2020-2021学年沪科版九年级下学期数学强化训练题一（word版含答案）

2021沪科版数学强化训练题一
一、选择题(本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分)
1．－3的绝对值是
（
）
A．－3
B．3　
C．
D．－
2．疫情期间，高速免费79天，仅3月5日一天，高速免费惠及2650万辆车，累计减免通行费用达15亿元，将数字“15亿”用科学记数法表示为
（
）
A．2.65×107
B．265×104
C．1.5×109
D.
1.5×1010
3．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分为：86，98，90，88，96，92，96，这组数据的中位数和众数分别是（
）
A．92，96
B．90，96
C．92，98
D．92，92
4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A．x＝0
B．x≥0　
C．x＞－4　
D．x≥－4
5．下列计算正确的是
（
）
A．6a3－a3＝5a3
B．a3·a3＝a9
C．(3a)2＝6a2
D．a6÷a2＝a3
6．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是
（
）
A．a－3＜b－3
B．3－a＜3－b
C．ac＞bc
D．a2＞b2
7．方程3x2－2x－1＝0的根的情况是
（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
8．下列命题中，是假命题的是
（
）
A．两点确定一条直线
B．平行线之间的距离处处相等
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．同位角相等
9．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于
（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝58°，则∠BCA的度数是
（
）
A．58°
B．42°
C．32°
D．29°
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F.已知AB＝3，AD＝4，随着点P的运动，关于PE＋PF的值，下面说法正确的是
（
）
A．先增大，后减小
B．先减小，后增大
C．始终等于2.4
D．始终等于3
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G.连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA.则正确结论的序号是
（
）
A．①③　　B．②④　　C．①③④　　D．②③④
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算
＝
．
14．分解因式：a3＋2a2＋a＝
．
15．疫情期间，某校有6名教师志愿者进行值班，其中4名女教师志愿者，2名男教师志愿者，若随机抽取2人为组长，恰好抽到2名男教师志愿者的概率为
．
16．如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝28°32′，
则∠A等于
．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为
.
18．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①＞0;
②a＋b＋c＝0;
③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实根，④ac－b＋1＝0；⑤OA·OB＝－.其中正确结论有
．
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19．(本题满分10分，每小题5分)
(1)计算：(－1)2
021－＋2sin
30°＋|－|
(2)解方程：＋1＝.
20．(本小题满分5分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，1)，C(4，3).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1________，B1________，C1________；
(2)在x轴上作出点P，使PA＋PC最小．(不写作法，保留作图痕迹)
21．(本小题满分6分)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
(1)一次函数的解析式；
(2)△AOB的面积．
22．(本小题满分8分)疫情过去复学后，某校为了了解学生对疫情防控知识的掌握情况，随机抽测了本校部分学生进行了测试，共10个题，并将测试得到的情况绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)写出扇形图中a＝____%，并补全条形图；
(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是____个、____个．
(3)该校共有学生2
400人，如果答对题达6个以上(含6个)为合格，请你估计该校学生对疫情防控知识掌握合格的有多少名？
23．(本小题满分8分)(2020·百色模拟)高铁苏州北站已于几年前投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共10
500棵，若B花木数量是A花木数量的一半多1
500棵．
(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排27人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木50棵或B花木30棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
24．(本小题满分8分)(2020·贵港港南区一模)如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC，AB的长．
25．(本小题满分11分)(2020·贵港港南区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0).
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点E是线段BC上方的抛物线上一个动点，求△BEC的面积的最大值；
(3)点P是抛物线的对称轴上一个动点，当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．
26．(本小题满分10分)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ.连接QP并延长，分别交AB，CD于点M，N.
(1)如图①，求证：△BCP≌△DCQ；
(2)如图②，已知PM＝QN；若MN的最小值为2，求菱形ABCD的面积．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图①))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图②))
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分)
1．－3的绝对值是
（
B
）
A．－3
B．3　
C．
D．－
2．疫情期间，高速免费79天，仅3月5日一天，高速免费惠及2650万辆车，累计减免通行费用达15亿元，将数字“15亿”用科学记数法表示为
（
C
）
A．2.65×107
B．265×104
C．1.5×109
D.
