2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第四章 4.2.1 直接提公因式法 课件（共56张PPT）

(共56张PPT)
第四章
因式分解
4.2.1
直接提公因式法
北师大版数学八年级下册
学习目标
1．经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。
2．了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解。
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式
.
二、整式乘法与分解因式之间的关系.
互为逆运算
复习导入
1
知识点
公因式
多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式
3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项
式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.
合作探究
公因式的定义：
一个多项式各项都含有的相同因式
,叫做这个
多项式各项的公因式
.
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系
数的最大公
约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字
母最低次幂；
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y；
(2)
xy3－
x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
例1
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因
式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是
27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数
解：
是
；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的
最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，
所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变
为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2
－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，
且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多
项式各项的公因式是－9a2b.
找准公因式要“五看”，即：一看系数：若各项
系数都是整数，应提取各项的系数的最大公约数；二
看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母
的次数：各相同字母的指数取次数最低的；四看整体：
如果多项式中含有相同的多项式，应将其看作整体，
不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项是“－”，
一般情况下公因式符号为负．
新知小结
1　多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　)
A．8xy
B．2xy
C．4xy
D．2y
2　式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　)
A．5ab(b－a)
B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a)
D．以上均不正确
B
C
巩固新知
3　下列各组式子中，没有公因式的是(　　)
A．4a2bc与8abc2
B．a3b2＋1与a2b3－1
C．b(a－2b)2与a(2b－a)2
D．x＋1与x2－1
B
4
下列多项式的各项中，公因式是5a2b的是(　　)
A．15a2b－20a2b2
B．30a2b3－15ab4－10a3b2
C．10a2b2－20a2b3＋50a4b5
D．5a2b4－10a3b3＋15a4b2
A
2
知识点
提公因式法
议一议
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
合作探究
确定一个多项式的公因式时，要从____________
和__________________分别进行考虑
.
数字系数
字母及其指数
　　公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
　　公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
数字系数
字母及其指数
(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);
(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
例2
解：
把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3；
(2)7x3－21x2;
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；
(4)－24x3＋12x2－28x.
(4)－24x3＋12x2－28x
＝－(
24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝
－4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什
么关系?
(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提
出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
例3
导引：
利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；
(2)已知2x－y＝
，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
解：
(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97
800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝
，xy＝2时，原式＝23×
＝
(2)题运用整体思想，利用提公因式法化简，
得到与已知条件相关的因式，再整体代入求解．
新知小结
1
把下列各式因式分解：
(1)ma＋mb；
(2)5y3＋20y2；
(3)6x－9xy；
(4)a2b－5ab；
(5)4m3－6m2；
(6)a2b－5ab＋9b；
(7)－a2＋ab－ac；
(8)－2x3＋4x2－6x.
巩固新知
解：
(1)
ma＋mb＝m(a＋b)．
(2)
5y3＋20y2＝5y2(y＋4)．
(3)
6x－9xy＝3x(2－3y)．
(4)
a2b－5ab＝ab(a－5)．
(5)
4m3－6m2＝2m2(2m－3)．
(6)
a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)．
(7)
－a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)．
(8)
－2x3＋4x2－6x＝－2x(x2－2x＋3)．
2　
将3a(x－y)－b(x－y)用提公因式法分解因式，
应提出的公因式是(　　)
A．3a－b
B．3(x－y)
C．x－y
D．3a＋b
C
3
多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(　　)
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
C
4
【中考·自贡】把多项式a2－4a分解因式，结果正确的是(　　)
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
A
5　下列多项式因式分解正确的是(　　)
A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)
B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)
C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)
D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)
B
6　
(中考·安徽)已知x2－2x－3＝0，则2x2－4x的值
为(　　)　
A．－6
B．6
C．－2或6
D．－2或30
B
7
如果多项式－
abc＋
ab2－a2bc的一个因式是－
ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac
B．c＋b－5ac
C．c－b＋
ac
D．c＋b－
ac
A
8
【中考·潍坊】因式分解：x2－2x＋(x－2)＝
_____________.　
9　
已知x2＋3x－2＝0，则2x3＋6x2－4x＝________.
10　(中考·徐州)若ab＝2，a－b＝－1，则代数式a2b－ab2的值等于________．
(x＋1)(x－2)
0
－2
1、确定公因式的方法：
(1)定系数
(2)定字母
(3)定指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
3、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉1;
（3）提出负号时,要注意变号.
1
知识小结
归纳新知
因式分解：－14x3－21x2＋28x.
易错点：首项符号为“－”时，在利用提公因式法分解因式的过程中出现符号错误
2
易错小结
－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．
解：
一个多项式中第一项含有“－”时，一般要将“－”一并提出，但要注意括在括号里面的各项要改变符号．本题易出现－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2－3x＋4)的错误．
易错总结：
相同因式
公因式
2ax
2m
课后练习
D
C
A
D
两个因式乘积
a(a＋b－1)
B
A
D
【答案】A
D
C
再见