华师大版九年级下册数学(全册学案 无答案)

　　　　　　　　　　　　　　　
华师大版九年级数学下册教学案
《二次函数》教学案
学习目标
1．理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；
2．会建立简单的二次函数模型，并能够根据实际问题确定自变量的取值范围；
3．通过具体实例，让学生经历概念的形成过程，使学生体会到函数能够反映实际事物的变化规律，体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证观点．
学习重点、难点
重点：对二次函数概念的理解．
难点：抽象出实际问题中的二次函数关系．
预习导学
1.请写出一个一次函数,一个反比例函数,回忆这两个关系式的特点.
2.比较与有什么共同特点？与已学过的一次函数之间的区别.
学习研讨
问题1：要用总长为20
m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y
m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（你知道怎样围矩形的面积最大吗？）
（1）?图28.1.3
?的值是否可以任意取？有限定范围吗？
（2）我们发现，当AB的长（）确定后，矩形的面积（）也就随之确定，是的函数，试写出这个函数的关系式．
问题2
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
分
析：在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为元，是的函数，试写出这个函数关系式。
观察：得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？
概
括：它们都是用自变量的
来表示的．
二次函数的概念：
形如（
）（、、是
，）的函数叫做二次函数．ax2叫做
项，a为二次项
；bx叫做
项，
b为一次项
；c为
,
注意：（1）关系式都是整式，（2）自变量的最高次数是二次，（3）二次项系数不等于零.
课堂达标练习
1．已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10
cm．
（1）当它的一条直角边长为4.5
cm时，求这个直角三角形的面积；
（2）设这个直角三角形的面积为S
cm2，一条直角边长为cm，求S关于的函数关系式．
2．已知正方体的棱长为cm，它的表面积为S
cm2，体积为V
cm3．
（1）分别写出S与、V与之间的函数关系式；
（2）这两个函数中，哪个是的二次函数？
3.设圆柱的高为6
cm，底面半径r
cm，底面周长C
cm，圆柱的体积为V
cm
3．
（1）分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；
（2）这三个函数中，哪些是二次函数？
课堂作业：
P4习题27.1第3，4题。
教学反思:
27.2.1《二次函数y=ax2的图象与性质》导学案
　学习目标：
　　1、会用描点法画出二次函数y=ax2
的图象；
　　2、根据对特殊函数图象的观察，归纳得出二次函数y=ax2的性质；
　　3、进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并能解决一些简单的应用问题；
　　4、领悟数形结合的数学思想方法，培养观察能力、分析能力和归纳能力；
　学习重点：根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质；
　学习难点：用数形结合的方法归纳二次函数的性质。
学习过程：
一、尝试题一：（学生尝试自主完成以下题目：）
1.
请回忆正比例函数、一次函数和反比例函数的图象，它们分别是什么形状？（
、
）
我们是用怎样的方法得出这些图象的？
用描点法画图象有哪些步骤？（
、
、
）
2.下面是一次函数的图象，根据图象，你能看出函数的哪些性质？
我们已经知道了二次函数的一般形式
是
，接下来我们仿
照前面研究函数图象的方法来研究二次函数的图象。
请仿照前面画函数图象的方法画出函数的图象.
①自变量x的取值范围是什么？
②要画这个图，你认为x取整数还是取其他数较好？
③若选7个点画图，你准备怎样选？
(1)
x
(2)
x
4．根据所画图像回答课本议一议的5个问题，把你的结论与小组同学交流：
(问题详见课本)
总结y＝ax2﹙a＞0﹚的图像及性质：
二、尝试题二：
1..画出函数的图象
列表：
x
y
描点画图：
2.从函数图象入手，再次总结二次函数y＝ax2﹙a＜0﹚的性质
　你能得出y＝ax2的性质吗？
?抛物线
?y＝ax2
（a＞0）
?y＝ax2(a＜0)
?顶点坐标
?
?
?对称轴
?
?
?位置
?
?
?开口方向
?
?
?增减性
?
?
?最值
?
?
四、课堂检测：
填空题:
抛物线y=2x2的顶点坐标是
,对称轴是
,在
侧,y随着x的增大而增大；在
侧,y
随着x的增大而减小,当x
=
时,函数y的值最小,最小值是
,抛物线y=2x2在x轴的
方(除顶点外).
2.抛物线位置在x轴的
方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的
；在对称轴的右侧,y随着x的
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,当x
0时,y<0.
3.已知二次函数①y=-x2;
②y=15x2;③y=-4x2;④y=-
x2;⑤y=4x2.
(1)其中开口向上的有_______(填题号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；
(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________
五、学后反思:
1.通过本节课学习，我的收获是：
;
2.我感到疑惑的是：
;
作业：P7练习第1，2题。
教学反思：
27.2.2《二次函数的图像与性质》学案
教学目标：
理解并记忆（a≠0）类型函数的图像特点及性质。
能说出二次函数（a≠0的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解其增减性。
能用运动变化的观点理解（a≠0）与图像之间的关系。
重点难点：
教学重点：理解（a≠0）类型函数的图像特点及性质。
教学难点：灵活运用（a≠0）类型函数的性质解决问题。
教学过程：
一、复习旧知：
1、二次函数的图像是
。
2、二次函数的图像具有什么性质？请填写下表：
a＞0
a＜0
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值
增减性
图像特征
当x＜0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而
；当X＞0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而
。
当x＜0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而
当X＞0时，图像从左到右是
的，y随x的增大而
。
函数值变化
完成下面各题：
（1）的图像与的图像关于
对称。
（2）函数的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
。
二、导入新课：
本节课我们研究（a≠0）类型函数的图像与性质。
三、新知探究：
（一）在同一坐标系中画出函数的图像。
探索与发现：上面的两个函数有哪些相同点和不同点？
相同点：
不同点：
思考：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图像上相应的两个点之间的位置又有什么关系？你能得到什么结论？
（二）在同一直角坐标系中，画出函数的图像，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线。
（三）探究与归纳：
（a≠0）的图像可看作是由的图像经过怎样的变换得到的？（a≠0）有哪些性质？
（a≠0）
开口方向
对称轴
顶点坐标
a＞0
a＜0
（a≠0）可看作是由的图像
（k＞0）或
（k＜0）平移︱k︱个单位得到的。
四、课堂练习：
1、抛物线的开口
，对称轴是
，顶点坐标是
，它可以看做是由抛物线向
平移
个单位得到的。
2、二次函数图像顶点在x轴下方，则m的值为（
）。
A
5
B
-1
C
5或-1
D
8
3、抛物线的开口方向
，对称轴是
，顶点坐标是
，当x
时，y随x的增大而增大；当x
时，y随x的增大而减小；当x
时，y取最
值，为
。
4.将抛物线的图像向上平移4个单位后，所得抛物线是
，其顶点坐标是
。
5.抛物线与x轴的交点坐标是
，
，与y轴的交点坐标是
。
教学反思：
.3《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数的性质
2．通过二次函数的图象与二次函数y＝ax2图象之间的关系，形象直观地认识二次函数的性质．
学习重点、难点
学习重点：理解类型函数的图象特点和性质．
学习难点：灵活运用类型函数的图象特点和性质去解决问题．
【课前自学】
1.本节课将探讨二次函数y＝ax2和的图象与性质之间的关系．
例　在直角坐标系中，画出函数和的图象．
解
列表．
描点、连线，画出这两个函数的图象．
观　察
根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
思　考
这两个函数的图象之间有什么关系？
概　括
1.通过观察、分析，可以发现：函数y＝2（x－1）2与y＝2x2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．
函数y＝2（x－1）2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
2.可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2（x－1）2的性质：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
3.画出和的草图，猜想的性质。
（1）的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
（2），当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
【课堂学习】
在同一直角坐标系中画出函数、和的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数的图象可以看成由函数的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数的性质．再说出函数的图象可以看成由函数的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数的性质．
解：列表得
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
…
…
1.函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__
___，顶点坐标是（_____，_____）．
2.得到函数的性质：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
3.函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__
___，顶点坐标是（_____，_____）．
4.得到函数的性质：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
【课堂练习】
1.
已知函数、和．
在同一直角坐标系中画出它们的图象；
分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
分别讨论各个函数的性质
2.
根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？
【课堂小结】
你能说出函数y＝a（x－h）2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
27.2.4《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．在认识理解二次函数y＝ax2和的图象与性质的基础上进一步探求二次函数的图象与二次函数和y＝ax2的图象之间的本质联系．
2．通过图象之间的关系，形象直观地认识二次函数二次函数的性质．
重点、难点
重点：理解及类型函数的图象特点和性质．
难点：灵活运用及类型函数的图象特点和性质去解决问题．
复习导学
1．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__
___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
2．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__
___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
3．函数的图象可以看作是将函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线__
___，顶点坐标是（_____，_____）．当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
本节课将探讨二次函数y＝ax2和的图象与性质之间的关系的基础上，进一步探求二次函数的图象与二次函数和y＝ax2的图象之间的本质联系．
课堂学习研讨：
例　在同一直角坐标系中，画出函数、
、和的图象．
解：列表
然后说出函数的性质．
归纳：函数的图象是由函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
由图象可以找到函数的图象与函数的图象之间的关系．
试一试：
填写下表．
（2）从上表中，你能分别找到函数与函数、的图象的关系吗？
（3）函数有哪些性质？
（4）你能画出的图象，并说出它的性质吗？
做一做：
画出函数的图象，并将它与函数
的图象作比较．
函数的图象是由函数的图象向_____平移_____个单位得到的．它的对称轴是直线_____，顶点坐标是（_____，_____）．
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x_____时，函数值y随x的增大而增大；当x_____时，函数取得最______值，最______值y
＝______．
试说出函数的图象与函数的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
课堂练习
1.已知函数y＝x2、和．
在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；
分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
试讨论函数的性质．
解：（1）先列表，然后描点画图。
（3）讨论这个函数的性质
2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线
和抛物线？如果要得到抛物线，那么应该将抛物线y＝x2作怎样的平移？
课堂小结
1.你能说出函数y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
2.本节研究了函数y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象及其性质，这种形式叫做二次函数的顶点式，是我们研究二次函数问题的重要形式。
3.不画图象说出下列函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
教学反思：
27.2.5《二次函数的图象与性质》
学习目标
1．能通过配方法将二次函数二次函数（）化成（）的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．会通过对称性画出二次函数的图象，并运用其解决实际应用问题，体会数形结合思想．
重点、难点
学习重点：通过配方法将二次函数二次函数（）化成（）的形式来研究函数的图象特点和性质．
学习难点：对函数的图象特点和性质的理解．
【课前自学】
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1）；　　　　（2）；
（3）；　　　　（4）．
2．本节课将探讨二次函数的图象与性质之间的关系的基础上，进一步探求二次函数的图象与二次函数的图象之间的本质联系．
【课堂研讨】
例
画出函数的图象，并说明这个函数具有哪些性质．
分析：因为
＝
所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x＝
，顶点坐标为（
，
）．
根据这些特点，我们容易画出它的图象．
解　列表．
画出的图象如图：．
由图象不难得到这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而
；
当x＞1时，函数值y随x的增大而
；
当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝
．
做一做：
（1）请你按照上面的方法，画出函数的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
解　配方得
画出图象：
列表
由图象不难得到这个函数具有如下性质：
由图象不难得到这个函数具有如下性质：
当x＜
时，函数值y随x的增大而
；
当x＞
时，函数值y随x的增大而
；
当x＝
时，函数取得最
值，最
值y＝
．
（2）通过配方变形，说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
【课堂学习】
1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（1）；　（2）；
（3）
2.对于任意一个二次函数（），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？（试试看能否自己求出来）
所以二次函数（）的图象的对称轴是：直线
顶点坐标为（，
）（即为抛物线的顶点公式）
总结二次函数（）（即）的性质
【课堂练习】
1.
通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）　　　　　　　
（2）
（3）　　　　　（4）
2.先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出函数的图象，并说出它的性质.
【课堂小测】
1.填写表中的空格．
2.先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出函数的图象，并说出它的性质.
【课后作业】
1.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1）；
（2）；
（3）；　（4）．
2.　已知函数．
画出函数的图象；
观察图象，说出x取哪些值时，函数的值为0．
3.　已知二次函数．
先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象；
观察图象确定：x取什么值时，①
y＝0；②
y＞0；③
y＜0．
小结与作业：
教学反思：
27.2.6《二次函数（）的最大(小)值》．
学习目标
1．会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值．
2．经历应用数学知识解决实际问题的全过程，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．
学习重点、难点
学习重点：会通过配方求二次函数（）的最大值或最小值．
学习难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题的最大值或最小值．
【课前自学】
1.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．
（1）；　
　　
　（2）；
2.通过配方求下列二次函数的最大值或最小值.
（1）；　
　　
　（2）
3.应用二次函数的有关知识去解决问题．
问题1：要用总长为20
m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？
分析：设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，矩形的面积y
m2
函数关系式为
（0＜x＜10）
即
　（0＜x＜10）
这个问题实际上是要求出自变量x为何值时，二次函数（0＜x＜10）取得最大值．
将这个函数的关系式配方，得．
显然，这个函数的图象开口
，它的顶点坐标是（
，
），这就是说，
当x＝5时，函数取得最大值y＝
．
这时，AB＝5（m），BC＝20－2＝
（m）．
所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5
m，与墙平行的一边长
m时，花圃面积最大，最大面积为
m
2．
【课堂学习】
例
用6
m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设做成的窗框的宽为x
m，则长为m．这里应有x＞0，且＞0，故
＜x＜
做成的窗框的透光面积y与x的函数关系式是
当x＝
时，函数取得最大值y＝
．
答：
【课堂练习】
1.求函数的最大值或最小值
2．如图，有长24米的铁栏杆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间隔有一道铁栏杆的长方形花圃．设花圃中垂直于墙AD的一边AB的长为米，花圃的总面积为平方米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）如果花圃的总面积为45平方米，求AB的长；
（3）能否围成面积比45平方米更大的花圃？如果能，请求出
最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【课堂小测】
1.求函数的最大值或最小值.
2．有一根长为40
cm的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？
3．已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？
（提示：设其中的一个正数为x，将它们的积表示为x的函数）
【课后作业】
1.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴．
（1）y＝x2－3x－4；
（2）y＝2－4x－x2；
（3）y＝x2－2x－1；
　　
（4）y＝－x2＋6x－7；
（5）y＝2x2－3x；　　　　（6）y＝－2x2－5x＋7．
2.下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标．
（1）y＝4x2－4x＋1；
（2）y＝－4x2－9；
（3）y＝－4x2＋3x；　（4）y＝3x2－5x＋6．
【课后拓展】
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）当时，求的最大值或最小值；
（2）当时，求的最大值或最小值.
小结与作业:
教学反思：
27.2.7《求二次函数的关系式》
学习目标
1．会用待定系数法求二次函数的关系式．
2．学会利用二次函数解决实际问题，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．
学习重点、难点
学习重点：会用待定系数法求二次函数的关系式．
学习难点：在实际问题中求二次函数的解析式，将实际问题转化成数学模型．
【课前自学】
例1：已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），
求这个二次函数的关系式．
分析：当一个二次函数的图象的顶点坐标或对称轴是已知时，可以利用顶点式来确定二次函数的解析式，其中（，）是顶点坐标．
因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为
．
根据它的图象过点（0，1），容易确定a的值．
解:设这个二次函数关系式为,依题意得:
所以，所求二次函数的关系式是
例2：已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
分析：当已知一个二次函数过三个点时,可以设二次函数的一般式（）
解：设所求二次函数为二次函数（），依题意得c＝1,
又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到
解这个方程组，得a
=
，b
=
所以，所求二次函数的关系式是
练习1.
已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）,求出二次函数的关系式．
练习2.
已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）,求出二次函数的关系式．
练习3.已知二次函数的图象过（0，-2）、（1，0）、（2，3）三点，求这个二次函数的关系式．
【课堂学习】
问题1如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为4
m，拱高CO为0.8
m．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
分
析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，
再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．
解:如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，
建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，
对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为
y＝ax2
（a＜0）．　　　　（1）
（在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式）．
问题2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB＝1.6
m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4
m．这时，离开水面1.5
m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1
m？
分
析：根据已知条件，要求ED宽，只要求出FD的长度．
在图示的直角坐标系中，即只要求出点D的横坐标．
因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到
点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标．你会求吗？
【课堂练习】
1.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4
m，跨度为10
m．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边1
m处，桥洞离水面的高是多少？
2.已知抛物线过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
【课堂小结】
1.
求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式．
（1）当一个二次函数的图象的顶点坐标或对称轴是已知时，可以利用顶点式来确定二次函数的解析式，其中（，）是顶点坐标．
（2）求图象过三点的二次函数的关系式，一般把二次函数的关系式设为（）
然后代入已知点的坐标确定、、的值．
2.
解题时要注意条件之间的独立性，当在实际问题中求函数关系式时，首先要建立适当的平面直角坐标系，尽量使问题简单化．
教学反思：
27.3.1《实践与探索》（1）
教学目标：
1、能建立二次函数的数学模型，结合二次函数的图象、性质解决有关的实际问题。
2、深刻体会数形结合思想。
重点、难点：怎样把实际问题转化为数学问题，建立二次函数的数学模型，结合二次函数的图象、性质求解
教学过程：
知识回顾练习
1、二次函数向左平移3个单位，向下平移4个单位，得到二次函数解析式______________
若抛物线的顶点坐标(3,-1),且过(0,4)则二次函数的解析式_____________
已知抛物线与x轴交于点A,B，顶点为C,则△ABC的面积为____
若已知抛物线上三点的坐标，可设（??????????????????????????????
），
特别地，若抛物线经过原点，则可设（?????????????????????????????
）；
若已知抛物线的顶点坐标，或对称轴、最大（小）值可设（??????
?
），
特别地，若抛物线的顶点在原点,可设（??????????
????
）
若抛物线的顶点在x轴上，可设（?????????
?????
）
若抛物线的顶点在y轴上，可设（?????
?????????
）
10、若已知抛物线与x轴两交点坐标分别为（x1,0）、（x2,0），则可设
探索过程：
例1．如图27．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解：如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此
．
解方程，得
所以，此运动员把铅球推出了
米．
探索：此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：
一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．如图27．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．X|k
|B|
1
.
c|
O
|m
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析
这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图27．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
练习：
1、在一定条件下，物体运动的路程s（m）与时间t(s)的关系式为，则t=4时，该物体所经过的路程为（
）
（A）28
m
(B)48
m
(C)68
m
(D)88
m
2、某校运动会上，小明同学推铅球时，铅球行进的高度与水平距离之间的函数关系式为，小明同学的成绩是
3、某商店经营一种衬衫，已知获得的利润y(元)与销售单价x（元）之间满足关系式，则获得利润最多为（
）
（A）
3144元
(B)
3070元
(C)
144元
(D)2956元
1、某建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水成抛物线(抛物线所在平面与地面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流落地点离墙的距离OB是(
)
A
3米
B
2米
C
4米
D
5米
2、在下列函数关系中，可以看作二次函数
模型的是（
）
A
在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B
我国人口年自然增长率为1﹪
，我国人口总数随年份的变化关系
C
竖直向上发射的信号，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D
圆的周长与圆的半径之间的关系。
3、在直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C，如果M点在轴右侧的抛物线
上，，那么点M的坐标是
。
4、二次函数的图象经过原点,则此抛物线的顶点坐标是
。
5、某商场进一批货物，其差价与日销量之间满足一次函数关系，则日利润与差价之间的函数关系式为
。
6、已知二次函数，解答下列问题：
（1）将这个二次函数化为的形式，写出这个二次函数的顶点坐标和对称轴；
（2）当x取什么值时，y﹥0？当x取什么值时，y﹤0？当x取什么值时，y随的增大而增大？当x取什么值时，y随的增大而减小？
（3）当x取什么值时，函数有最大或最小值？其值是多少？
小结：应用二次函数的有关知识解决实际问题的一般思路是：
（1）理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
（2）用函数解析式表示它们之间的关系；
（3）用数学方法求解；（4）检验结果的合理性。
教学反思：
27.
3.2
《实践与探索》（2）
教学目标
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．学会用数学的意识。
教学重点
会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题。
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性
质求实际问题中的实际问题。
教学过程
情境导入
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
实践与探索1
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
网
(?http:?/??/?www.xkb1.com?/??)
