2020-2021学年七年级数学北师大版下册第四章 4.5利用三角形全等测距离 同步练习题（word版含答案）

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章
4.5利用三角形全等测距离
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①、②两块，现需配成同样大小的一面镜子．为了方便起见，需带上___块，其理由是_______________．
2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE＝_______．
　　
3．如图，在成都某大楼的对面有一座小山坡，小明在水平地面C处摆放了一面镜子，小华在楼顶E处用激光笔照射镜子，使反射光线正好经过山顶A，此时∠ACE＝90°.测得∠AEC＝45°，CD＝82
m，则小山坡的高度为_______m.
4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
此时，测得DE的长度为15米，则河宽_______米．
　　
二、选择题　　　　　　　　　　　　　　
5．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具．由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B的理由是(
)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
6．如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是(
)
A．AAS
B．SAS
C．ASA
D．SSS
　　
7．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是(
)
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
三、解答题
8．公路上，A，B两站相距25千米，C，D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C，D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？
9．小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝54°，量得P到楼底的距离PB与旗杆高度都为10米，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
B组(中档题)
一、填空题
10．如图，先作△ABC，再找一点D，使AD∥BC，并使AD＝BC，连接CD，DE⊥AC于点E，∠1＝30°，量得DE的长为40米，则AB的长为_______米．
11．如图，作DB⊥AB于点B，过点D作CD⊥BD于点D，取BD的中点E，使点A，E，C共线，DF是Rt△ECD斜边上的中线，若DF＝20米，连接AC交BD于点E，∠C＝60°，则AB的长为_______米．
　　
二、解答题
12．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE.
C组(综合题)
13．(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______；
(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F
分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．
参考答案
2020-2021学年北师大版七年级数学下册第四章
4.5利用三角形全等测距离
同步练习题
A组(基础题)
一、填空题
1．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①、②两块，现需配成同样大小的一面镜子．为了方便起见，需带上①块，其理由是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
2．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角∠ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°．
　　
3．如图，在成都某大楼的对面有一座小山坡，小明在水平地面C处摆放了一面镜子，小华在楼顶E处用激光笔照射镜子，使反射光线正好经过山顶A，此时∠ACE＝90°.测得∠AEC＝45°，CD＝82
m，则小山坡的高度为82m.
4．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20步有一棵树C，继续前行20步到达D处；
③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
此时，测得DE的长度为15米，则河宽15米．
　　
二、选择题　　　　　　　　　　　　　　
5．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具．由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B的理由是(A)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
6．如图，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是(B)
A．AAS
B．SAS
C．ASA
D．SSS
　　
7．如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是(D)
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
三、解答题
8．公路上，A，B两站相距25千米，C，D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C，D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？
解：∵∠DHC＝90°，
∴∠AHD＋∠CHB＝90°.
∵DA⊥AB，
∴∠D＋∠AHD＝90°.
∴∠D＝∠CHB.
在△ADH和△BHC中，
∴△ADH≌△BHC(AAS)．
∴AD＝BH＝15千米，AH＝BC，
∵A，B两站相距25千米，
∴AB＝25千米．
∴AH＝BC＝AB－BH＝25－15＝10(千米)．
∴学校C到公路的距离是10千米．
答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米．
9．小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝54°，量得P到楼底的距离PB与旗杆高度都为10米，量得旗杆与楼之间的距离DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°.
在△CPD和△PAB中，
∴△CPD≌△PAB(ASA)．
∴DP＝AB.
∵DB＝36米，PB＝10米，
∴AB＝36－10＝26(米)．
故楼高AB是26米．
B组(中档题)
一、填空题
10．如图，先作△ABC，再找一点D，使AD∥BC，并使AD＝BC，连接CD，DE⊥AC于点E，∠1＝30°，量得DE的长为40米，则AB的长为80米．
11．如图，作DB⊥AB于点B，过点D作CD⊥BD于点D，取BD的中点E，使点A，E，C共线，DF是Rt△ECD斜边上的中线，若DF＝20米，连接AC交BD于点E，∠C＝60°，则AB的长为20米．
　　
二、解答题
12．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证：BD＝2AE.
证明：延长AE交BO的延长线于点F.
∵AE⊥BE，
∴∠AEB＝∠FEB＝90°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)．
∴AE＝FE.∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°.
∴∠OAF＝∠OBD.
又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°，
∴△AOF≌△BOD(ASA)．
∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
C组(综合题)
13．(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；
(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F
分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．
图1　　　　　　图2
解：结论EF＝BE＋DF仍然成立．
理由：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.
在△AEF和△GAF中，
∴△AEF≌△AGF(SAS)．
∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋DF.