2020-2021学年苏科版数学七年级下册第9章《整式乘法与因式分解》提优训练（word版含解析）

七下
第9章《整式乘法与因式分解》突破训练
考试时间：100分钟；满分：100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．（x+y）2＝x2+2xy+y2
B．﹣5（xy）2＝﹣5?x2y2
C．x2+2x+1＝x（x+2）
D．x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）
2．若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（　　）
A．3x+2
B．x+2
C．3xy+2
D．xy+2
3．多项式：①16x2﹣8x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4；③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2；④﹣4x2﹣1+4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（　　）
A．①和②
B．③和④
C．①和④
D．②和③
4．已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝2，n＝4
B．m＝3，n＝6
C．m＝﹣2，n＝﹣4
D．m＝﹣3，n＝﹣6
5．某市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（　　）
A．3a米
B．（3a+1）米
C．（3a+2b）米
D．（3ab2+b2）米
6．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（　　）
A．4
B．﹣4
C．2
D．±2
7．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，则8，16均为“和谐数”），在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．3014
B．3024
C．3034
D．3044
8．已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（　　）
A．9
B．6
C．4
D．无法确定
9．如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：
其中能够验证平方差公式有（　　）
A．①②③④
B．①③
C．①④
D．①③④
10．我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（　　）
A．10
B．12
C．9
D．8
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成乘以，结果得到（x2﹣xy），则正确的计算结果是　　．
12．若x2+2kx是一个完全平方式，则k＝　　．
13．计算2021×2019﹣20202的值为　　．
14．若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为　　．
15．已知x2+x﹣2＝0，则代数式x3+2020x2+2017x+2＝　　．
16．有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为　　．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）计算：
（1）（3a﹣1）（3a+1）﹣（a﹣4）2．
（2）（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）．
18．（6分）因式分解：
（1）2a2b﹣12ab+18b；
（2）x2﹣y2﹣2x+1．
19．（6分）先化简，再求值：求（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）（x+2y）的值，其中x、y满足（x﹣2）2+|y|＝0．
20．（6分）已知（a+b）2＝19，（a﹣b）2＝13，求a2+b2与ab的值．
21．（6分）用简便方法计算（结果用科学记数法表示）：
（1）0.259×220×259×643；
（2）20012﹣4002+1．
22．（6分）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请比较S1和S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．
23．（8分）阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　　．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
24．（8分）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2，可得等式　　；
（2）利用(1)所得等式，解决问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值．
（3）如图3，将两个边长为a、b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长a、b如图标注，且满足a+b＝10，ab＝20．请求出阴影部分的面积．
（4）图4中给出了边长分别为a、b的小正方形纸片和两边长分别为a、b的长方形纸片，现有足量的这三种纸片．
①请在下面的方框中用所给的纸片拼出一个面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并仿照图1、图2画出拼法并标注a、b．
②研究①拼图发现，可以分解因式2a2+5ab+2b2＝　　．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A、是整式的乘法，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．
2．
【分析】利用乘除法的关系可得□内应填的式子是：（3x2y+2xy）与xy的商，计算即可．
【解答】解：（3x2y+2xy）÷xy，
＝3x+2，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了单项式除以多项式，关键是掌握乘除法之间的关系．
3．
【分析】首先把各个多项式分解因式，即可得出答案．
【解答】解：①16x2﹣8x＝8x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4＝（x﹣1﹣2）2＝（x﹣3）2；
③（x+1）4﹣4x（x+1）2+4x2＝[（x+1）2﹣2x]2＝（x2+1）2；
④﹣4x2﹣1+4x＝﹣（2x﹣1）2；
∴结果中含有相同因式的是①和④；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的方法以及公因式；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解．
【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
又∵乘积项中不含x2和x项，
∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，
解得m＝2，n＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
5．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，
∴这块空地的长为：（3ab+b）÷b＝（3a+1）米．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6．
【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x﹣y）2，再开方即可．
【解答】解：∵x+y＝6，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝20，
∴2xy＝62﹣20＝16，
∴xy＝8，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝20﹣2×8＝4，
∴x﹣y＝±2，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
7．
【分析】确定小于217的“和谐数”，再求和，根据计算结果的规律性，可得出答案．
【解答】解：∵552﹣532＝（55+53）（55﹣53）＝216＜217，
∴在不超过217的正整数中，所有的“和谐数”之和为：
（﹣12+32）+（﹣32+52）+（﹣52+72）+……+（﹣512+532））+（﹣532+552）
＝﹣12+32﹣32+52﹣52+72+……﹣512+532﹣532+552
＝552﹣12
＝（55+1）（55﹣1）
＝56×54
＝3024，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式，理解“和谐数”的意义是解决问题的前提，得出计算结果的规律性是解决问题的关键．
8．
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．
【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值．
9．
【分析】分别对各个图形中的阴影面积用不同方法表示出来，即可得到等式，则可对各个选项是否可以验证平方差公式作出判断．
【解答】解：图①，左边图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故①可以验证平方差公式；
图②，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故②可以验证平方差公式；
