2020-2021学年八年级下册18.2.3 正方形 解题方法与策略（下）（无答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年八年级下册18.2.3 正方形 解题方法与策略（下）（无答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-04-11 20:17:34 | ||
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文档简介
《正方形》解题方法与策略（下）
【知识储备】
1．正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．
2．正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
3．正方形的判定：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形【平行四边形一组邻边相等一个角
为直角正方形】
②有一组邻边相等的矩形是正方形【矩形一组邻边相等（或对角线垂直）正方形】
③有一个角为直角的菱形是正方形【菱形一个角为直角（或对角线相等）正方形】
④既是矩形又是菱形的四边形是正方形【矩形菱形正方形】
4．正方形的面积：正方形面积.
【经典例题】
核心考点三、正方形中的最短路径问题
例1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，
则△PAE周长的最小值是
.
例2．（2018?天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
例3．（2015?内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为
．
例4．（2013?阜新）如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是
AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
．
核心考点四、正方形中的折叠问题
例5．（2017?黔西南）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C
落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是
cm.
例6．（2018?湖北）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，
延长GF交DC于点E，则DE的长是
.
例7．（2019?兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝
.
例8．（2019?青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段
AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为
cm．
核心考点五、正方形中的判定与性质
例9．（2019?凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．
过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
例10．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．
例11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说出你的理由.
例12．在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH＝90°，且EG＝7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，若AB＝5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△AOB的周长．
练习1．下列说法中，不正确的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
练习2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（
）
A．AE＝BF
B．∠DAE＝∠BFC
C．∠AEB+∠BFC＝90°
D．AE⊥BF
练习3．如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（
）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
练习4．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且
OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（
）
A．1
B．
C．2
D．4
练习5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（
）
A．
B．2
C．6﹣4
D．4﹣4
练习6．如图，正方形ABCD的对角线AC与B相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（
）
A．
B．
C．1
D．2
练习7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（
）
A．5
B．6
C．
D．8
练习8．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
练习9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
练习10．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，正方形BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH的长为（
）
A．3
B．4
C．3或4
D．
【知识储备】
1．正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．．
2．正方形的性质：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④正方形的两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
3．正方形的判定：
①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形【平行四边形一组邻边相等一个角
为直角正方形】
②有一组邻边相等的矩形是正方形【矩形一组邻边相等（或对角线垂直）正方形】
③有一个角为直角的菱形是正方形【菱形一个角为直角（或对角线相等）正方形】
④既是矩形又是菱形的四边形是正方形【矩形菱形正方形】
4．正方形的面积：正方形面积.
【经典例题】
核心考点三、正方形中的最短路径问题
例1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，
则△PAE周长的最小值是
.
例2．（2018?天津）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．AB
B．DE
C．BD
D．AF
例3．（2015?内江）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD
内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为
．
例4．（2013?阜新）如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是
AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是
．
核心考点四、正方形中的折叠问题
例5．（2017?黔西南）如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C
落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是
cm.
例6．（2018?湖北）如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，
延长GF交DC于点E，则DE的长是
.
例7．（2019?兰州）如图，边长为的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM＝
.
例8．（2019?青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段
AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为
cm．
核心考点五、正方形中的判定与性质
例9．（2019?凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．
过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
例10．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE；
（2）连接AC、BF，若AE＝BC，求证：四边形ABFC为矩形；
（3）在（2）条件下，当△ABC再满足一个什么条件时，四边形ABFC为正方形．
例11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说出你的理由.
例12．在正方形ABCD中．
（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH＝90°，且EG＝7，求FH的长；
（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB＝90°，若AB＝5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△AOB的周长．
练习1．下列说法中，不正确的是（
）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
练习2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF．连接AE，BF，AE与BF交于点G．下列结论错误的是（
）
A．AE＝BF
B．∠DAE＝∠BFC
C．∠AEB+∠BFC＝90°
D．AE⊥BF
练习3．如图，在正方形ABCD中，点F是AB上一点，CF与BD交于点E．若∠BCF＝25°，则∠AED的度数为（
）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
练习4．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且
OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（
）
A．1
B．
C．2
D．4
练习5．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F在对角线BD上，四边形AECF是菱形，且∠DAE＝67.5°，则BE的长为（
）
A．
B．2
C．6﹣4
D．4﹣4
练习6．如图，正方形ABCD的对角线AC与B相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝，则线段BN的长为（
）
A．
B．
C．1
D．2
练习7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为（
）
A．5
B．6
C．
D．8
练习8．如图所示，在正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O作OE⊥OF，分别交AB、BC于E、F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
练习9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
练习10．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，正方形BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH的长为（
）
A．3
B．4
C．3或4
D．