2020—2021学年 人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习（word版含答案）

平行四边形
专题练习
专题1　平行四边形的证明思路
类型1　若已知(已证)四边形中边的关系
(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；
(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．
2．如图，在?ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．
3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．
4．如图，在?ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．
5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？
请说明理由．
6．如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．
类型2　若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形
7．如图，?ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
8．如图，在?ABCD
中，点O
是对角线AC
的中点，EF
过点O，与AD，BC
分别相交于点E，F，GH
过点O，与AB，CD
分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH
是平行四边形．
专题2　与正方形有关的四个常考模型
模型1　正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用
1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？
(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？
正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．
模型2　正方形中过对角线交点的直角问题
2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.
(1)求证：△AOE≌△BOF；
(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？
【变式1】　如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．
【变式2】　如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是(
)
A．n
B．n－1
C．4(n－1)
D．4n
正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝S正方形ABCD.
模型3　正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用
3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.
(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；
(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
模型4　正方形中的半角模型
4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：
①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.
(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.
专题3　特殊平行四边形的性质与判定
1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：
(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：
(1)AG＝CE；
(2)AG⊥CE.
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．
4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．
(1)四边形EFGH的形状是
，证明你的结论；
(2)当四边形ABCD的对角线满足
条件时，四边形EFGH是矩形；
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？
．
5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.
(1)求证：四边形CEFG是菱形；
(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．
6．如图所示，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.
(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？
(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？
专题4　四边形中的动点问题
——教材P68复习题T13的变式与应用
【例】　如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8
cm，AD＝12
cm，BC＝18
cm，点P从点A出发，以1
cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2
cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t
s.
(1)CD边的长度为
cm，t的取值范围为
；
(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?
(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?
【拓展变式1】　在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【拓展变式2】　从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？
【拓展变式3】　在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【拓展变式4】　是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
专题5　特殊平行四边形中的折叠问题
——教材P64“数学活动”的变式与应用
【例】　如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．
图1
【拓展延伸】　再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．
图2
在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．
1．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O.若AE＝5，BF＝3，则AO的长为(
)
A.
B.
C．2
D．4
2．如图，将边长为6
cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是
cm.
3．如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF＝4，EH＝3，则AB＝
．
4．如图，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.求证：
(1)△ADE≌△CED；
(2)△DEF是等腰三角形．
专题6　特殊平行四边形中的最值问题
【例】　如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．
【思路点拨】　(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．
求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．
1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为
．
2．如图，在矩形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B，C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在
．
3．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，则AM＋BM的最小值为
．
4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，求线段AB的最小值．
参考答案：
专题1　平行四边形的证明思路
1．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C.
∴∠B＝∠EFC.
∴AB∥EF.
又∵DE∥BC，
∴四边形DBFE是平行四边形．
2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC，且OE＝BC.
又∵CF＝BC，
∴OE＝CF.
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF.
∴四边形OCFE是平行四边形．
3．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.
∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE.
∵AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
4．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∴BF＝DE，CF＝AE.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE.
在△DCF和△BAE中，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
又∵BF＝DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
5．解：ED与AG互相平分．
理由：连接EG，AD.
∵DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴AE∥DF，AE＝DF.
又∵FG＝2DF，
∴DG＝DF.
∴AE＝DG.
又∵AE∥DG，
∴四边形AEGD是平行四边形．
∴ED与AG互相平分．
6．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝AD，FC＝BC.
∴AE∥FC，AE＝FC.
∴四边形AECF是平行四边形．
∴GF∥EH.
同理可证：ED∥BF且ED＝BF.
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴GE∥FH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
7．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
8．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可证：OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
专题2　与正方形有关的四个常考模型
1．解：BE＝AF且BE⊥AF，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90°.
又∵DE＝CF，∴AE＝DF.
∴△ABE≌△DAF(SAS)．
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.
【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD.
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)．
∴∠ABE＝∠DAF.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴∠AGB＝90°，即BE⊥AF.
(2)若已知BE⊥AF，则BE＝AF成立吗？
解：成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°.
又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90°.
∴∠ABE＋∠BAF＝90°.
∵∠DAF＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF.
∴△ABE≌△DAF(ASA)．
∴BE＝AF.
2．解：(1)证明：在正方形ABCD中，
AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°.
∴∠AOE＋∠EOB＝90°，∠BOF＋∠EOB＝90°.
