2020-2021学年北师大版数学七年级下册 4.1.1 三角形及其内角和 课件（共77张）

(共77张PPT)
第四章
认识三角形
4.1.1
三角形及其内角和
北师大版数学七年级下册
1．理解“三角形的内角和等于180°”.
2．运用三角形内角和结论解决问题.
学习目标
下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉
的几何图形.
导入新知
你能画出一个三角形吗？
1
知识点
三角形及有关概念
下面哪个是三角形？
什么是三角形？
结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.
合作探究
A
B
C
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组
成的图形叫做三角形.
注意：1.不在同一条直线上.
2.三条线段.
3.首尾顺次相接.
1.
三角形的定义：
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.
即：可以记作△ABC，也可记作△ACB.
2.
三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，如下图的三角形，
记作“△ABC”，读作“三角形ABC
”.
A
B
C
如图，△ABC的三个顶点分别
是：A，B，C.
3.三角形的顶点
如图，△ABC的三条边分别是：AB，BC，CA.
它的三个内角（简称三角形的角）分别是：
?A，?B，
?C.
A
B
C
4.三角形的边、内角
例1
下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的
是(　　)
按三角形的定义进行判断．观察每一个选项中的图
形，A，B，D中的三条线段都没有首尾顺次相接.
导引：
C
(1)判断一个图形是否是三角形的条件：
①三条线段，②不在同一直线上，③首尾顺次相接．
三者必须同时满足，否则不是三角形．
(2)易错警示：图形是三角形与图形内含有三角形是两
个不同的概念．图形是三角形表示整个图形是一个
三角形，图形内含有三角形表示图形内局部有三角
形．如选项A，B，D中的图形内都含有三角形，但
整个图形不是三角形．
新知小结
1
下面是小强用三根火柴分别组成的图形，其中
符合三角形定义的是(　　)
C
巩固新知
2
如图，以CD为公共边的三角形是_______________；
∠EFB是________的内角；在△BCE中，BE所对
的角是________，∠CBE所对的边是__________；
以∠A为公共角的三角形_____________________
___________．
△ABD，△ACE和
△CDF与△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABC
3
【中考·大庆】如图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为________．
4n－3
2
知识点
三角形的内角和
问题1　在小学我们已经知道任意一个三角形三个内
角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的
吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
合作探究
方法：度量、剪拼图、折叠
B
B
C
C
A
A
A
B
B
C
A
A
B
B
C
A
B
B
C
C
A
B
C
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在
一起，就得到一个
平角.从这个操作过程中，你能发现
证明的思路吗？
◎探究
追问1　在下图中，∠B
和∠C
分别拼在∠A
的左右，
三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A
的直
线l，直线l
与边BC
有什么位置关系？
直线l
与边BC
平行．
B
B
C
C
A
l
追问2　在操作过程中,
我们发现了与边BC
平行的
直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明
“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与边BC
平行的辅助线l，利用
平行线的性质和平角
的定义即可证明结论．
B
B
C
C
A
l
追问3　结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？
已知：△ABC
.
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
2
4
1
5
3
　
l
如图,
过点A作直线l,使l
//BC.
∵
l//BC,
∴
∠2=
∠4
(两直线平行，内错角相等).
同理
∠3=
∠5.
∵
∠1
,∠4,
∠
5组成平角，
∴
∠1
+
∠4+
∠5=180°
(平角定义).
∴
∠1
+
∠2+
∠3=180°
(等量代换).
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,
得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角
的和等于180°.
证明：
三角形三个内角的和等于180°.
新知小结
例2
〈邵阳〉如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，
AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点
E，则∠ADE的大小是(　　)
A．45°　　　
B．54°　　　
C．40°　　　
D．50°
C
合作探究
根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角
平分线的定义求出∠BAD的度数，然后根据两直线
平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD.
因为∠B＝46°，∠C＝54°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝
∠BAC＝
×80°＝40°.
因为DE∥AB，
所以∠ADE＝∠BAD＝40°.
导引：
本题运用了综合法和转化思想，借平行线将要求
的∠ADE转化成与△ABC的内角有关的∠BAD，再结
合角平分线和三角形的内角和就可以解决问题．
新知小结
1
【中考·南宁】如图，在△ABC中，∠A＝60°，
∠B＝40°，则∠C等于(　　)
A．100°
B．80°
C．60°
D．40°
B
巩固新知
2
【中考·长春】如图，在△ABC中，点D在AB
上，点E在AC上，DE∥BC.
若∠A＝62°，
∠AED＝54°，则∠B的大小为(　　)
A．54°
B．62°
C．64°
D．74°
C
3
知识点
三角形按角的大小分类
议一议
(1)下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？
小颖的呢?
试着说明理由.
合作探究
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？
将所得结果与(1)的结果进行比较.
我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：
锐角三角形
三个内角都是锐角
直角三角形
有一个内角是直角
钝角三角形
有一个内角是钝角
新知小结
任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有
一个钝角或直角，因此三角形按角分类如下：
例4
〈滨州〉在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC的形状，并说明理由．
引用辅助量x°，用x°表示出△ABC的三个内角，
然后在△ABC中，运用三角形的内角和构造方程，
解方程后，求出△ABC中各内角的度数，从而判断
△ABC的形状．
导引：
合作探究
△ABC是直角三角形．理由如下：
因为∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
所以可设∠A，∠B，∠C的度数分别为x°，2x°，
3x°.
在△ABC中，因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以x°＋2x°＋3x°＝180°，解得x°＝30°.
所以∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.
所以△ABC是直角三角形．
解：
判断一个三角形的形状的方法：
(1)看三角形中最大角的大小：最大角是锐角，三角形就
是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角
形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形．
(2)通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大
角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比
例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直
角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则
此三角形为锐角三角形．
新知小结
1
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形?
30°和
60°；(2)
40°
和
70°；
(3)
50°和
20°.
解：(1)直角三角形．
(2)锐角三角形．
(3)钝角三角形．　
巩固新知
4
知识点
直角三角形两锐角互余
直角三角形：
(1)定义：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形．
表示法：直角三角形用符号“Rt△”表示，直角
三角形ABC可以写成Rt△ABC.
(2)性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图，在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
(3)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
注意：这两个角要在同一个三角形中．
合作探究
例3
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝70°，CE
平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F.
(1)试说明∠BCD＝∠ECD；
(2)请找出图中所有与∠B相等的角．
(1)根据直角三角形的两个锐角互余求出∠BCD的度
数，再利用三角形的内角和求出∠ACB的度数，
然后根据角平分线的定义求出∠BCE的度数，从
而可以求出∠ECD的度数，进而得到结论；
(2)根据三角形的角度关系，找出度数是70°的角即
可．
导引：
(1)因为∠B＝70°，CD⊥AB于点D，
所以∠BCD＝90°－70°＝20°.
在△ABC中，因为∠A＝30°，∠B＝70°，
所以∠ACB＝180°－30°－70°＝80°.
因为CE平分∠ACB，
所以∠BCE＝
∠ACB＝40°.
所以∠ECD＝∠BCE－∠BCD
＝40°－20°＝20°.
所以∠BCD＝∠ECD.
解：
(2)因为CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，
所以∠CED＝90°－∠ECD
＝90°－20°＝70°，
∠CDF＝90°－∠ECD
＝90°－20°＝70°，
所以与∠B相等的角有∠CED和∠CDF.
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两
个锐角互余的本质是三角形的三个内角和等于180°，
是三角形的三个内角和等于180°的一种简化应用，
利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另
一锐角．
新知小结
1
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于D.
则图中与∠B互余的角有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
巩固新知
2　【中考·苏州】如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为(　　)
A．58°
B．42°
C．32°
D．28°
C
3　【中考·襄阳】如图，将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为(　　)
A．60°
B．50°
C．40°
D．30°
D
1.
理解三角形定义必须明确“三点”：
(1)三条线段必须满足“不在同一条直线上”才能组成
三角形．
(2)特别要注意“首尾顺次相接”，如果三条线段不是
首尾顺次相接，那么形成的图形一定不是三角形．
(3)“△ABC”也可以写成“△ACB”“△BCA”等，就是说
三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，不
过通常按26个英文字母的顺序排列．
归纳新知
2.三角形的内角和是180°.
这是在三角形内部求角的度数的重要依据.
3.三角形按角进行分类：
2
易错小结
根据下列条件，判断△ABC的形状．
(1)∠A＝40°，∠B＝80°；
(2)∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7.
易错点：判断三角形种类时，不按最大角进行判断
解：
(1)∠C＝180°－∠A－∠B＝60°，因为40°<60°
<80°<90°，所以△ABC是锐角三角形．
(2)设∠A＝2x，∠B＝3x，∠C＝7x，
则2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.
所以∠C＝7×15°＝105°.
所以△ABC是钝角三角形．
三
顺次
课后练习
△CDF，△BCD
△BEF
∠BCE
CE
△ABD，△ACE，△ABC
C
180°
一
一
D
【答案】C
锐角
钝角
直角
D
【答案】D
互余
Rt△
Rt△ABC
C
A
再见