1.5×1010
3．在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇7个村的得分为：86，98，90，88，96，92，96，这组数据的中位数和众数分别是（
A
）
A．92，96
B．90，96
C．92，98
D．92，92
4．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
D
）
A．x＝0
B．x≥0　
C．x＞－4　
D．x≥－4
5．下列计算正确的是
（
A
）
A．6a3－a3＝5a3
B．a3·a3＝a9
C．(3a)2＝6a2
D．a6÷a2＝a3
6．如果a＞b，那么下列结论一定正确的是
（
B
）
A．a－3＜b－3
B．3－a＜3－b
C．ac＞bc
D．a2＞b2
7．方程3x2－2x－1＝0的根的情况是
（
A
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
8．下列命题中，是假命题的是
（
D
）
A．两点确定一条直线
B．平行线之间的距离处处相等
C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D．同位角相等
9．如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于
（
B
）
A．3
B．4
C．5
D．6
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第9题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第10题图))
10．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，∠AOB＝58°，则∠BCA的度数是
（
D
）
A．58°
B．42°
C．32°
D．29°
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点P在边AD上从点A到点D运动，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BD于点F.已知AB＝3，AD＝4，随着点P的运动，关于PE＋PF的值，下面说法正确的是
（
C
）
A．先增大，后减小
B．先减小，后增大
C．始终等于2.4
D．始终等于3
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第11题图))
　　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第12题图))
12．★如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G.连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA.则正确结论的序号是
（
C
）
A．①③　　B．②④　　C．①③④　　D．②③④
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算
＝3．
14．分解因式：a3＋2a2＋a＝a(a＋1)2．
15．疫情期间，某校有6名教师志愿者进行值班，其中4名女教师志愿者，2名男教师志愿者，若随机抽取2人为组长，恰好抽到2名男教师志愿者的概率为．
17．如图，直线m∥n，∠1＝70°，∠2＝28°32′，
则∠A等于41°28′
．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第16题图))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(第17题图))
17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA＝6，则阴影部分的面积为3＋3π
.
18．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①＞0;
②a＋b＋c＝0;
③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0无实根，④ac－b＋1＝0；⑤OA·OB＝－.其中正确结论有④⑤．
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19．(本题满分10分，每小题5分)
(1)计算：(－1)2
021－＋2sin
30°＋|－|
解：原式＝－1－2＋1＋2
＝2－2.
(2)解方程：＋1＝.
解：方程两边同乘(x－2)得
x－3＋x－2＝－3
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x－2≠0，故x＝1是此分式方程的解．
20．(本小题满分5分)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，1)，C(4，3).
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1________，B1________，C1________；
(2)在x轴上作出点P，使PA＋PC最小．(不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，
A1(－1，2)，B1
(－3，1)，C1
(－4，3)；
故答案为(－1，2)，(－3，1)，(－4，3)；
(2)如图所示，点P即为所求．
21．(本小题满分6分)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
(1)一次函数的解析式；
(2)△AOB的面积．
解：(1)由题意A(－2，4)，B(4，－2)，
∵一次函数过A，B两点，
∴解得
∴一次函数的解析式为y＝－x＋2；
(2)设直线AB与y轴交于C，则C(0，2)，
∵S△AOC＝×OC×|xA|，S△BOC＝×OC×|xB|
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝·OC·|xA|＋·OC·|xB|
＝×2×2＋×2×4＝6.
22．(本小题满分8分)疫情过去复学后，某校为了了解学生对疫情防控知识的掌握情况，随机抽测了本校部分学生进行了测试，共10个题，并将测试得到的情况绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
(1)写出扇形图中a＝____%，并补全条形图；
(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是____个、____个．
(3)该校共有学生2
400人，如果答对题达6个以上(含6个)为合格，请你估计该校学生对疫情防控知识掌握合格的有多少名？
解：(1)扇形统计图中a＝1－30%－15%－10%－20%＝25%，
设答对6个题的学生有x人，由题意得＝，解得x＝50.
补全条形统计图如图所示：
(2)
由条形图可知，答对5个题的学生有60人，人数最多，
所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，
故中位数为(5＋5)÷2＝5.
(3)×2
400＝1
080(名).