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；
在直角坐标系画出草图；
观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析
若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
解：
。
顶点坐标为（65，1950）。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
实践与探索1
例2某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元）
0
1
2
…
y
1
1．5
1．8
…
求y与x的函数关系式；
如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解
（1）设二次函数关系式为。
由表中数据，得
。
解得。所以所求二次函数关系式为
（2）根据题意，得。
（3）。由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。
回顾与反思：
（数学应用意识问题以及将实际问题转化为数学问题时，应该注意的事项等。）
课堂作业：
某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
教学反思：
27.3.3《实践与探索》（3）
教学目标：
1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
本节知识点
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
教学过程
画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）
；
（2）．
分析
上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图1，得到它们的交点（-3，9）、（1，1），则方程的解为
–3，1．
（2）先把方程化为，然后在同一直角坐标系中画出函数和
的图象，如图2，得到它们的交点（，）、（2，4），则方程的解为
，2．
回顾与反思
一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)；
（2）．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1）
；（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[本课课外作业]
A组
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）
（2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）；
（2）．
B组
3．如图所示，二次函数与的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使成立的x的取值范围。
课堂小结：
教学反思：
二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2.
二次函数的结构特征：
⑴
等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵
是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．
二、二次函数的基本形式：
1.
二次函数基本形式：的性质：
a
的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
2.
的性质：上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
3.
的性质：左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4.
的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
1.
平移步骤：
方法一：⑴
将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.
平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
六、二次函数的性质：
1.
当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2.
当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
七、二次函数解析式的表示方法：
1.
一般式：（，，为常数，）；
2.
顶点式：（，，为常数，）；
3.
两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系：
1.
二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵
当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2.
一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴
在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵
在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：
对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，
概括的说就是“左同右异”
3.
常数项
⑴
当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵
当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶
当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.
已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.
已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.
已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数图象的对称：
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1.
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2.
关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
3.
关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4.
关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5.
关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
十、二次函数与一元二次方程：
1.
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数：
①
当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.
②
当时，图象与轴只有一个交点；
③
当时，图象与轴没有交点.
当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；
当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．
2.
抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，；
3.
二次函数常用解题方法总结：
⑴
求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵
求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶
根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷
二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸
与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
抛物线与轴有两个交点
二次三项式的值可正、可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
抛物线与轴只有一个交点
二次三项式的值为非负
一元二次方程有两个相等的实数根
抛物线与轴无交点
二次三项式的值恒为正
一元二次方程无实数根.
十一、函数的应用
二次函数应用
a的作用：
(1)决定开口方向：
a＞０时开口向上，　　　(2)决定形状:
︱a︱相同,则形状相同.
　　　　　　　
a＜０时开口向下.　　　　　　　　　　　︱a︱不同,则形状不同.
(3)决定开口大小:
︱a︱越大,则开口越小.(4)决定最值:
a>0时,有最低点,有最小值.
︱a︱越小,则开口越大.　　　　　　　a<0时,有最高点,有最大值.
决定增减性:
a>0时,在对称轴左侧，y随x的增大而减小
在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
a<0时,在对称轴左侧，y随x的增大而增大
在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
a,b的作用:　　　　　　　　　　　　　　c的作用:
a、b同时决定对称轴位置：　　　　　　　决定抛物线与y轴的交点：
a、b同号时对称轴在y轴左侧　　
　　c＞０时,抛物线交于y轴的正半轴　　　　　　
a、b异号时对称轴在y轴右侧　　　
　
c＝０时,抛物线过原点　　　　　
b＝０时对称轴是y轴
　　　　　　　c＜０时,抛物线交于y轴的负半轴
　　　　　　　
　　　　　　　
b2-4ac的作用:
决定抛物线与x轴的交点：
b2-4ac
＞０时,抛物线与x轴有两个交点　　　　　　　　　　
b2-4ac
＝０时,抛物线与x轴有一个交点
b2-4ac
＜０时,抛物线于x轴没有交点
b2-4ac
≥０时,抛物线于x轴总有交点
28.1.1《圆的基本元素》学案
教学目标：
使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点：
1、重点：圆中的基本概念的认识。
2、难点：对等弧概念的理解。
研讨过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考
圆的位置是由
决定的，而大小又是
决定的。
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，左上图完成反映学校学生上学方式的扇子形统计图。
如右上图,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习：
直径是弦吗？弦是直径吗？
2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。
5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结：
本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
作业：
1、如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过A、B两点的圆有几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以
为圆心，以
为半径的圆上。
4、如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，，求OD的长。
5、已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，试说明AD=BC。
28.1.2《圆的对称性》学案
教学目标：
1.使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，
2.能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
重点难点：
1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
研讨过程：
由问题引入新课：
要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、探索新知
实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现∠AOB＝∠A?OB?，
AB＝A?B?，AB=A?B?。
实质上，确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧
，所对的弦
。
问题：
1.在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
2.在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
在同一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角
，
所对的弦
。
在同一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角
，
所对的弧
。
实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、与，你能发现什么结论？
显然，如果CD是直径，AB是⊙O中垂直于直径的弦，那么，AC=BC，AD=BD。
请同学们用一句话加以概括：
（
垂直于弦的直径平分
，并且平分弦所对的
。）
我们还可以得到：
平分弦的直径垂直于这条
，并且平分弦所对的
，平分弦，并且平分弧的直径垂直平分这条弧所对的
。
2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图28.1.5，在⊙O中，，，求的度数。
3、课堂练习：P38练习1、2、3
三、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业
Ｐ42
习题28.1
1、2、3、4、5
教学反思：
28.1.3《圆周角》学案
教学目标：
1.使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；
2.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题；
3.通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
重点难点：
1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
研讨过程：
一、认识圆周角
如下图，同学们能在下图中找到圆心角吗？它具有什么样的特征？
（顶点在
，两边与圆
的角叫做圆心角）
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。
同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。
顶点在
，两边与圆相交的角叫做圆周角。
练习：试找出图1中所有的圆周角。
二、圆周角的度数
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
画一画：用量角器量出的度数，再画几个直径AB所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量认识到直径所对的圆周角等于多少度？
证明：
因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是
三角形，
所以∠OAC＝
，∠OBC＝
.
