2020-2021学年北师大版数学七年级下册第四章 4.1.3 三角形的中线、角平分线 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
第四章
认识三角形
4.1.3
三角形的中线、角平分线
北师大版数学七年级下册
1．认识三角形的中线、角平分线。
2．会用工具准确画出三角形的中线、角平分线。
3．通过画图了解三角形的三条中线，三条角平分线等都交于点。
学习目标
1.三角形的内角和是多少度？
2.三角形的三边关系的内容是什么？
复习导入
1
知识点
三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，
叫做这个三角形的中线.
如图，AE是△ABC的BC边上的中线.
合作探究
1.定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点
的线段，叫做这个三角形的中线．
2.表达方式：
(1)AD是△ABC中BC边上的中线．
(2)点D是BC边的中点．
(3)BD＝DC或BD＝
BC或DC＝
BC
或BD＝DC＝
BC.
例1
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12
cm和15
cm的两部分，求三角形的各边长．
因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：
(BC＋CD)和(AD＋AB)，谁为12
cm，谁为15
cm，
不确定，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，
因此可建立方程模型，利用设未知数来求解．
导引：
设AB＝x
cm，则AD＝CD＝
x
cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12
cm，
则x＋
x＝12，解得x＝8，
即AB＝AC＝8
cm，CD＝4
cm.
故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，
所以三边长分别为8
cm，8
cm，11
cm.
解：
(2)如图②，若AB＋AD＝15
cm，
则x＋
x＝15，
解得x＝10，即AB＝AC＝10
cm，
则CD＝5
cm，
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，
所以三边长分别为10
cm，10
cm，7
cm.
综上所述，此三角形的三边长分别为8
cm，8
cm，
11
cm或10
cm，10
cm，7
cm.
(1)本例中由于条件不确定，因此我们针对条件的不确定性
对图形可能出现的不同情况，运用分类讨论思想对题目
进行分类讨论；解答中，针对题中涉及的线段这个“形”
较多，为了使解答更简便，我们将它们建立方程这个
“数”的模型；因此本例的解答过程体现了：分类讨论
思想、数学建模思想、数形结合思想、方程思想等．
(2)易错警示：求三角形的边时，要注意隐含条件：三角形
的三边关系．
新知小结
例2
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．
根据等底等高的两个三角形的面
积相等，要等分三角形的面积，
只需要作出一条边上的中线即可．
导引：
合作探究
根据要求，平分田地的直线只能经过三
角形的顶点．画△ABC的中线AD(如图)，
则AD就把△ABC的面积平分成两份．
这是因为AD是△ABC的中线，
所以BD＝DC.过点A作AE⊥BC于点E.在△ABD和△ACD
中，因为BD，CD边上的高都是AE，所以由三角形的面
积计算公式，知△ABD和△ACD的面积相等，因此，要
把△ABC平分成两个三角形，只需画中线AD即可，这是
一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC边上的中
线也可以)
解：
(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等
的两部分，即等底等高的两个三角形的面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，
如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等．
新知小结
1
若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的
是(　　)
A．AB＝BC
　B．BD＝DC
C．AD平分BC
　
D．BC＝2DC
A
巩固新知
2
【中考·河池】三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是(　　)
A．中线
B．角平分线
C．高
D．都不确定
A
3
如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为(　　)
A.
B.
C.
D.
B
2
知识点
三角形的重心
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片.
你知道怎样确定这个点的位置吗？
合作探究
议一议
(1)在纸上画出一个锐角三角形，并画出它的三条中线，
它们有怎样的位置关系？与同伴进行交流.
(2)钝角三角形和直角三角形的三条中线也有同样的位
置关系吗？折一折，画一画，并与同伴进行交流.
位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该
点在三角形的内部，如图，这个点叫三角形的重心．
1
有一质地均匀的三角形铁片，若阿龙想用木棒撑住此铁片，则支撑点应设在该三角形的________处最恰当．
重心
巩固新知
3
知识点
三角形的角平分线
如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，
你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？
合作探究
叫做三角形的角平分线.
A
B
C
D
因为AD是△ABC的角平分线，
任意画一个三角形,然后利用
量角器画出这个三角形三个角
的角平分线,你发现了什么?
●
●
在三角形中，
一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
︶
︶
1
2
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的
内部.
所以∠BAD
=∠CAD
=
∠BAC.
A
C
B
F
E
D
O
因为BE是△ABC的角平分线，
所以______=________=
_______.
所以∠ACB=2_______
=2__________.
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
因为CF是△ABC的角平分线，
∠BCF
1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；
它们的联系是都是平分角。
2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶
点，另一个端点要落在对边上.
例3
关于三角形的角平分线，下列说法正确的是(　　)
A．是线段　　　　　
B．是射线
C．是直线
D．可以是射线或线段
三角形的角平分线是一条线段，故选A.
导引：
A
合作探究
三角形的角平分线与角的平分线是不同的两个
概念：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分
线是一条射线；一个三角形的角平分线有三条，一
个角的平分线只有一条；在三角形中，三角形的角
平分线是三角形的内角平分线上的一部分．本题易
因混淆概念而错选D.
新知小结
例4
如图所示，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，∠BAC＝80°，则∠EAD的度数是(　　)
A．20°　
B．30°
C．45°
D．60°
因为AD平分∠BAC，∠BAC＝80°，
所以∠BAD＝40°.
又因为AE平分∠BAD，
所以∠EAD＝20°.
导引：
A
合作探究
三角形的角平分线将三角形的内角分成相等的
两部分，特别是两角之间的数量关系在求角的度数
时起着关键作用．
新知小结
1
填空：
线段AD是△ABC的角平分线，那么∠BAD＝________＝
________.
线段AE是△ABC的中线，那么BE＝______＝______BC.
∠DAC
∠BAC
EC
巩固新知
2
如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的一条角平分
线，求∠ABD的度数.
在△ABC中，因为∠A＝50°，∠C＝72°，所以∠CBA＝180°－∠A－∠C＝58°.
因为BD平分∠CBA，
所以∠ABD＝
∠CBA＝29°.
解：
3　下列说法中正确的是(　　)
A．三角形的角平分线和中线都是线段
B．三角形的角平分线和中线都是射线
C．三角形的角平分线是射线，而中线是线段
D．三角形的角平分线是线段，而中线是射线
A
4
如图，
∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论错误的是(　　)
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．∠3＝
∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
D
1.三角形的中线
(1)定义：三角形的中线是一条线段.
(2)三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三
角形的重心.
2.三角形的角平分线
(1)定义：三角形的角平分线是一条线段.
(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点叫做
三角形的内心.
1
知识小结
归纳新知
顶点
对边中点
线段
面积
课后练习
D
B
重心
A
线段
线段
射线
【答案】64°
【答案】B
再见