2020-2021学年鲁教版（五四制）七年级数学下册 第七章 二元一次方程组 单元练习（word版含解析）

第七章
二元一次方程组
一．选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．3a﹣2b＝9
B．2a+b＝6c
C．+2＝3b
D．a﹣3＝4b2
2．下列某个方程与x﹣y＝3组成方程组的解为，则这个方程是（　　）
A．3x﹣4y＝10
B．
C．x+3y＝2
D．2（x﹣y）＝6y
3．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
4．关于x，y的二元一次方程x+2y＝2020的解，下列说法正确的是（　　）
A．无解
B．有无数组解
C．只有一组解
D．无法确定
5．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0
B．m≠3
C．m≠﹣3
D．m≠2
6．甲、乙两人同求方程ax﹣by＝7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by＝7看成ax﹣by＝1，求得一个解为，则a，b的值分别为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．解方程组①和②，采用较为简单的解法应为（　　）
A．均用代入法
B．①用代入法，②用加减法
C．均用加减法
D．①用加减法，②用代入法
8．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是（　　）
A．+＝
B．+＝
C．+＝
D．+＝
9．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
10．如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（　　）的解．
A．
B．
C．
D．
11．若直线y＝mx﹣3和y＝2x+n相交于点P（﹣2，3），则方程组的解为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①图象经过点（1，﹣3）；②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；③关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；④当x＞2时，y＜0．其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
13．某单位在一快餐店订了22份盒饭，盒饭共有甲、乙、丙三种，如果订甲种盒饭3份、乙种盒饭5份、丙种盒饭14份，需要支付140元；如果订甲种盒饭5份、乙种盒饭6份、丙种盒饭11份，需要支付153元；如果订甲种盒饭9份、乙种盒饭7份、丙种盒饭6份，需要支付176元，那么甲、乙、丙三种盒饭的单价分别为（　　）
A．10元、8元、5元
B．8元、10元、5元
C．10元、8元、6元
D．5元、8元、10元
二．填空题
14．二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有　
　组．
15．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”求弟弟和哥哥的年龄．设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是　
　．
16．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则m的值为　
　．
17．已知二元一次方程组，则y﹣x＝　
　．
18．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”通过计算可知，共有　
　人合伙购物．
19．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为　
　．
二．解答题
20．解下列方程组．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
21．甲、乙两个工程队承包了地铁某标段全长3900米的施工任务，分别从南、北两个方向同时向前掘进．已知甲工程队比乙工程队平均每天多掘进0.4米，经过13天的施工，两个工程队共掘进了156米．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，两工程队都改进了施工技术，在剩余的工程中，甲工程队平均每天能比原来多掘进0.4米，乙工程队平均每天能比原来多掘进0.6米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
22．蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元钱？
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/kg）
2.4
2
零售价/（元/kg）
3.6
2.8
23．在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．
（1）求m和n的值；
（2）求原方程组的解．
24．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组的解；
（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使的△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．
第七章
二元一次方程组
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．3a﹣2b＝9
B．2a+b＝6c
C．+2＝3b
D．a﹣3＝4b2
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【解答】解：3a﹣2b＝9属于二元一次方程，
故选：A．
2．下列某个方程与x﹣y＝3组成方程组的解为，则这个方程是（　　）
A．3x﹣4y＝10
B．
C．x+3y＝2
D．2（x﹣y）＝6y
【分析】直接把x＝2，y＝﹣1代入各方程进行检验即可．
【解答】解：A、当x＝2，y＝﹣1时，3x﹣4y＝6+4＝10，故本选项符合题意；
B、当x＝2，y＝﹣1时，x+2y＝1﹣2＝﹣1≠3，故本选项不符合题意；
C、当x＝2，y＝﹣1时，x+3y＝2﹣3＝﹣1≠2，故本选项不符合题意；
D、当x＝2，y＝﹣1时，2（x﹣y）＝2×3＝6≠﹣6＝6y，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．0
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【解答】解：将代入得：
，
∴a+b＝2；
故选：B．
4．关于x，y的二元一次方程x+2y＝2020的解，下列说法正确的是（　　）
A．无解
B．有无数组解
C．只有一组解
D．无法确定
【分析】根据二元一次方程解的定义判断即可．
【解答】解：关于x，y的二元一次方程x+2y＝2020的解有无数组解．
故选：B．
5．若方程mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0
B．m≠3
C．m≠﹣3
D．m≠2
【分析】首先把方程整理为二元一次方程的一般形式，再根据定义要求x、y的系数均不为0，即m﹣3≠0解出即可．
【解答】解：∵mx﹣2y＝3x+4是关于x、y的二元一次方程，
移项合并，得（m﹣3）x﹣2y＝4，
∴m﹣3≠0，
解得m≠3．
故选：B．
6．甲、乙两人同求方程ax﹣by＝7的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把ax﹣by＝7看成ax﹣by＝1，求得一个解为，则a，b的值分别为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先根据题意把代入ax﹣by＝7中得a+b＝7，把代入ax﹣by＝1中得：a﹣2b＝1，组成方程组可解得a，b的值．
【解答】解：把代入ax﹣by＝7中得：
a+b＝7
①，
把代入ax﹣by＝1中得：
a﹣2b＝1
②，
把①②组成方程组得：，
解得：，
故选：B．
7．解方程组①和②，采用较为简单的解法应为（　　）
A．均用代入法
B．①用代入法，②用加减法
C．均用加减法
D．①用加减法，②用代入法
【分析】结合方程组的特征，利用加减消元法与代入消元法判断即可．
【解答】解：解方程组①和②，采用较为简单的解法应为①用代入法，②用加减法．
故选：B．
8．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是（　　）
A．+＝
B．+＝
C．+＝
D．+＝
【分析】直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
【解答】解：设未知数x，y，已经列出一个方程+＝，则另一个方程正确的是：+＝．
故选：B．
9．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（　　）
A．120km
B．140km
C．160km
D．180km
【分析】设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：
，
解得：．
∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．
或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车行驶ykm，也即甲车注入燃料量可行驶ykm，注入后甲车剩余油量可行驶ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB为：105+70÷2＝140（km）．
故选：B．
10．如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（　　）的解．
A．
B．
C．
D．
【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．
【解答】解：设l1的解析式为y＝kx+b，
∵图象经过的点（1，0），（0，﹣2），
∴，
解得：，
∴l1的解析式为y＝2x﹣2，
可变形为2x﹣y＝2，
设l2的解析式为y＝mx+n，
∵图象经过的点（﹣2，0），（0，1），
∴，
解得：，
∴l2的解析式为y＝x+1，
可变形为x﹣2y＝﹣2，
∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组的解．
故选：A．
11．若直线y＝mx﹣3和y＝2x+n相交于点P（﹣2，3），则方程组的解为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】求得直线y＝3x+m和直线y＝nx﹣4关于原点对称的直线，由题意得出点P的对应点，根据方程组的解和直线交点的关系即可求得．
【解答】解：直线y＝mx﹣3和y＝2x+n关于原点对称的直线为y＝mx+3和y＝2x﹣n，
∵直线y＝mx﹣3和y＝2x+n相交于点P（﹣2，3），
∴直线y＝mx+3和y＝2x﹣n相交于点（2，﹣3），
∴方程组的解为，
故选：D．
12．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点（2，0），点（0，3）．有下列结论：①图象经过点（1，﹣3）；②关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2；③关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0；④当x＞2时，y＜0．其中正确的是（　　）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：把点（2，0），点（0，3）代入y＝kx+b得，，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝，
∴图象不经过点（1，﹣3）；故①不符合题意；
由图象得：关于x的方程kx+b＝0的解为x＝2，故②符合题意；
关于x的方程kx+b＝3的解为x＝0，故③符合题意；
当x＞2时，y＜0，故④符合题意；
故选：C．
13．某单位在一快餐店订了22份盒饭，盒饭共有甲、乙、丙三种，如果订甲种盒饭3份、乙种盒饭5份、丙种盒饭14份，需要支付140元；如果订甲种盒饭5份、乙种盒饭6份、丙种盒饭11份，需要支付153元；如果订甲种盒饭9份、乙种盒饭7份、丙种盒饭6份，需要支付176元，那么甲、乙、丙三种盒饭的单价分别为（　　）
A．10元、8元、5元
B．8元、10元、5元
C．10元、8元、6元
D．5元、8元、10元
【分析】设甲种盒饭的单价为x元，乙种盒饭的单价为y元，丙种盒饭的单价为z元，根据“如果订甲种盒饭3份、乙种盒饭5份、丙种盒饭14份，需要支付140元；如果订甲种盒饭5份、乙种盒饭6份、丙种盒饭11份，需要支付153元；如果订甲种盒饭9份、乙种盒饭7份、丙种盒饭6份，需要支付176元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲种盒饭的单价为x元，乙种盒饭的单价为y元，丙种盒饭的单价为z元，
依题意得：，
解得：．
故选：A．
二．填空题
14．二元一次方程2x+3y＝15的非负整数解有　3　组．
【分析】先用x的代数式表示出y，再求出非负整数解即可．
【解答】解：2x+3y＝15，
3y＝15﹣2x，
y＝5﹣，
所以负的非负整数解是：，，，共3组，
故答案为：3．
15．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”求弟弟和哥哥的年龄．设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是　　．
【分析】设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意列出方程组解答即可．
【解答】解：设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意得：，
故答案为：．
16．若关于x，y的方程组的解满足x+y＝6，则m的值为　3　．
【分析】把方程组的两个方程相加，得到3x+3y＝6m，结合x+y＝6，即可求出m的值．
【解答】解：∵，
∴3x+3y＝6m，
∴x+y＝2m，
∵x+y＝6，
∴2m＝6，
∴m＝3，
故答案为：3．
17．已知二元一次方程组，则y﹣x＝　1　．
【分析】方程组两方程相减，即可求出y﹣x的值．
【解答】解：，
①﹣②得：y﹣x＝1，
故答案为：1．
18．《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”通过计算可知，共有　7　人合伙购物．
【分析】设x人合伙购物，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设x人合伙购物，物价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：7．
19．已知直线y＝x﹣2与y＝mx﹣n相交于点M（3，b），则关于x，y的二元一次方程组的解为　　．
【分析】首先利用待定系数法求出b的值，进而得到M点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数的解析式组成的二元一次去方程组的解可得答案．
【解答】解：∵直线y＝x﹣2经过点M（3，b），
∴b＝3﹣2，
解得b＝1，
∴M（3，1），
∴关于x，y的二元一次方程组的解为，
故答案为．
三．解答题（共5小题）
20．解下列方程组．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可；
（3）方程组利用加减消元法求出解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可；
（5）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
①+②得3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①得：﹣1+y＝3，
解得：y＝4，
故方程组的解为；
（2）由①得：x＝3y﹣20③，
将③代入②，得3（3y﹣20）+7y＝100，
解得：y＝10，
将y＝10代入③，得：x＝10，
故方程组的解为；
（3）①+②×5得，13x＝13，
解得：x＝1，
将x＝1代入②，得2﹣y＝1，
解得：y＝1，
故方程组的解为；
（4）由①得：4x﹣6y＝13③，
②﹣③，得3y＝﹣6，
解得：y＝﹣2，
将y＝﹣2代入②，得：4x+6＝7，
解得：x＝，
故原方程组的解为；
（5）原方程组可整理为，
③×2+④，得11x＝22，
解得：x＝2．
将x＝2代入③，得8﹣y＝5，
解得：y＝3．
故原方程组的解为．
21．甲、乙两个工程队承包了地铁某标段全长3900米的施工任务，分别从南、北两个方向同时向前掘进．已知甲工程队比乙工程队平均每天多掘进0.4米，经过13天的施工，两个工程队共掘进了156米．
（1）求甲、乙两个工程队平均每天各掘进多少米？
（2）为加快工程进度，两工程队都改进了施工技术，在剩余的工程中，甲工程队平均每天能比原来多掘进0.4米，乙工程队平均每天能比原来多掘进0.6米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【分析】（1）设乙工程队平均每天掘进x米，则甲工程队平均每天掘进（x+0.4）米，根据甲、乙两个工程队13天共掘进了156米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合节省时间＝按照原施工进度所需时间﹣按照改进后的施工进度所需时间，即可求出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队平均每天掘进x米，则甲工程队平均每天掘进（x+0.4）米，
依题意，得：13（x+0.4）+13x＝156，
解得：x＝5.8，
∴x+0.4＝6.2．
答：甲工程队平均每天掘进6.2米，乙工程队平均每天掘进5.8米．
（2）（3900﹣156）÷（5.8+6.2）﹣（3900﹣156）÷（6.2+0.4+5.8+0.6）＝24（天）．
答：按此施工进度，能够比原来少用24天完成任务．
22．蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元钱？
品名
黄瓜
茄子
批发价/（元/kg）
2.4
2
零售价/（元/kg）
3.6
2.8
【分析】设黄瓜批发了xkg，茄子批发了ykg，根据该蔬菜经营户购进黄瓜和茄子共40kg且共花费90元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用销售总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：设黄瓜批发了xkg，茄子批发了ykg，
依题意得：，
解得：，
∴（3.6﹣2.4）x+（2.8﹣2）y＝（3.6﹣2.4）×25+（2.8﹣2）×15＝42（元）．
答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚42元钱．
23．在解关于x，y的方程组时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y．
（1）求m和n的值；
（2）求原方程组的解．
【分析】（1）利用①×7﹣②×3消去未知数x得到7（m+1）＝3（n+2），利用①×2+②×5得到﹣2n+5m＝0，然后解关于m、n的方程组即可；
（2）由（1）得到，然后利用加减消元法解方程组．
【解答】解：（1）根据题意得，解得；
（2）原方程组为，
①×7﹣②×3得﹣35y﹣6y＝123，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入②得7x﹣6＝1，
解得x＝1，
所以原方程组的解为．
24．若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）直接写出方程组的解；
（3）在一次函数y2＝x+m的图象上是否存在点B，使的△AOB的面积为2，若存在，求出点B坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出A点的纵坐标，把A点的坐标代入y＝x+m，求出m即可；
（2）根据方程组的特点和A点的坐标得出答案即可；
（3）设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），求出△AOC和△AOD的面积，分为两种情况：①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，根据三角形的面积求出B点的纵坐标或横坐标，即可求出答案．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入y＝﹣x，得y＝1，
则点A坐标为（﹣1，1），
将A（﹣1，1）代入y＝x+m，得﹣1+m＝1，
解得：m＝2，
所以一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）∵方程组的解为，
∴方程组的解为；
（3）
设直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），
∵A（﹣1，1），
∴，
①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，
设B的横坐标为m，
∴，
解得：m＝1，
即点B的横坐标是1，
把，x＝1代入y＝x+2得：y＝3，
∴B（1，3）；
②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，
设B的纵坐标为n，
∴，
解得：n＝﹣1，
即点B的纵坐标是﹣1，
把y＝﹣1代入y＝x+2得：x＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣1），
综上，点B的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．