又因为∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，
所以　　∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝
。
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于
，即
半圆或
所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的
。
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下.
再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.
你发现其中有什么规律吗？
（2）
分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
探索1：如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：
（1）
折痕是圆周角的一条边，
（2）
折痕在圆周角的内部，
（3）
折痕在圆周角的外部。
我们来分析一下第一种情况：如图28.1.11（1），由于OA＝OC，因此　
∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以
∠C＝∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.（把推导的过程写出来）
由以上的猜想和推导可以得到：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的
。
思考：
1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？
因此可以得到：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角
，都等于该弧所对的圆心角的
，相等的圆周角所对的弧
。
2、你能找出右图中相等的圆周角吗？
3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
4、如右图，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．
求∠ABC的度数．
5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
四、小结
本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；
由这个结论进一步得到：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
相等的圆周角所对的弧相等；
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。
90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论。
五、作业:
Ｐ42
习题28.1
6、7
教学反思：
28.2.1《点与圆的位置关系》
学案
教学目标：
1使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系；
2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆；
3.能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点：
1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。
2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
研讨过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离
半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离
半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离
半径。(填：等于、大于、小于）
如图28.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那
OA＜r，
OB＝r，
OC＞r．反过来也成立，即
若点A在⊙O内
若点A在⊙O上
若点A在⊙O外
思考与练习
⊙O的半径，圆心O到直线的AB距离。在直线AB上有P、Q、R三点，且有，，。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
中，，，，，对C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。
　　　
从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有
个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有
个，这些圆的圆心是在线段AB的
。经过A、B、C三点能否画圆呢？
想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的
，半径决定圆的
），所以关键的问题是定其
和
。
如图28.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．
思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？
即有：不在同一条直线上的三个点确定
个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的
圆．三角形
圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的
三角形．三角形的外心就是三角形三条边的
的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请画图说明。
三、例题讲解
例1、如图，已知中，，若，，求的外接圆半径。
例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为，求它的外接圆半径。
小结
这节课你学到了什么与同学们交流一下。
五、作业
Ｐ54
习题28.2
1、2、3、4
教学反思：
28.2.2《直线与圆的位置关系》
学案
教学目标：
1.使学生掌握直线与圆的位置关系；
2.能用数量来判断直线与圆的位置关系。
重点难点：
用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教学难点。
研讨过程：
一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系
1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
二、数量关系判断直线与圆的位置关系
从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：
如果一条直线与一个圆
公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，
如图28.2.6（1）所示．
如果一条直线与一个圆只有
公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图28.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的
，这个公共点叫做
．
如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆
，如图28.2.6（3）所示．此时这条直线叫做圆的
．
如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？
如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：
若
直线l与⊙O相离；
若
直线l与⊙O相切；
若
直线l与⊙O相交；
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。
三、练习与例题
练习1、直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。
已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：
（1）4厘米；
（2）5厘米；
（3）6厘米.
练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，
求圆心到直线的距离.
练习3、如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，
那么⊙O
与直线AB有怎样的位置关系？
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF与小圆相切于点C，ED交小圆于点G，
设大圆的半径为，，求小圆的半径和EG的的长度。
四、小结
本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，
即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。
若
直线l与⊙O相离；
若
直线l与⊙O相切；
若
直线l与⊙O相交；
五、作业
Ｐ55
习题28.2
5、6、7
教学反思：
28.2.3《切线》学案（一）
教学目标：
1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
教学重点和难点：
切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点．
研讨过程：
　
一、从学生已有的知识结构提出问题
复习、回顾直线与圆的三种位置关系．
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，可以看出：
若
直线l与⊙O
；
若
直线l与⊙O
；
若
直线l与⊙O
；
　
二、探讨、发现结论
1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．
继续观察复习时的图形，如图，圆心到直线的距离等于半径，直线是⊙O的切线，这时我们来观察直线与⊙O的位置，可以发现：
（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于半径．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？
请学生回顾作图过程，切线是如何作出来的?它满足哪些条件?
继续思考：这两个条件缺少一个行不行?
（反例图）
图(1)中直线经过半径外端，但不与半径垂直；
图(2)中直线与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．
　
三、应用定理，强化训练
例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，OBA=45，
直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，BAD＝B＝30，边BD交圆于点D．BD是⊙O的切线吗？为什么？
课堂练习：课本49页练习1－4
小结
提问：
这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?