∴∠AOE＝∠BOF.
在△AOE和△BOF中，
∴△AOE≌△BOF(ASA)．
(2)两个正方形重叠部分的面积等于a2.理由如下：
∵△AOE≌△BOF，
∴S四边形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝a2.
【变式1】　解：OA＝OP，理由：
过点O作OG⊥AB于点G，过点O作OH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC.
∴OG＝OH.
∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90°，
∴四边形OGBH是正方形．
∴∠GOH＝90°.
∵∠AOP＝∠GOH＝90°，∴∠AOG＝∠POH.
∴△AGO≌△PHO(ASA)．
∴OA＝OP.
【变式2】　B
3．解：(1)证明：过点P作FG∥DC分别交AD，BC于点F，G.
易得∠PFD＝∠CGP＝90°.
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDF＝∠FPD＝45°.
∴PF＝FD.
又∵FG∥DC，FD∥GC，∠ADC＝90°，
∴四边形FGCD为矩形．
∴DF＝CG.
∴PF＝CG.
∵PE⊥PC，
∴∠FPE＋∠GPC＝90°.
∵∠FEP＋∠FPE＝90°，
∴∠FEP＝∠GPC.
∴在△PFE和△CGP中，
∴△PFE≌△CGP(AAS)．
∴PE＝CP.
(2)成立．理由：过点P作FG∥DC分别交AD，BC于点F，G.
同理可证△PFE≌△CGP(AAS)．
∴PE＝PC.
4．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠CDF.
又∵BE＝DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)．
∴CE＝CF.
(2)GE＝BE＋GD成立．
理由：由(1)得，△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF.
∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，
即∠BCD＝∠ECF＝90°.
又∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°.
∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，
∴△ECG≌△FCG(SAS)．
∴GE＝GF.
∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
专题3　特殊平行四边形的性质与判定
1．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPF＝∠DAE.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∴∠ABF＝∠DAE.
∵AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2)∵△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，DE＝AF.
∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
2．证明：(1)∵四边形ABCD，BEFG均为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90°，BG＝BE.
∴∠ABG＝∠CBE.
在△ABG和△CBE中，
∴△ABG≌△CBE(SAS)．
∴AG＝CE.
(2)设AG交BC于点M，交CE于点N.
∵△ABG≌△CBE，
∴∠BAG＝∠BCE.
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAG＋∠AMB＝90°.
∵∠AMB＝∠CMN，
∴∠BCE＋∠CMN＝90°.
∴∠CNM＝90°.
∴AG⊥CE.
3．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND∥AM.
∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.
又∵点E是AD边的中点，
∴DE＝AE.
∴△NDE≌△MAE(AAS)．
∴ND＝MA.
∴四边形AMDN是平行四边形．
(2)当AM的长为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵AM＝1＝AD＝AE，∠DAB＝60°，
∴△AEM是等边三角形．
∴∠AME＝∠AEM＝60°，EM＝AE＝ED.
∴∠EMD＝∠EDM＝30°.
∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90°.
∴四边形AMDN是矩形．
4.(1)四边形EFGH的形状是平行四边形，证明你的结论；
(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH是矩形；
(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．
证明：连接BD.∵E，H分别是AB，AD中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
同理FG∥BD，FG＝BD，
∴EH∥FG，EH＝FG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
5．解：(1)证明：由题意得△BCE≌△BFE，
∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.
∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC.
∴∠FGE＝∠BEF.
∴FG＝FE.∴FG＝EC.
∴四边形CEFG是平行四边形．
又∵CE＝FE，
∴四边形CEFG是菱形．
(2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，
∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10.
∴AF＝＝8.∴DF＝2.
设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x.
∵∠FDE＝90°，
∴22＋(6－x)2＝x2.解得x＝.∴CE＝.
∴S四边形CEFG＝CE·DF＝×2＝.
6．解：(1)能说明四边形EHFG是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB綊CD.
而AE＝AB，CF＝CD，
∴AE綊CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH.
同理可得GE∥HF.