图③，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故③可以验证平方差公式；
图④，阴影部分面积相等，左边的阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故④可以验证平方差公式．
∴正确的有①②③④．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，数形结合并熟练掌握相关几何图形的面积计算方法是解题的关键．
10．
【分析】由（a+b）＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；因此（a+b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，从而可得答案．
【解答】解：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5，
∴含a3b2项的系数是10，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．
【分析】错乘，得到（x2﹣xy）可求出没错乘之前的结果，再乘以即可，
【解答】解：由题意得，
（x2﹣xy）x（x﹣y）（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，
故答案为：x2﹣y2．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式的计算方法，根据逆运算得出正确的计算算式是解决问题的关键．
12．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵x2+2kx是一个完全平方式，
∴k＝±，
故答案为：±．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．
【分析】根据平方差公式化简2021×2019即可得出结果．
【解答】解：2021×2019﹣20202
＝（2020+1）×（2020﹣1）﹣20202
＝20202﹣1﹣20202
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
14．
【分析】设另一个因式为x+a，因为整式乘法是因式分解的逆运算，所以将两个因式相乘后结果得x2﹣px+q，根据各项系数相等列式，计算可得3p+q的值．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则x2﹣px+q＝（x+3）（x+a）＝x2+ax+3x+3a＝x2+（a+3）x+3a，
由此可得，
由①得：a＝﹣p﹣3③，
把③代入②得：﹣3p﹣9＝q，
3p+q＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式；因此具体作法是：按多项式法则将分解的两个因式相乘，列等式或方程组即可求解．
15．
【分析】将x2+x﹣2＝0变形为x2＝2﹣x和x2+x＝2，然后将代数式x3+2020x2+2017x+2分别利用提取公因式法变形，从而将x2＝2﹣x和x2+x＝2代入计算即可．
【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴x3+2020x2+2017x+2
＝x?x2+2020x2+2020x﹣3x+2
＝x（2﹣x）+2020（x2+x）﹣3x+2
＝2x﹣x2+2020×2﹣3x+2
＝﹣（x2+x）+4040+2
＝﹣2+4040+2
＝4040．
故答案为：4040．
【点睛】本题考查了因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握因式分解的方法并对已知条件变形是解题的关键．
16．
【分析】直接利用整式的混合运算法则结合已知阴影部分面积进而得出答案．
【解答】解：设小长方形的宽为a，长为b，根据题意可得：
（a+b）2﹣3ab＝39，
故a2+b2﹣ab＝39，
（2b+a）（2a+b）﹣5ab＝106，
故4ab+2b2+2a2+ab﹣5ab＝106，
则2a2+2b2＝106，
即a2+b2＝53，
则53﹣ab＝39，
解得：ab＝14，
故每个小长方形的面积为：14．
故答案为：14．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．
【分析】（1）直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项得出答案；
（2）直接利用整式的除法运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝9a2﹣1﹣（a2﹣8a+16）
＝9a2﹣1﹣a2+8a﹣16
＝8a2+8a﹣17；
（2）原式＝﹣（15x2y÷5xy）+10xy2÷5xy
＝﹣3x+2y．
【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．
【分析】（1）直接提取公因式2b，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接将原式分组，再利用公式法分解因式即可．
【解答】解：（1）2a2b﹣12ab+18b
＝2b（a2﹣6a+9）
＝2b（a﹣3）2；
（2）x2﹣y2﹣2x+1
＝（x2﹣2x+1）﹣y2
＝（x﹣1）2﹣y2
＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）．
【点睛】此题主要考查了分组分解法、公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
19．
【分析】先算乘法，再合并同类项，求出x、y的值后代入，即可求出答案．
【解答】解：（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）（x+2y）
＝x2﹣4xy+4y2+4x2﹣9y2﹣5x2﹣10xy+5xy+10y2
＝﹣9xy+5y2，
∵x、y满足（x﹣2）2+|y|＝0，
∴x﹣2＝0，y0，
解得：x＝2，y，
当x＝2，y时，原式＝﹣9．
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方的非负性和整式的混合运算和求值等知识点，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
20．
【分析】由已知可得a2+b2+2ab＝19，a2+b2﹣2ab＝13，两式相加可得a2+b2＝16，两式相减可得ab．
【解答】解：∵（a+b）2＝19，
∴a2+b2+2ab＝19，
∵（a﹣b）2＝13，
∴a2+b2﹣2ab＝13，
∴2a2+2b2＝32，4ab＝6，
∴a2+b2＝16，ab．
【点睛】本题考查完全平方公式的；掌握完全平方公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
21．
【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方得出即可；
（2）根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝0.259×220×518×49＝（0.25×4）9×（2×5）18×22＝1×1018×4＝4×1018；
（2）原式＝20012﹣2×2001×1+1＝（2001﹣1）2＝20002＝4000000＝4×106．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，科学记数法等知识点，能灵活运用积的乘方和幂的乘方进行计算是解此题的关键．
22．
【分析】（1）先用代数式表示S1，S2，再作差比较即可求解；
（2）根据正方形的周长与面积的公式计算即可求解．
【解答】解：（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，
S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2＝m2+8m+7﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
即S1＞S2；
（2）正方形的周长为：2[（m+1）+（m+7）]+2[（m+2）+（m+4）]
＝2（2m+8）+2（2m+6）
＝4m+16+4m+12
＝8m+28，
∴该正方形的面积为：．
【点睛】本题主要考查列代数式，整式的加减及乘除运算，列代数式是解题的关键．
23．
【分析】（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为（m+1）（m﹣5）；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
24
【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，另一种是直接利用正方形的面积公式计算，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；
（3）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．
（4）①依照前面的拼图方法，画出图形便可；
②由图形写出因式分解结果便可．
【解答】解：（1）由题意得，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）∵a+b＝10，ab＝20，
∴S阴影＝a2+b2（a+b）?ba2a2b2ab（a+b）2ab10220＝50﹣30＝20；
（4）①根据题意，作出图形如下：
②由上面图形可知，2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b）．
故答案为（a+2b）（2a+b）．
【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．