答：估计该校对疫情防控知识掌握合格的同学有1
080名．
23．(本小题满分8分)(2020·百色模拟)高铁苏州北站已于几年前投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共10
500棵，若B花木数量是A花木数量的一半多1
500棵．
(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排27人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木50棵或B花木30棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
解：(1)设A花木的数量是x棵，B花木的数量是y棵，根据题意可得：解得
答：A花木的数量是6
000棵，B花木的数量是4
500棵；
(2)设安排a人种植A花木，则安排(27－a)人种植B花木，
＝，
解得a＝12，经检验，a＝12是原方程的解，
∴27－a＝15，
答：安排12人种植A花木，15人种植B花木，才能确保同时完成各自的任务．
24．(本小题满分8分)(2020·贵港港南区一模)如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC，AB的长．
(1)证明：连接OC.
∵点C在⊙O上，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA.
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，∴∠CAD＋∠DCA＝90°，
∴∠DCO＝∠DCA＋∠ACO＝∠DCA＋∠DAC＝90°，
∵点C是⊙O上一点，
∴CD是⊙O切线．
(2)解：作OF⊥AB于F，
∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形CDFO是矩形，∴OC＝FD，OF＝CD，
∵CD＝2AD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x，
∵DF＝OC＝10，
∴AF＝10－x，
在Rt△AOF中，AF2＋OF2＝OA2，
∴(10－x)2＋(2x)2＝102，
解得x＝4或0(舍去)，
∴AD＝4，AF＝6，OF＝CD＋8.
∴AC＝＝4，
∵OF⊥AB，
∴AB＝2AF＝2·＝12.
25．(本小题满分11分)(2020·贵港港南区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0).
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点E是线段BC上方的抛物线上一个动点，求△BEC的面积的最大值；
(3)点P是抛物线的对称轴上一个动点，当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，
∴解得
∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；
(2)如解图，作EF∥y轴交BC于点F，记△BEC的面积为S，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴直线BC解析式为y＝－x＋3.
设E(m，－m2＋2m＋3)(0∴EF＝(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)＝－m2＋3m.
解图
∴S＝EF·OB＝(－m2＋3m)×3＝－(m－)2＋.
∵－<0，0∴当m＝时，S最大＝，
此时，点E的坐标是(，).
(3)
∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴可设P(1，n)，
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝10，AP2＝4＋n2，CP2＝1＋(n－3)2＝n2－6n＋10.
①当AC⊥AP时，AC2＋AP2＝CP2，
即10＋4＋n2＝n2－6n＋10.
解得n＝－；
②当AC⊥CP时，AC2＋CP2＝AP2，
即10＋n2－6n＋10＝4＋n2，
解得n＝；
③当AP⊥CP时，AP2＋CP2＝AC2，
即4＋n2＋n2－6n＋10＝10.
解得n＝1或2.
综上所述，符合条件的点P的坐标是(1，－)或(1，)或(1，1)或(1，2).
26．(本小题满分10分)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是对角线BD上一动点，将线段CP绕点C顺时针旋转120°到CQ，连接DQ.连接QP并延长，分别交AB，CD于点M，N.
(1)如图①，求证：△BCP≌△DCQ；
(2)如图②，已知PM＝QN；若MN的最小值为2，求菱形ABCD的面积．
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图①))
　　
eq
\o(\s\up7(),\s\do5(图②))
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AB∥CD，
∴∠PBM＝∠PBC＝∠ABC＝30°，∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°－∠ABC＝120°
由旋转的性质得PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠BCD＝∠PCQ，即∠BCP＋∠PCD＝∠DCQ＋∠PCD，
∴∠BCP＝∠DCQ，
在△BCP和△DCQ中，
∴△BCP≌△DCQ(SAS)；
(2)解：过点C作CG⊥PQ于点G，连接AC，
∵PC＝QC，∠PCQ＝120°，
∴∠PCG＝60°，PG＝QG，∴PG＝PC，∴PQ＝PC.
∵PM＝QN，
∴MN＝PQ＝PC，
∴当PC⊥BD时，PC最小，此时MN最小，
∴PC＝2，在Rt△BPC中，BC＝2PC＝4，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴S△ABC＝×4×2＝4，
∴菱形ABCD的面积＝2S△ABC＝2×4＝8.