4.1 因式分解（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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浙江版2020 2021学年度下学期八年级数学下册第四章因式分解
4.1 因式分解
【知识清单】
1. 因式分解:
(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，或分解因式；
(2)注意： ①因式分解的对象必须是一个多项式；②因式分解的结果必须是几个整式的积的形式． 一般有两种形式：A单项式乘以多项式； B多项式乘以多项式；
(3)因式分解是一个恒等变形.
2．因式分解和整式的乘法的关系：
(1)因式分解和整式的乘法有互逆关系，因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性.
(2)从右到左是因式分解，其特点是由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从左到右是整式乘法，其特点是由整式的积的形式转化成和差形式(多项式)．
【经典例题】
例题1、下列从左到右边的变形，是因式分解的是(　　)
A．a(x y)=ax ay B．x2 6x+9=x(x 6)+9
C．5x3 10x2+5x=5x(x2 2x) D． 8x 2 +8x 2= 2(2x 1) 2
【考点】因式分解的意义．
【分析】分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项逐一进行判断即可．
【解答】A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边只是进行了部分分解不符合分解因式的定义，故本选项错误；
C、右边和左边不相等，不符合分解因式的定义，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确．故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，判断一个由左到右的变形是不是分解因式，关键是看这个变形是不是把一个多项式化成几个整式的形式，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子，可以用整式的乘法进行检验分解因式的正确性．
例题2、若二次三项式x2+px+q分解因式的结果是(x 3)(x+7)，则p= ，q= ．
【考点】因式分解的意义．
【分析】根据因式分解与多项式相乘是互逆运算，把多项式相乘展开，再利用对应项系数相等来求解．
【解答】∵(x 3)(x+7)=x2+4x 21，
∴p=4，q= 21．
故应填4， 21．
【点评】该题将多项式展开并化为最简整式，然后根据对应项系数相等求解是关键．
【夯实基础】
1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为(　　)
A．8x 8y+7=8(x y)+7 B．(x 2)(x+2)=x2 4
C．ax+ay+a=a(x+y) D．15a 2 6a=3a(5a 2)
2．已知多项式3x2+ax+b分解因式为(3x+2)( x 3)，则(a b)2021的值为(　　)
A．1 B．0 C． 1 D．不确定
3．一个多项式分解因式的结果是(b3+3)(3 b3)，那么这个多项式是( )
A．b6 9 B．9 b6 C．b6+9 D． b6 9
4．若4a2 2(m2 6)ab +25b2=(2a 5b)2，则m=( )
A．4 B． 4 C．±8 D．±4
5．在括号前面填上“+”或“ ”号，使等式成立：
(1)(4a 3b)2= (3b 4a)2； (2)(5 4x)(7x 8)= (7x 8)(4x 5)
6．如图9a2 2(m 5)ab +49b2是完全平方式，则m= .
7．若(x2 3x+4)(x2 3x+2) +k =(x2 3x 2)2，则k= ．
8．计算(5 x)(5+x)，7x(3x2 4x+2)，(3x 4y) 2，根据因式分解与整式乘法的关系，将下列多项式分解因式：25 x2，21x3 28x2+17x，9x2 24xy+16y2.
9．现有正方形甲图片2个、正方形乙图片3个和长方形图片丙5张．请你把它拼成一个长方形，并写出你的拼图思路．
【提优特训】
10．下列各式变形正确的是( )
A． a b= (a b) B．b a= (a+b) C． ( a b)2= (a+b) 2 D． (a b)2= (b a)2
11．若5 (a+b 7)2有最大值，5+(6 ab)2有最小值，则(a b)2 =( ).
A．73 B．50 C．25 D．24
12．若a★b=a2b+2ab，则x★y2所表示的多项式分解因式的结果为( )
A．xy2(x+2) B．xy (xy+2y) C．y2(x2+2x) D．xy2(x 2)
13．已知多项式x2+mx+5因式分解的结果是(x+5)(x+n)，则( )
A．m=1，n=5 B．m=5，n=1 C．m=1，n=6 D．m=6，n=1
14．若一个多项式因式分解的结果为(x+3)(x 3)(x2+9)，则这个多项式为 .
15．若，那么a2+b2 3ab=________.
16．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x 4)(x 3)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x 6)，则a+b=　_______
17．先阅理解，再解答问题．
(1)已知多项式3x3+5x2+a有一个因式是3x 4，求a的值．
解法一：设3x3+5x2+a=(3x 4)(x2+mx+n)，
则：3x3+5x2+a =3x3+(3m 4)x2+(3n 4m)x 4n
比较系数得， 解得， ∴a= 16.
解法二：设3x3+5x2+a =A (3x 4)(A为整式)
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=，
3×=0，故 a= 16．
根据上面的做法，解答问题：
(2)已知x4 2mx3+3nx 6有因式(x 2)和(x 3)，求m、n的值．
18．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：(1)x2+6x+5=x2+(1+5)x+1×5=(x+1)(x+5)；
(2)x2 2x 8=x2+( 4+2)x+( 4)×2=(x 4)(x+2)．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：(1)x2 10x+21 (2)x2+x 6
【中考链接】
19．(2020 河北) (3分)对于①x 3xy＝x(1 3y)，②(x+3)(x 1)＝x2+2x 3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
20．(2020 株洲) 多项式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m= ，n= .
参考答案
1、D 2、C 3、B 4、D 5、＋， 6、 26或 16 10、A 11、C 12、A
13、D 14、x4 81 15、104 16、7 19、C 19、6，1
8．计算(5 x)(5+x)，7x(3x2 4x+2)，(3x 4y) 2，根据因式分解与整式乘法的关系，将下列多项式分解因式：25 x2，21x3 28x2+17x，9x2 24xy+16y2.
解：25 x2=(5 x)(5+x)；
21x3 28x2+17x=7x(3x2 4x+2)；
9x2 24xy+16y2=(3x 4y) 2.
9．现有正方形甲图片2个、正方形乙图片3个和长方形图片丙5张．请你把它拼成一个长方形，并写出你的拼图思路．
解：由题意得，长方形的面积为2a2+3b2+5ab=(a+b)(2a+3b)，
所以可拼长方形如图

17．先阅理解，再解答问题．
(1)已知多项式3x3+5x2+a有一个因式是3x 4，求a的值．
解法一：设3x3+5x2+a=(3x 4)(x2+mx+n)，
则：3x3+5x2+a =3x3+(3m 4)x2+(3n 4m)x 4n
比较系数得， 解得， ∴a= 16.
解法二：设3x3+5x2+a =A (3x 4)(A为整式)
由于上式为恒等式，为方便计算了取x=，
3×=0，故 a= 16．
根据上面的做法，解答问题：
(2)已知x4 2mx3+3nx 6有因式(x 2)和(x 3)，求m、n的值．
解：设x4 2mx3+3nx 6 =A (x 2)(x 3)(A为整式)
由于上式为恒等式，；令 x=2，x=3，代入①得：
，
解这个方程组得.
18．我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，
即x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．
如：(1)x2+6x+5=x2+(1+5)x+1×5=(x+1)(x+5)；
(2)x2 2x 8=x2+( 4+2)x+( 4)×2=(x 4)(x+2)．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：(1)x2 10x+21 (2)x2+x 6
解：(1)x2 10x+21=x2+( 3 7)x+( 3)×( 7)=(x 3)(x 7)；
(2)x2+x 6 =x2+( 2+3)x+( 2)×3=(x 2)(x+3).
整式乘法
第9题图
第9题图甲 第9题图乙 第9题图丙
第9题图甲 第9题图乙 第9题图丙
x2+2x+1
(3) (x+1)2
因式分解
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