∴四边形EHFG是平行四边形．
(2)当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．
由(1)知，四边形EHFG是平行四边形．
连接EF.当四边形ABCD是矩形时，四边形EBCF也是矩形，
∴EH＝FH，∴四边形EHFG是菱形．
(3)当四边形ABCD是矩形且AB＝2AD时，四边形EHFG是正方形．
由(2)知，当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．
又由AB＝2AD可知，四边形EBCF是正方形．
根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，
∴四边形EHFG是正方形．
专题4　四边形中的动点问题
【例】　(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；
解：(2)设经过t
s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.
∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t
cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.
∴当t＝4时，PQ∥CD.
(3)设经过t
s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.
当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．
∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.
∵AD＝12
cm，BC＝18
cm，
∴CF＝BC－BF＝6
cm.
①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，
PD＋2(BC－AD)＝CQ，
∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.
∴当t＝8时，PQ＝CD；
②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4
s时，PQ＝CD.
综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.
【拓展变式1】　解：不存在．理由：
要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．
由例知当t＝4
s时，四边形PQCD是平行四边形．
此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，
所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．
【拓展变式2】　
解：如图，由题意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t.
要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即AP∥BQ，只需满足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6.
所以当t＝6时，四边形PQBA是矩形．
【拓展变式3】　解：不存在．理由：
要使四边形PQBA是正方形，则四边形PQBA一定是矩形．
由变式2知，当t＝6时，四边形PQBA是矩形．
此时AP＝t＝6≠8，即AP≠AB，
所以按已知速度运动，四边形PQBA只能是矩形，不可能是正方形．
【拓展变式4】　解：△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
图1
图2
图3
①如图1，当QC＝DC时，即2t＝10，∴t＝5.
②如图2，当DQ＝DC时，过点D作DH⊥CQ，
则QH＝CH＝CQ＝t.
在矩形ABHD中，BH＝AD＝12，∴CH＝BC－BH＝6，∴t＝6.
③如图3，当QD＝QC时，过点D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t－6|.
在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2.
∴82＋|2t－6|2＝(2t)2.
解得t＝.
综上，当t＝5或6或时，△DQC是等腰三角形
专题5　特殊平行四边形中的折叠问题
【例】　解：∠MBN＝30°.
证明：连接AN.∵直线EF是AB的垂直平分线，点N在EF上，∴AN＝BN.
由折叠可知，BN＝AB，
∴△ABN是等边三角形．
∴∠ABN＝60°.
∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30°.
【拓展延伸】　解：四边形MBGB′是菱形．证明：
∵∠ABM＝30°，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠MBG＝∠AMB＝60°.
根据折叠的性质，得BM＝MB′，BG＝B′G，∠BMN＝∠AMB.
∴∠BMN＝∠MBG＝60°.
∴△MBG是等边三角形．
∴BM＝BG.
∴BM＝MB′＝BG＝B′G.
∴四边形MBGB′是菱形．
1．C
2．
cm.
3．5．
4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE＝AB，CE＝CB.
∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝AB＝DC，CE＝CB＝AD.
在△ADE和△CED中，
∴△ADE≌△CED(SSS)．
(2)由(1)知，△ADE≌△CED，∴∠AED＝∠CDE.
∴△DEF是等腰三角形．
小专题(十)　特殊平行四边形中的最值问题
【例】　解：作点E关于直线AC的对称点E′(易知点E′在CD上)，连接E′F，交AC于点P.
则PE＝PE′，CE′＝CE.
∴PE＋PF＝PE′＋PF＝E′F.
∴P即为所求的使PF＋PE最短的点．
∵正方形ABCD的边长为4，BE＝1，F为AB的中点，
∴BF＝2，CE＝CB－BE＝3.
∴CE′＝CE＝3.
过点F作FG⊥CD于点G，则∠FGE′＝∠FGC＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝∠FGC＝90°.
∴四边形FBCG是矩形．
∴CG＝BF＝2，FG＝BC＝4.
∴E′G＝E′C－CG＝1.
∴在Rt△E′FG中，E′F＝＝＝.
∴PF＋PE的最小值为.
1．．
2．AD的中点．
3．4．
4．解：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCA＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°.
∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°.
∴∠COA＝∠DOB.
在△COA和△DOB中，
∴△COA≌△DOB(ASA)．
∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．
由勾股定理，得AB＝＝OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，得OA⊥CD时，OA最小，
∵四边形CDEF是正方形，∴OD＝OC.
又∵OA⊥CD，∴CA＝DA.
∴OA＝CF＝1.∴AB＝.
∴AB的最小值为.