2020-2021学年七年级数学鲁教版下册《第8章平行线的证明》综合培优训练（word附答案）（五四制）

2020-2021年度鲁教版七年级数学下册《第8章平行线的证明》综合培优训练（附答案）
1．如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝180°﹣α﹣β
B．γ＝α+2β
C．γ＝2α+β
D．γ＝α+β
2．如图，直尺经过一块三角板DCB的直角顶点B，若将边AB绕点B顺时针旋转，∠ABC＝20°，∠C＝30°，则∠DEF度数为（　　）
A．25°
B．40°
C．50°
D．80°
3．如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠A＝100°，则∠BOC的度数为（　　）
A．120°
B．130°
C．140°
D．150°
4．如图，△ABC中，AE是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线，∠B＝42°，∠C＝68°，∠DAE的度数（　　）
A．13°
B．15°
C．20°
D．22
5．如图：∠A＝50°，BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∠P＝20°，则∠C＝（　　）
A．20°
B．15°
C．5°
D．10°
6．一个三角形的两个内角分别是40°和70°，且知这两个角所对的边长分别是a和b，那么这个三角形的周长是（　　）
A．a+2b
B．2（a+b）
C．2a+b
D．a+2b或2a+b
7．如图，把一块含有30°角（∠A＝30°）的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的顶点C处，斜边AB经过桌面另一个顶点D，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
8．如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为　
　．
9．如图，已知长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是　
　．
10．在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝　
　，△ABC为等腰三角形．
11．如图，AD∥BC，∠ADC＝120°，∠BAD＝3∠CAD，E为AC上一点，且∠ABE＝2∠CBE，在直线AC上取一点P，使∠ABP＝∠DCA，则∠CBP：∠ABP的值为　
　．
12．△ABC中，若∠A＝27.5°，∠B＝30°25′，则∠C＝　
　．
13．如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝　
　度．
14．如图，BP是△ABC的内角∠ABC的角平分线，交外角∠ACD的角平分线CP于点P，已知∠A＝70°，则∠P的度数为　
　．
15．如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC＝80°，则∠CAP＝　
　．
16．如图，∠ACD的平分线与∠ABD的平分线交于点E．∠A，∠CEB和∠D之间的数量关系是　
　．
17．如图，已知AB∥CD，则∠A、∠C、∠P的关系为　
　．
18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A＝60°，则∠BMN的度数是　
　．
19．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE＝∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG＝∠DGF．若∠EFG＝35°，则∠CDF的度数为　
　．
20．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　
　．
21．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为　
　度．
探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
22．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
23．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
（1）如图1，求证：CF∥AB；
（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
24．如图，∠1＝52°，∠2＝128°，∠C＝∠D．探究∠A与∠F的数量关系，并说明理由．
25．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，请你求出∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与α，β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）联想拓展：在（2）的条件下，如果点P在B，D两点外侧运动时（点P与点O，B，D三点不重合），请直接写出∠APC与α，β之间的数量关系；
（4）解决问题：我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题，随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题．
已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°
26．如图，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F．
（1）求证：EF∥CD；
（2）若DE∥BC，EF平分∠AED，求证：CD平分∠ACB．
27．如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE平行直线OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于点C．
（Ⅰ）若∠O＝50°，求∠ACE的度数；
（Ⅱ）求证：CG平分∠OCD；
（Ⅲ）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF，并说明理由．
参考答案
1．解：如图，设AC交DA′于F．
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：C．
2．解：∵∠DAB＝∠C+∠ABC，∠C＝30°，∠ABC＝20°，
∴∠DAB＝20°+30°＝50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠DAB＝50°，
故选：C．
3．解：∵OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠A＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝（180°﹣100°）＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°﹣40°
＝140°．
故选：C．
4．解：∵∠B＝42°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC＝∠BAC＝35°，
∵AE是BC边上的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝68°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝35°﹣22°＝13°．
故选：A．
5．解：如图，延长PD交BC于M．设∠ADP＝∠CDP＝x，∠ABP＝∠PBC＝y．
∵∠ADC＝∠A+∠ABC+∠C，
∴2x＝2y+50°+∠C①
∵∠PDC＝∠DMC+∠C，∠DMC＝∠PBC+∠P，
∴x＝∠C+∠P+y，
∴x＝∠C+20°+y②，
①代入②可得∠C＝10°，
故选：D．
6．解：如图，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，BC＝a，AC＝b．
∵∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°＝∠B，
∴AB＝AC＝b，
∴△ABC的周长为a+2b．
故选：A．
7．解：
∵ED∥CF，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵∠3＝∠2+∠A，
∴∠2＝∠3﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故选：C．
8．解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．
则有，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
9．解：由折叠得，∠BAO＝∠OAP，AB＝AP，
∵长方形纸片ABCD，
∴AB＝CD，∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，
∵P为CD中点，
