2020-2021学年八年级数学北师大版下册 第四章 4.3.2 完全平方公式 课件（共59张PPT）

(共59张PPT)
第四章
因式分解
4.3.2
完全平方公式
北师大版数学八年级下册
学习目标
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点。
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式。
回忆完全平方公式：
复习导入
1
知识点
完全平方式的特征
我们把以上两个式子叫做完全平方式
.
两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”
的积的两倍
合作探究
我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因
式我们称之为：运用完全平方公式分解因式
.
(1)不是完全平方式；(2)不是完全平方式；
(3)不是完全平方式；(4)是完全平方式．
(1)中b不是数b与1的乘积的2倍；
(2)中ab不是a，b乘积的2倍；
(3)中1与2a的乘积的2倍没有出现；
(4)中a是a与
乘积的2倍．
判断下列多项式是否为完全平方式．
(1)b2＋b＋1；
(2)a2－ab＋b2；
(3)1＋4a2；
(4)a2－a＋
.
例1
导引：
解：
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式
子的平方的形式，且符号相同，中间项为这两个数
或两个式子积的2倍．
新知小结
错在只注意到中间项的符号是正，而忽视中间
项的符号是负的情况，产生漏解．
因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，
x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝2x·2.
因此m－3＝4.
所以m＝7.
若x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，求m的值．
例2
错解：
错解解析：
合作探究
正确解法：
因为x2＋(m－3)x＋4＝x2＋(m－3)x＋22，
x2＋(m－3)x＋4是完全平方式，
所以(m－3)x＝±2x·2.
所以(m－3)x＝±4x.
因此m－3＝±4.
所以m＝7或m＝－1.
在求与完全平方式有关的字母取值时，要注意
中间项的符号有“＋”“－”两种情形，否则容易
产生漏解．
新知小结
1
【中考·龙岩】下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
D
巩固新知
2
已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于
(　　)
A．64
B．48
C．32
D．16
A
3
已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值
为(　　)
A．8
B．±8
C．24
D．±24
D
4
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是_________________(写出一个即可)．
【中考·珠海】填空：x2＋10x＋______＝(x＋______)2.
【中考·安顺】若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k＝________.
5
6
4x4(答案不唯一)
25
5
±10
2
知识点
用完全平方公式分解因式
都是有3项
从每一项看：
从符号看：
带平方的项符号相同（同“+”或同“-”）
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,
另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从项数看：
用公式法正确分解因式关键是什么？
熟知公式特征！
合作探究
例3
把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
(1)x2＋14x＋49
＝
x2＋2×7x＋72
＝
(x＋7)
2
；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝
[(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2.
解：
例4
计算或化简下列各式：
(1)2022＋202×196＋982；
(2)(a2－2)2－2a2(a2－2)＋a4.
对于(1)可将202×196化为2×202×98，利用完全
平方公式分解因式即可计算；
对于(2)利用完全平方公式分解因式，便可达到化
简的目的．
导引：
(1)原式＝2022＋2×202×98＋982
＝(202＋98)2
＝3002＝90
000.
(2)原式＝(a2－2)2－2a2(a2－2)＋(a2)2
＝(a2－2－a2)2
＝(－2)2＝4.
解：
利用完全平方公式分解因式在计算或化简中应
用广泛且巧妙，要注意灵活运用，往往能获得意想
不到的解题效果．
新知小结
1
把下列各式因式分解：
(1)x2－12xy＋36y2；
(2)16a4＋24a2b2＋9b4；
(3)－2xy－x2－y2；
(4)4－12(x－y)＋9(x－y)2.
巩固新知
(1)
x2－12xy＋36y2＝(x－6y)2.
(2)
16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2＋3b2)2.
(3)
－2xy－x2－y2＝－(2xy＋x2＋y2)
＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2.
(4)
4－12(x－y)＋9(x－y)2＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
解：
下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　)
A．x2＋1
B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1
D．x2＋4x＋4
2
D
3　(中考·长春)把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　)
A．(x－3)2
　　　　
　B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3)
　　　D．(x＋9)(x－9)
4　把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是(　　)
A．(x－y)2
B．(－x－y)2
C．－(x－y)2
D．－(x＋y)2
A
C
5　把多项式(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2因式分解的结果为(　　)
A．(3a－b)2
B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2
D．(3a＋b)2
C
6　如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别
是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正
方形的边长是(　　)
A．a2＋b2　　
B．a＋b　　
C．a－b　　
D．a2－b2
B
3
知识点
完全平方公式在分解因式中的应用
因式分解的一般步骤：
1.先提：若多项式有公因式，应先提取公因式；
2.再用：若还能运用公式，应再运用公式进行分解；
3.三彻底：要把每一个因式分解到不能分解为止.
合作探究
例5
把下列各式因式分解：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.
(1)3ax2＋6axy＋3ay2
＝
3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2)－x2－4y2＋4xy
＝
－(x2＋4y2－4xy)
＝
－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝
－(x－2y)2.
解：
【中考·聊城】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结
果正确的是(　　)
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
1
C
巩固新知
【中考·厦门】设681×2
019－681×2
018＝a，2
015
×2
016－2
013×2
018＝b，
＝c，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bB．aC．bD．c2
A
若一个长方形的面积是x3＋2x2＋x(x＞0)，且一边长为x＋1，则其邻边长为________．
3
x2＋x
完全平方公式法：
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方．
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
1
知识小结
归纳新知
有下列式子：①－x2－xy－y2；②
a2－ab＋
b2；③－4ab2－a2＋4b4；④4x2＋9y2－12xy；⑤3x2＋6xy＋3y2.其中在实数范围内能用完全平方公式分解因式的有(　　)个．
A．1
B．2
C．3
D．4
易错点：对完全平方式的特征理解不透导致出错
2
易错小结
C
②④⑤能用完全平方公式分解因式．本题容易忽视②⑤，注意②提出
，⑤提出3以后就能利用完全平方公式分解因式．
平方和
积的2倍
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
三
平方式
底数
课后练习
－1或7
D
B
D
(a＋b)2
(a－b)2
积的2倍
和(或差)
3(a－b)2
C
C
C
B
A
A
2
4
C
不彻底
(x－2)4
再见