　
识别一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的
切线，
说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．
布置作业
1.识别一条直线是圆的切线，有哪三种方法？
　
教学反思：
28.2.3《切线》学案（二）
教学目标：
1.通过探究,使学生发现、掌握切线长定理;
2.初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。
重点难点：
1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。
2、难点：三角形的内心及其半径的确定。
研讨过程：
一、巩固上节课学习的知识
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？
(1)根据切线定义判定，即
；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即
；
(3)根据直线的位置关系来判定，即
，
圆的切线垂直于经过切点的
。
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA是的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：连结OE，过O作，垂足为F点
因为
AB是⊙O的切线
所以
又因为PA是的平分线，
所以
所以
AC是⊙O的切线。
二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线
平分两条切线的夹角
问题
1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的
切线，切线长
。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
在解决以上问题时，同学们可用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
三、对以上探究得到的知识的应用
思考：右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知，，（1）求的周长；
（2）求的度数。
四、三角形的内切圆
想一想：如何在三角形纸片上面截一个面积最大的圆形纸片？
如图28.2.12，在△ABC中，如果有一圆与AB、AC、BC都相切，那么该圆的圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？
我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC的角平分线的交点，而半径是这个交点到边的距离。
根据上述所阐述的，同学们只要分别作、的平分线，他们的交
点I就是圆心，过I点作，线段ID的长度就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID长为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角
的交点，它到三角形三边的距离
。
问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切圆三角形是否只有一个？
例题：△ABC
的内切圆⊙O
与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长。
解：因为⊙O
与△ABC
的三边都相切
所以，，
五、课堂练习
Ｐ51
练习1、2、3
六、小结
1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心连线平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等。
七、作业
Ｐ55
习题10、11、12
教学反思：
28.2.4《圆与圆的位置关系》
学案
教学目标：
1.使学生了解圆与圆位置关系的定义，
2.掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
重点难点：
用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
研讨过程：
一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：
圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系
请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。
上图（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中
又叫做外离，
又叫做内含。
中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，上图（4）、（5）所示．其中
又叫做外切，
又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图
所示。
（填写序号）
三、用数量关系识别两圆的位置关系
思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆外离；
（4）两圆外离；
（5）两圆外离；
（填<、=、>号）
两圆的位置关系可表示成下列数轴的形式。
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆
，等于两圆的半径差时，两圆
。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆
，大于两圆半径和时，两圆
，小于两圆半径差时，两圆
。
四、例题与练习
例1、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10
cm，其中⊙A的半径为4
cm，求⊙B的半径。（提示：分两种情况讨论）
解：设⊙B的半径为R．
（1）
如果两圆外切，那么
（2）
如果两圆内切，那么
所以⊙B的半径为
cm或
cm。
例2、两圆的半径的比为，内切时的圆心距等于，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
解：
练习：课本Ｐ54
练习1、2、3
五、小结
这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。
六、作业
Ｐ55
习题8、9
教学反思：
28.3.1《弧长和扇形的面积》学案
教学目标：
1.认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，
2.通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
重点难点：
1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
研讨过程：
一、发现弧长和扇形的面积的公式
1、弧长公式
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
圆心角为所对的弧长
圆心角为所对的弧长
圆心角为所对的弧长
圆心角为所对的弧长
圆心角为所对的弧长
弧长的计算公式为：
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
2、扇形的面积。
如图28.3.3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。问：右图中扇形有几个？
圆心角是，占整个周角的
，
因此圆心角为的扇形的面积是圆面积的
。
圆心角是，占整个周角的
，
因此圆心角为的扇形的面积是圆面积的
。
圆心角是，占整个周角的
，
因此圆心角为的扇形的面积是圆面积的
。
圆心角是，占整个周角的
，
因此圆心角为的扇形的面积是圆面积的
。
圆心角是，占整个周角的
，
因此圆心角为的扇形的面积是圆面积的
。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
?图23.3.5
?.
因此扇形面积的计算公式为
?图23.3.5
?
或?图23.3.5
?
练习:1、如果扇形的圆心角是280°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是
。
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
二、例题讲解
例1　如图28.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇
形的面积和周长．（π≈3.14）
解：
例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为，，点B到点C的距离等于AB，，求工件的面积。
解：
三、小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
四、作业
Ｐ62
习题28.3
1；2。
教学反思：
28.3.2《圆锥的侧面积和全面积》学案
教学目标：
1.通过实验知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，
2.能够计算圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。
研讨过程：
一、认识圆锥的侧面展开图和各个部分的名称
把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察圆锥的侧面展开图，学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如图，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中是圆锥的母，而就是圆锥的高。
问题：圆锥的母线有几条？
二、圆锥的侧面积和全面积
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的
，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的
。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面
、半径为圆锥的一条
的长的扇形面积。
圆锥的全面积就是它的
与它的
的和。
三、例题讲解
例１、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
　　解：
答：这个圆锥形零件的侧面积为
，全面积为
例2、已知：在中，，，，
求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
解：
课堂练习：
一、选择题
1
．圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是(
)
A.180°
B.200°
C.225°
D.216°
2
．已知圆锥的底面半径为3,母线长为4,则它的侧面积是
(
)
A.
B.
C.
D.
12
3
．若圆锥的底面半径为3cm,母线为6cm,则圆锥的侧面积等于
A.
B.
C.
D.
4
．把一个半径为4cm的半圆围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为(
)
A.cm;
B.cm;
C.cm;
D.4cm
二、解答题
5．已知圆锥的底面直径为4cm,其母线长为3cm,求它的侧面积.
6．如图,扇形纸片的半径为15cm,圆心角为120°,用它做成一个圆锥模型的侧面.求这个圆锥的高和侧面积(不计接缝处的损耗,结果保留根号).