∴PC＝PD＝CD＝AP，
在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，
∴∠OAB＝∠OAP＝（90°﹣30°）＝30°，
故答案为：30°．
10．解：①当AB＝AC时，
∵∠A＝36°，
∴∠C＝∠B＝72°．
②当CA＝CB时，
∵∠A＝∠B＝36°，
∴∠C＝108°．
③当BA＝BC时，
∴∠C＝∠A＝36°，
综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，
故答案为：72°，36°，108°．
11．解：如图，①当∠ABP1＝∠DCA时，即∠1＝∠2，
∵∠D＝120°，
∴∠1+∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵∠BAD＝3∠CAD，∠ABE＝2∠CBE，AD∥BC，
∴3∠3+3∠EBC＝180°，
∴∠3+∠EBC＝60°，
∴∠EBC＝∠1＝∠2＝∠P1BE，
∴∠CBP1：∠ABP1的值为2，
②当∠ABP2＝∠DCA时，∴∠CBP2：∠ABP2的值为4，
故答案为：2或4．
12．解：∵∠A＝27.5°，∠B＝30°25′，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣27.5°﹣30°25′＝122°5′，
故答案为：122°5′．
13．解：过点C作CF平行于AB，如图：
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED．
AB∥CF?∠1＝180°﹣∠B＝30°，
CF∥ED?∠2＝180°﹣∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．
故填65°．
14．解：∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP＝∠ABC，
∵CP平分△ABC的外角，
∴∠PCD＝∠ACE＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC，
在△BCP中，由三角形的外角性质，∠PCE＝∠CBP+∠P＝∠ABC+∠P，
∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠P，
∴∠P＝∠BAC＝×70°＝35°．
故答案为：35°．
15．解：延长BA，作PN⊥BD于点N，PF⊥BA于点F，PM⊥AC于点M，
设∠PCD＝x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝80°，
∴∠ABP＝∠PBC＝（x﹣80）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣80°）﹣（x°﹣80°）＝160°，
∴∠CAF＝20°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝10°．
故答案为10°．
16．解：如图，延长AC交BD于M．设∠ABE＝∠EBD＝x，∠ACE＝∠ECD＝y．
∵∠AMD＝∠A+∠ABD＝∠A+2x，∠ECD＝∠CEB+∠EBD+∠D＝∠CEB+x+∠D，
∴∠ACD＝2∠ECD＝2∠CEB+2x+2∠D，
∵∠ACD＝∠AMD+∠D，
∴∠AMD＝2∠CEB+2x+2∠D﹣∠D＝2∠CEB+2x+∠D
∴∠A+2x＝2∠CEB+2x+∠D，
∴∠A＝2∠CEB+∠D，
故答案为：∠A＝2∠CEB+∠D．
17．解：如右图所示，作PE∥CD，
∵PE∥CD，
∴∠C+∠CPE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∴∠A+∠C﹣∠P＝180°，
故答案为：∠A+∠C﹣∠P＝180°．
18．解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，
∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，
∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，
∴NE＝NG，NF＝NG，
∴NE＝NF，
∴MN平分∠BMC，
∴∠BMN＝∠BMC，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
根据三等分，∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×120°＝80°，
在△BMC中，∠BMC＝180°﹣（∠MBC+∠MCB）＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BMN＝×100°＝50°，
故答案为：50°．
19．解：∵∠DCE＝∠DEC，∠DFG＝∠DGF，
∴设∠DCE＝∠DEC＝x°，∠DFG＝∠DGF＝y°，
则∠FEG＝∠DEC＝x°，
∵在△GFE中，∠EFG＝35°，
∴∠FEG+∠DGF＝x°+y°＝180°﹣35°＝145°，
即x+y＝145，
在△FDC中，∠CDF＝180°﹣∠DCE﹣∠DFC＝180°﹣x°﹣（y°﹣35°）
＝215°﹣（x°+y°）
＝70°，
故答案为：70°．
20．解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
21．解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
22．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点N作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CGH＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
23．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．
∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，
∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
（3）∵BE平分∠ABG，
∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，
解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
24．解：∠A＝∠F，
理由是：∵∠1＝52°，∠2＝128°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
25．解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，
∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°；
（2）∠APC＝α+β，
理由是：如图2，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，
（3）如图3，所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1＝∠PAB＝α，
∵∠1＝∠APC+∠PCD
∴∠APC＝∠1﹣∠PCD，
∴∠APC＝α﹣β，（9分）
如图4所示，当P在DB延长线上时，
同理可得：∠APC＝β﹣α，
（4）证明：如图5，过点A作MN∥BC，
∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，
∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，
∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．
26．证明：（1）∵CD⊥AB于D，EF⊥AB于F．
∴∠BDC＝∠EFB＝90°，
∴EF∥CD；
（2）∵EF平分∠AED，
∴∠AEF＝∠DEF，
∵DE∥BC，EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ACD，∠DEF＝∠CDE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB．
27．（Ⅰ）解：∵DE∥OB，
∴∠ACE＝∠O，
∵∠O＝50°，
∴∠ACE＝50°；
（Ⅱ）证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG＝90°，
∴∠DCF+∠DCG＝90°，
又∵∠GCO+∠GCD+∠FCA+∠FCD＝180°（平角定义），
∴∠GCO+∠FCA＝90°，
∵CF平分∠ACD，
∴∠FCA＝∠DCF，
∴∠GCO＝∠DCG（等角的余角相等），
即CG平分∠OCD；
（Ⅲ）结论：当∠O＝60°时，CD平分∠OCF，
当∠O＝60°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO＝∠O＝60°，
∴∠ACD＝120°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF＝60°，
∴∠DCO＝∠DCF，
即CD平分∠OCF；