-1)=(224+1)×(212+1)×(26+1)×(26-1).
∵26+1=65,26-1=63,
∴这两个数分别为63,65.
17.0.86
m3　[解析]
V=Sl=π·2-π·2·l=(D2-d2)·l=(D+d)(D-d)·l≈×(1.15+1.05)×(1.15-1.05)×5≈0.86(m3).
即这一节管道的体积约是0.86
m3.
18.解:(1)草坪的面积为(a2-4b2)平方米.
(2)a2-4b2=(a+2b)(a-2b).
当a=8.5,b=0.75时,
a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=(8.5+1.5)×(8.5-1.5)=70.
因此,当a=8.5,b=0.75时,草坪的面积为70平方米.
19.解:(1)112-92=(11+9)×(11-9)=40=8×5
132-112=(13+11)×(13-11)=48=8×6
(2)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n·2=8n.
∵n为整数,
∴两个连续奇数的平方差是8的整数倍.
(3)不成立.举反例,如42-22=12,∵12不是8的整数倍,∴这个说法不成立.