与圆有关的最值问题（无答案）

与圆有关的最值问题
题型目录：
【题型1
切线长最小值】
【题型2
切点弦最值】
【题型3
动直线与圆相交弦长最短】
【题型4
圆外一点到圆上一点的距离最值问题】
【题型5
圆上的点到直线距离最值问题】
【题型6
两个圆的距离最值问题】
【题型7
与几何意义有关的最值问题】
【题型1
切线长最小值】
求切线长最小值的两种方法
①(代数法)直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
②(几何法)把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．
已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.
【例1】由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(
)
A．1
B．2
C.
D．3
【变式1-1】若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(
)
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式1-2】从点P(m,3)向圆引切线，则切线长的最小值为（
）
【变式1-3】由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（
）
【题型2
切点弦最值】
【例2】过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
【变式2-1】点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________．
【变式2-2】已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆C:
x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
（1）求四边形PACB面积的最小值；
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
【题型3
动直线与圆相交弦长最短】
已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.
【例3-1】过点作圆的弦，其中最短的弦长为________.
【变式3-1】过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
【例3-2】已知圆，直线，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【变式3-2】已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
（1）m∈R时，证明l与C总相交；
（2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
【变式3-3】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
（1）求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
【变式3-4】过点的直线与圆交于，两点，为圆心，当最小时，直线的方程是（
）
A.
B.
C.
D.
【题型4
圆外一点到圆上一点的距离最值问题】
已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为（即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.
【例4】圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2上与点(0，－5)距离最大的点的坐标是
(
)
A．(1，－2)
B．(3，－2)
C．(2，－1)
D．(＋2，－3)
【变式4-1】圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是(
)
A．5－
B．5＋
C．
D．10
【变式4-2】．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________.
【题型5
圆上的点到直线距离最值问题】
已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于
【例5】圆上的点到直线的距离的最大值是（
）
A.2
B.
C.
D.
【变式5-1】圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________.
【变式5-2】圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
（
）
【变式5-3】已知两点A(-1，0)，B(0，2)，点P是圆上任意一点，则△PAB的面积的最大值与最小值的分别是（
）
【变式5-4】在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆上任意一点，点，则线段PQ长度的最小值为
_____.
【题型6
两个圆的距离最值问题】
【例6】已知P为直线上一点，M,N分别为圆上的点，的最大值为（
）
A.4
B.5
C.6
D.7
【变式6-1】已知圆，圆，，分别是圆和圆上动点，是轴上的动点，则的最小值为（
）
A.
B.
C.
D.
【变式6-2】点P在圆上，则|PQ|的最小值为
（
）
A.5
B.1
C.
D.
【变式6-3】已知A(-2，0)，B(2，0)，点P在圆的最小值是______.
【题型7
与几何意义有关的最值问题】
（1）形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题；
（2）形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题；
（3）形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
【例7】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
（1）求的最大值和最小值．
（2）求y－x的最大值和最小值
（3）求x2＋y2的最大值和最小值．
【变式7-1】（1）如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；
（2）已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围．
【变式7-2】若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为(
)
A．2
B．1
C.
D.