五、小结
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
六、作业
P62练习1，2
；Ｐ62
习题3，4
教学反思：
29.1.1《用推理方法研究三角形》学案（二）
【教学目标】：
1使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，
2.明确推理证明所要依据的公理，
3.掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。
【重点难点】：
重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点：学生逻辑推理能力的培养。
【研讨过程】：
问题1：在小学我们是如何知道三角形内角和等于180°呢?当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180°。
　
问题2：用推理方法证明三角形的内角和等于180°。
求证：三角形的内角和等于180°。（写出已知、求证和证明过程）
已知：
求证：
证明：
问题3：还有其它加辅助线的方法吗？
问题4：求证：n边形的内角和等于(n－2)×180°。（写出已知、求证和证明过程）
已知：
求证：
证明方法
1：
证明方法
1：
练习检测：
求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角。
求证：∠CBD＝∠A＋∠C
小结与作业：
逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
(5)等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
教学反思：
29.1.1《用推理方法研究三角形》学案（一）
　　教学目标
　　1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
　　2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
　　教学重点
　　1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
　　2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
　　教学难点
　　在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
　　一、情境导入
　　请同学们按以下步骤画△ABC．
　　1．任意画线段BC；
　　2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A．
这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．
　　二、探究归纳
　　1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．
求证：AB＝AC．
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“
”
）
提问：还可通过什么方法构建全等三角形？
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？
(1)等边对等角；
(2)等腰三角形的“三线合一”．
尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．
　　求证：等腰三角形的两个底角相等．
　　已知：△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．　
等腰三角形的性质定理：
等腰三角形的两个底角相等．（简称为“
”
）　
　
提问：还可通过什么方法构建全等三角形？　　
由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝
，∠BDA＝
＝90°，
因此AD也是
，是BC边上的
线．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高
．
（简写成“
”
）
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．
请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角
相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．
1.按上述性质画出图形，写出已知、求证和证明过程。
已知：
求证：
证明：
2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？写出已知、求证和证明过程。
　　已知：
求证：
证明：
　　角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．
再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？
1．命题“两直线平行，内错角相等”的
题设是
，
结论是
；
命题“内错角相等，两直线平行”的
题设是
，
结论是
．
　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做
命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的
．所以上述两个命题叫做
命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．
　　2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的
与
互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必
，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．
　　3．我们知道定理是命题，所以定理一定有
．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是
，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做
定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．同学们能否再举一些互逆定理？
练习检测：　　
1.如图，△ABC中，AB＝AC＝BC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．
　求证：BE⊥AC．
2.如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，
BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
3.　如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，
且AE＝
AD．求证：△EMC是直角三角形．
作业：1、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
　　2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．
　
教学反思：
29.1.2《用推理方法研究四边形》(1)
教学目标
　　1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；
2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
教学重点：
掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形
教学难点：
能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
课堂研讨：
(一)情境导入
　　在第20章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，回忆有哪些性质与判定，你能用逻辑推理的方法来证明它们吗？
(二)实践与探索1
根据学生的回忆选择“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？来证明知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．
　已知：
　求证：
证明：
于是得：
　　平行四边形判定定理1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边．
　　利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．
　　平行四边形判定定理2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
　　平行四边形判定定理3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
　　平行四边形判定定理4　对角线互相平分的四边形是平行四边形
同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．
平行四边形性质定理1　平行四边形的对边相等．
　已知：
如图，四边形ABCD是平行四边形．
　　求证：
AB＝CD，
BC＝DA．
　　证明：
是可得：
　　平行四边形性质定理2　平行四边形的对角相等．
　　同样，我们也可证明：
平行四边形性质定理3　平行四边形的对角线互相平分．
（三）练习检测：
1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．
求证：BF∥DE．
变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么
BF∥DE成立吗？
　　
　　(四)小结与作业
　　1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；
　　2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；
教学反思：
29.1.3《用推理方法研究四边形》(2)
教学目标：
　　1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩形；
　　2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
教学重点：掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩形；
教学难点：经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
研讨过程：　　
(一)情境导入
　　教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．
　　学生思考如下问题：
　　(1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？
　　(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？
　　(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？
(二)实践与探索1
　　我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：
　　定理矩形的四个角都是直角．
由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？
　已知：如图，四边形ABCD是矩形．
　求证：AC＝BD．
证明：
那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
　　定理　有三个角是直角的四边形是矩形．
　　思考　根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形．
　　定理　对角线相等的平行四边形是矩形．
　　上述两条定理是矩行的判定定理
　　(三)实践与探索2
例
求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线　　
求证：CD
=AB
证明：
　　
　　（三）练习检测：求证：对角线相等的平行四边形是矩形．
(四)小结与作业
　　作业：1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．求证：EG＝HF．
　　2.如图，已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
　　
求证：EB＝ED．
教学反思：
29.1.4《用推理方法研究四边形》(3)　
教学目标：
1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；
2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
教学重点：掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；
教学难点：经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
研讨过程：
(一)情境导入
　　教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状．
学生思考如下问题：
　　(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？
　　(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？
(二)实践与探索1
　　我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．
根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：
定理菱形的四条边都相等．
　　由问题(2)我们还知道
定理　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．
　　证明：
要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
　　定理　四条边相等的四边形是菱形
　　思考　根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？
　　定理　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
　　已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD
平分∠ABC，DB平分∠CDA．
　　
(三)实践与探索2
问题1：
如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形?
　　
问题2：如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF