第3章 3.3 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
解析： 作出可行域如图所示，目标函数y＝－x＋z
则过B(1,1)时z取最小值zmin＝3
答案： B
2．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B.
C．1 D.
解析： 作出可行域如图所示
令z＝x＋y，则y＝－x＋z，
∴y＝－x＋z过A(4,5)时，
z取最大值zmax＝9.
答案： A
3．已知 ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在 ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )
A．(－14,16) B．(－14,20)
C．(－12,18) D．(－12,20)
解析： 如图，由 ABCD的三个顶点A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)可知D点坐标为(0，－4)
由z＝2x－5y知y＝x－
∴当直线y＝x－过点B(3,4)时，zmin＝－14.
当直线y＝x－过点D(0，－4)时，zmax＝20.
∵点(x，y)在 ABCD的内部不包括边界
∴z的取值范围为(－14,20)．
答案： B
4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析： 令z＝x＋y，则y＝－x＋z
斜率为－1的直线向上平移时z逐渐增大
则过直线2x－y－3＝0与x－my＋1＝0的交点时z取到最大值
联立可得：y＝，x＝
x＋y＝＝9
解得：m＝1.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
解析： 方法一：不等式组所表示的平面区域为三角形区域，
令z＝2x＋3y，则将其视为一组平行线，为直线在y轴上的截距．
于是根据线性目标函数的几何意义，当直线z＝2x＋3y经过直线x＋y＝2与直线2x－y＝4的交点(2,0)时，最小，
即z最小，此时z＝4.故填4.
方法二：根据线性目标函数在平面区域上的最优化问题可知，在三角形区域的“边界”处取得最小值，即顶点处，求得三条直线x＋y＝2,2x－y＝4，x－y＝0的交点分别为(2,0)，(1,1)(4,4)，于是当x＝2，y＝0时2x＋3y取得最小值4.故填4.
答案： 4
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b(万吨) c(百万吨)
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析： 设购买铁矿石A为x，购买铁矿石B为y，所花费用为z，由题意可知，即.
可行域如图中阴影部分所示：
目标函数z＝3x＋6y，即y＝－x＋.
在A点处z有最小值
由得.故A(1,2)
∴zmin＝3×1＋6×2＝15.
答案： 15
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解析： 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足即
z在可行域的四个顶点A(9,0)，B(4,3)，C(2,5)，D(0,8)处的值分别是
zA＝2.5×9＋4×0＝22.5，
zB＝2.5×4＋4×3＝22，
zC＝2.5×2＋4×5＝25，
zD＝2.5×0＋4×8＝32.
比较之，zB最小，因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
8．实数x，y满足不等式组，求z＝|x＋2y－4|的最大值．
解析： 先作出不等式组表示的平面区域，而目标函数的几何含义为该区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．当然也可观察绝对值内代数式的符号．
方法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
z＝|x＋2y－4|＝·，
即其几何含义为该平面区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．
由，得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.
方法二：由图可知，区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有x＋2y－4＞0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为一般的线性规划问题．显然当直线经过点B时，目标函数取得最大值为zmax＝21.
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9．(10分)某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)
解析： 设用甲种钢板x张，乙种钢板y张，
依题意
钢板总面积z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．
由图可知当直线z＝2x＋3y过点P时，z最小．
由方程组得.
所以甲、乙两种钢板各用5张用料最省．第3章 3.1 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．不能确定
3．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
4.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2
C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
答案： (a2＋b2)＞ab
6．比较大小：x2＋y2＋z2________2(x＋y＋z)－4.(>)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
8．如图，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)
第3章 3.1 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac2＞bc2 B．a－d＞b－c
C．ad＜bd D．a2＞b2
2．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
3．已知a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＞b2＞c2 B．a|b|＞c|b|
C．ac＞bc D．ab＞ac
4．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________(只要写出适合条件的一组值即可)． (2,3，－1，－2)
6．设a＜0，－1＜b＜0，则a、ab、ab2从小到大的顺序为________． ab＞ab2＞a
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知：a＞b＞0，d＞c＞0，求证：＞.
8．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
第3章 3.2 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C． D.
2．下列不等式中，解集是R的是( )
A．x2＋4x＋4>0 B.>0
C.x＋1>0 D．－x2＋2x－1>0
3．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为( )
A. B.
C. D.
4．关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
6．已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
8．解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
第3章 3.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
2．关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是________． [0,4)
6．函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围为________．：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋4x－5＜0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b＜0的解集．
8．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
第3章 3.3 第1课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )
A. B.
C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为________．
6．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为____________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的平面区域；
(2)画出以下不等式组表示的平面区域：
8．某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 教师年薪
初中 45 2 26万元/班 2万元/人
高中 40 3 54万元/班 2万元/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
第3章 3.3 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
2．若实数x，y满足不等式组则x＋y的最大值为( )
A．9 B.
C．1 D.
3．已知 ABCD的三个顶点为A(－1,2)，B(3,4)，C(4，－2)，点(x，y)在 ABCD的内部，则z＝2x－5y的取值范围是( )
A．(－14,16) B．(－14,20)
C．(－12,18) D．(－12,20)
4．若实数x，y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若实数x，y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a b(万吨) c(百万吨)
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
8．实数x，y满足不等式组，求z＝|x＋2y－4|的最大值．
第3章 3.4
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0
2．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为( )
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；
⑤＋≥2.
A．1 B．2
C．3 D．4
3．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.，
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
.
8．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
第3章
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题
(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
2．已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系正确的是( )
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
3．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0,4) D．(0,4)
4．设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于( )
A．7 B．－1
C．1 D．－7，
5．已知a，b，c满足a＋b＞0，ab＞0，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＜0
C．cb2＞ab2 D．c(b－a)＞0
6．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是( )
7．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为( )
A. B.
C. D.
8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
．
9．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．0 B．2
C. D．3
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知－112．已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若x＋3y的最大值为8，则k＝________.
13．已知不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a＝______.
14．若＜＜0，已知下列不等式：
①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2；
⑤a2＞b2；⑥2a＞2b.
其中正确的不等式的序号为________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
16．(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？
17．(本小题满分12分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
18．(本小题满分14分)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.第3章
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．不等式(x＋3)2＜1的解集是( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＜－4}
C．{x|－4＜x＜－2} D．{x|－4≤x≤－2}
解析： 原不等式可化为x2＋6x＋8＜0，
解得－4＜x＜－2.
答案： C
2．已知t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t和s的大小关系正确的是( )
A．t＞s B．t≥s
C．t＜s D．t≤s
解析： ∵t－s＝a＋2b－a－b2－1
＝－(b－1)2≤0，
∴t≤s.
答案： D
3．当x∈R时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．[0,4) D．(0,4)
解析： (1)当k＝0时，不等式变为1＞0成立；
(2)当k≠0时，不等式kx2－kx＋1＞0恒成立，
则
即0＜k＜4，所以0≤k＜4.
答案： C
4．设A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于( )
A．7 B．－1
C．1 D．－7
解析： A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∵A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则B＝[－1,4]，
∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4，
∴a＋b＝－7.
答案： D
5．已知a，b，c满足a＋b＞0，ab＞0，且ac＜0，则下列选项中一定成立的是( )
A．ab＞ac B．c(b－a)＜0
C．cb2＞ab2 D．c(b－a)＞0
解析： ∵a＋b＞0，ab＞0.∴a＞0，b＞0，
又∵ac＜0，∴c＜0.
∴b＞c，又∵a＞0，∴ab＞ac.
答案： A
6．满足不等式y2－x2≥0的点(x，y)的集合(用阴影表示)是( )
解析： 取测试点(0,1)可知C，D错；再取测试点(0，－1)可知A错，故选B.
答案： B
7．已知x，y为正实数，且x＋4y＝1，则xy的最大值为( )
A. B.
C. D.
解析： ∵x，y为正实数，
∴x·y＝x·4y≤2＝，
当且仅当x＝4y即x＝，y＝时取等号．
答案： C
8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3，－11 B．－3，－11
C．11，－3 D．11,3
解析： 作出可行域如图所示．
目标函数y＝x－z
则过B、A点时分别取到最大值与最小值．
易求B(5,3)，A(3,5)
∴zmax＝3×5－4×3＝3.
∴zmin＝3×3－4×5＝－11.
答案： A
9．若a＞1，则a＋的最小值是( )
A．0 B．2
C. D．3
解析： a＋＝a－1＋＋1
∵a＞1，∴a－1＞0
∴a－1＋＋1≥2＋1＝3.
当且仅当a－1＝即a＝2时取等号．
答案： D
10．设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2,3]
C．(1,2] D．[3，＋∞)
解析： 区域D如图中阴影部分所示
l
当y＝ax过A点时a＝3，当y＝ax过B点时a＝2，
由图知1＜a＜3.故选A.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知－1解析： 设2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)
即2x－3y＝(m＋n)x＋(m－n)y
由－1＜x＋y＜4
知－2＜－(x＋y)＜①
由2＜x－y＜3知5＜(x－y)＜②
①＋②得3＜－(x＋y)＋(x－y)＜8
即3＜z＜8
答案： (3,8)
12．已知点P(x，y)满足条件(k为常数)，若x＋3y的最大值为8，则k＝________.
解析： 作出可行域如图所示，
作直线l0：x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋3y最大，由于A点坐标为.
∴－－k＝8，从而k＝－6.
答案： －6
13．已知不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a＝______.
解析： 原不等式化为<0 (x－1)[(a－1)x＋1]<0.因为此不等式的解集为{x|x<1或x>2}，所以a－1<0且＝2，所以a＝.
答案：
14．若＜＜0，已知下列不等式：
①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2；
⑤a2＞b2；⑥2a＞2b.
其中正确的不等式的序号为________．
解析： ∵＜＜0，
∴b＜a＜0，故③错，
又b＜a＜0，可得|a|＜|b|，a2＜b2，故②⑤错．
答案： ①④⑥
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
解析： 若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，不合题意；
当m＝3时，符合题意．
若m2－2m－3≠0，设f(x)＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1，则由题意，得
解得：－＜m＜3.
综合以上讨论，得－＜m≤3.
16．(本小题满分12分)一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h的速度匀速开往400 km处的灾区．为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于2km，问这批物资全部到达灾区，最少要多少小时？
解析： 设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于：最后一辆车行驶了25个2km＋400 km所用的时间，
因此，t＝＋≥2＝10.
当且仅当＝，即x＝80时取“＝”．
故这些汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．
17．(本小题满分12分)制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
解析： 设投资人分别用x，y万元投资甲、乙两个项目，
目标函数为z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M，此时z最大，这里点M是直线x＋y＝10与直线0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
此时，z＝4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大．
18．(本小题满分14分)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解析： 因为ax2－(a＋1)x＋1＜0 (ax－1)(x－1)＜0
(1)当a＝0时，(ax－1)(x－1)＜0 －x＋1＜0 x＞1；
(2)当a＜0时，(ax－1)(x－1)＜0 (x－1)＞0
x＜或x＞1；
(3)当a＞0时，(ax－1)(x－1)＜0 (x－1)＜0
因为－1＝＝－
①当－＜0即a＞1时，
＜1，(ax－1)(x－1)＜0 ＜x＜1.
②当－＝0，即当a＝1时，不等式的解集为 .
③当－＞0，即0＜a＜1时，
1＜，(ax－1)(x－1)＜0 1＜x＜；
综上所述：原不等式的解集为：
当a＜0时为；
当a＝0时为{x|x＞1}；当0＜a＜1时为；
当a＝1时为 ；当a＞1时为.第3章 3.2 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A. B.
C． D.
解析： 9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≤0
∴x＝－，故选D.
答案： D
2．下列不等式中，解集是R的是( )
A．x2＋4x＋4>0 B.>0
C.x＋1>0 D．－x2＋2x－1>0
解析： ∵x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，
∴A不正确；
∵＝|x|≥0，∴B不正确；
∵x>0，∴x＋1>1>0(x∈R)，故C正确；
∵－x2＋2x－1>0
∴x2－2x＋1＝(x－1)2<0，
∴D不正确．
答案： C
3．若0＜t＜1，则不等式(x－t)＜0的解集为( )
A. B.
C. D.
解析： ∵0＜t＜1，∴＞1，∴t＜
∴(x－t)＜0 t＜x＜.
答案： D
4．关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式＞0的解集是( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}
解析： 由ax－b＞0的解集为(1，＋∞)得，
＞0变为＞0，
即(x＋1)(x－2)＞0
故解集为{x|x＞2或x＜－1}，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x＞0，y＞0都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)＜2f(4)的解集为________．
解析： 由已知得f(x＋6)＋f(x)＝f[x(x＋6)]，
2f(4)＝f(4)＋f(4)＝f(4×4)＝f(16)，
∴原不等式等价于
0＜x＜2.
答案： {x|0＜x＜2}
6．已知函数f(x)＝，则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的范围是________．
解析： 若x≥0，则
－1＜x＜－1 0≤x＜－1
若x＜0，则1－x2＞0
∴－1＜x＜0
综上－1＜x＜－1
答案： (－1，－1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5≤0; (4)－4x2＋18x－≥0；
(5)－x2＋3x－5＞0; (6)－2x2＋3x－2＜0.
解析： (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.
又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根
x1＝4－，x2＝4＋.
又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，
所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}．
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，
所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(4)原不等式可化为2≤0，
所以原不等式的解集为.
(5)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，
因为Δ＝62－40＝－4＜0，方程x2－6x＋10＝0无实数根，
所以原不等式的解集为 .
(6)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，
因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，方程2x2－3x＋2＝0无实数根，
所以原不等式的解集为R.
8．解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0(其中m∈R)．
解析： 当m＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x∈R都成立，
所以原不等式的解集为R.
当m≠0时，m2＞0，
由m2x2＋2mx－3＜0，得(mx－1)(mx＋3)＜0，
即＜0，
若m＞0，则＞－，
所以原不等式的解集为；
若m＜0，则＜－，
所以原不等式的解集为.
综上所述，当m＝0时，原不等式的解集为R；
当m＞0时，原不等式的解集为；
当m＜0时，原不等式的解集为.
尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知a为实数，A为不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0的解集，B为不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0的解集．
(1)用区间表示A和B；
(2)是否存在实数a，使A∪B＝R？并证明你的结论．
解析： 不等式x2－(2a＋1)x＋(a＋2)(a－1)≥0可以转化为[x－(a＋2)][x－(a－1)]≥0，不等式x2－a(a＋1)x＋a3＜0可以转化为(x－a)(x－a2)＜0.
(1)因为对任意实数a都有a－1＜a＋2，
所以A＝(－∞，a－1]∪[a＋2，＋∞)．
当a2≥a，即a≥1或a≤0时，B＝(a，a2)；
当a2＜a，即0＜a＜1时，B＝(a2，a)．
(2)要使A∪B＝R，则
当a≥1或a≤0时，需，该不等式组无解；
当0＜a＜1时，需，该不等式组无解．
所以不存在实数a，使得A∪B＝R.(共38张PPT)
第2课时 不等式的性质
1.掌握不等式的有关性质．
2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明．
1.本课的重点是不等式8个性质的应用．
2.多以选择题、填空题的形式考查，属低档题．
1．要比较两数a、b的大小，只要比较a－b与 的大小．
0
不等式的基本性质
(1)对称性：a>b .
(2)传递性：a>b，b>c .
(3)可加性：a>b .
(4)可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 .
(5)加法法则：a>b，c>d .
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0 .
(7)乘方法则：a>b>0 ．
(8)开方法则：a>b>0 ．
ba>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
an>bn>0(n∈N，n≥2)
1．设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是( )
A．x2＜ax＜a2 B．x2＞ax＞a2
C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞ax
解析： ∵x＜a＜0，∴x2＞a2.
∵x2－ax＝x(x－a)＞0，
∴x2＞ax.
又ax－a2＝a(x－a)＞0，
∴ax＞a2.
∴x2＞ax＞a2.
答案： B
2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则( )
A．ad>bc B．ac>bc
C．a＋c>b＋d D．a－c>b－d
解析： ∵a>b，c>d，
∴a＋c>b＋d，故选C.
答案： C
利用不等式的性质或者举反例进行判断．
答案： C
[题后感悟] 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
答案： D
[题后感悟] 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件，如果不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式性质进行转化．
[题后感悟] 解决此类问题，要注意题设中的条件，充分利用已知求解，否则易出错，同时在变换过程中要熟练掌握，准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误。
3.若题目条件不变，试求2a＋b，a－b的取值范围．
解析： 因为－6又因为2即－10<2a＋b<19.
因为2又－6所以－94．已知函数f(x)＝ax2－c，且f(1)∈[－4，－1]，f(2)∈[－1,5]，求f(3)的取值范围．
1．不等式性质的可逆性和传递性
(1)不等式性质的可逆性
在不等式的性质中，有的是可以逆推的，即具备双向性，有的是不可以逆推的，即只能是单向的．其中性质1和性质3具备双向性，可以表示为：a>b bb a＋c>b＋c，其他均不可逆推．
(2)不等式性质的传递性
在使用不等式的传递性时，如果两个不等式有一个带“＝”号，另一个不带“＝”号，那么“＝”是传递不过去的．如a>b，且b≥c a>c，而不是a>b且b≥c a≥c.
2．在应用不等式性质时应注意的问题
使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．例如：
(1)a>b，c>d a＋c>b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；
(2)a>b>0且c>d>0 ac>bd，已知两个不等式不仅要求同向，而且不等式两边必须为正值；
◎设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤3,1≤f(1)≤5，求f(－2)的取值范围．
【错解】 ∵f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b
∴1≤a＋b≤5 ①，－1≤a－b≤3 ②
①＋②除以2得0≤a≤4
又∵1≤a＋b≤5，－3≤－(a－b)≤1，
∴－1≤b≤3.
∵0≤a≤4，－1≤b≤3，
f(－2)＝4a－2b，
∴0≤4a≤16，－6≤－2b≤2，
∴－6≤4a－2b≤18.
【错因】 在错解中，由已知条件推出不等式－6≤4a－2b≤18的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a＋b≤5与－1≤a－b≤3，得到0≤a≤4，－1≤b≤3，但这并不意味着a与b可各自独立地取得区间[0,4]与[－1,3]的一切值．如取a＝4，b＝3时，a＋b＝7，就已超出题设条件1≤a＋b≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系．
练考题、验能力、轻巧夺冠(共48张PPT)
3．3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题
3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
1.了解二元一次不等式的几何意义．
2.会画二元一次不等式表示的平面区域．
3.能用平面区域表示二元一次不等式组．
1.能够准确判断二元一次不等式表示的平面区域，并画出平面区域是本课考查的热点．
2.画二元一次不等式组表示的平面区域是本课热点．
3.多与后面知识结合，以选择题、填空题形式考查．
1．以二元一次方程Ax＋By＋C＝0的解为坐标的点 ，在直线上的所有点的坐标 ．在线外的点的坐标与方程有何关系呢？
2．点A(1,1)，B(2,1)，C(－1,0)与直线x－y＝0位置关系是什么？
3．我们知道x＋y－1＝0表示直线，而x2＋(y－1)2＝3表示圆，试考虑一下，x＋y－1＞0表示何种图形？
在直
线上
适合方程
1．二元一次不等式的概念
含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式叫做二元一次不等式．
2．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画出 以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成 ．
两个
一次
Ax＋By＋C＝0
虚线
实线
3．二元一次不等式表示平面区域的确定
(1)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都 ．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 的符号可以判定Ax＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
4．二元一次不等式组
由几个 组成的不等式组称为二元一次不等式组．
相同
Ax0＋By0＋C
二元一次不等式
5．二元一次不等式组表示平面区域
每一个二元一次不等式所表示的平面区域的 ，就是不等式组所表示的区域．
公共部分
1．不等式2x＋y－5＞0表示的平面区域在直线2x＋y－5＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左上方 D．左下方
解析： 先作出边界2x＋y－5＝0，因为这条直线上的点都不满足2x＋y－5＞0，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入2x＋y－5.因为2×0＋0－5＝－5＜0，所以原点
(0,0)不在2x＋y－5＞0表示的平面区域内，不等式2x＋y－5＞0表示的区域如右图所示(阴影部分)，即在直线2x＋y－5＝0的右上方．故选A.
答案： A
解析： 分别将P1、P2、P3点坐标代入3x＋2y－1，比较发现只有3×0＋2×0－1＝－1<0，故P1点不在此平面区域内，P2、P3均在此平面区域内．
答案： C
3．已知点(a,2a－1)，既在直线y＝3x－6的左上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围为______________．
解析： ∵(a,2a－1)在y＝3x－6的上方，
∴3a－6－(2a－1)<0，即a<5，又(a,2a－1)在y轴右侧，∴a>0，故0答案： (0,5)
画出下列不等式表示的平面区域：
(1)x＋2y－4＞0；(2)y≥x＋3.
画二元一次不等式表示的平面区域的一般步骤为：第一步：“直线定界”，即画出边界直线Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；
第二步：“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号就可以确定出所给不等式表示的平面区域．
[解题过程] (1)先作出边界x＋2y－4＝0，因为这条直线上的点都不满足x＋2y－4＞0，所以画出虚线．
取原点(0,0)代入x＋2y－4.因为0＋2×0－4＝－4＜0，所以原点(0,0)，不在x＋2y－4＞0表示的平面区域内，不等式x＋2y－4＞0表示的平面区域如图(1)所示(阴影部分)．
(2)将y≥x＋3变形为x－y＋3≤0，先作出边界x－y＋3＝0，因为这条直线上的点都满足x－y＋3≤0，所以画成实线．
取原点(0,0)，代入x－y＋3.因为0－0＋3＝3＞0，所以原点(0,0)不在x－y＋3≤0表示的平面区域内，不等式x－y＋3≤0表示的平面区域如图(2)所示(阴影部分)．
[题后感悟] (1)y＝kx＋b表示的直线将平面分成两部分，即y＞kx＋b表示直线上方的平面区域，y＜kx＋b表示直线下方的平面区域，而直线y＝kx＋b是这两个区域的分界线．
(2)一般地，若Ax＋By＋C＞0，则当B＞0时，表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域；当B＜0时，表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域．若Ax＋By＋C＜0，与上述情况相反．
1.画出下面二元一次不等式表示的平面区域：
(1)2x－y－6≥0；(2)y>2x.
解析： (1)如图，先画出直线2x－y－6＝0，
取原点O(0,0)代入2x－y－6中，
∵2×0－0－6＝－6<0，
∴与点O在直线2x－y－6＝0同一侧的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，
故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，
因此2x－y－6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．
(2)画出直线y－2x＝0，取点(1,0)代入y－2x＝0
∵F(1,0)＝0－2×1＝－2<0，
∴y－2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧，因此所求为如图所示的区域，不包括边界．
由题目可获取以下主要信息：
①有一个不等式不含等号；
②所求区域为三个平面区域的公共部分．
解答本题可分别画出三个不等式所表示的平面区域，再找它们的公共部分．
[解题过程] 不等式x＋y≤5表示直线x＋y＝5及其左下方的区域，
不等式x－2y＞3表示直线x－2y＝3右下方区域，
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及其右上方区域，
故不等式组表示的平面区域如图所示．
[题后感悟] (1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：①画线；②定侧；③求“交”；④表示．
(2)作图时，每条直线要画准确，尤其要交代清楚两条直线的相对位置关系，如在坐标轴上的点、倾斜角的大小等．
解析： 不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得：不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分．
本题的两个小题的解题关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域．
[题后感悟] 求平面区域的面积，先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．若图形为规则的，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，可采取分割的方法，将平面区域分为几个规则图形然后求解．
解析： 不等式x＋2y≤20表示直线x＋2y＝20上及左下方的点的集合，不等式2x＋y－16≤0表示直线2x＋y－16＝0
投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
先将已知数据列成表，如下所示：
然后根据此表设未知数，列出限制条件，最后作图即可．
消耗量
产品 资金(百万元) 场地(百平方米)
A产品(百吨) 2 2
B产品(百米) 3 1
[题后感悟] 用平面区域来表示实际问题中相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起关键作用并与其他量关联较多的两个量，用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中的限制条件以及问题中所有量均有实际意义的条件写出所有的不等式，把由这些不等式组成的不等式组用平面区域表示出来即可．注意在实际问题中列出不等式组时，必须考虑到所有的限制条件，不能遗漏任何一个．
4.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t，B种矿石5 t，煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t，B种矿石4 t，煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t，B种矿石不超过200 t，煤不超过360 t，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
1．判定二元一次不等式表示的平面区域
判定二元一次不等式表示的平面区域的常用方法是以线定界，以点(原点)定域(以Ax＋By＋C>0为例)．
(1)“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中要注意实线或虚线．
(2)“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的符号，可采用取特殊点法，如取原点等．
2．画平面区域的步骤
(1)画线——画出不等式所反应的方程所表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线)；
(2)定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；
(3)求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式表示的平面区域．
俗称“线定界，点定域”．
◎画出不等式(x－y)(x＋2y－2)>0所表示的平面区域．
【错因】 以上两种方法均犯了实线与虚线不分的错误，这一点经常被忽视，同时错解一并不是等价转化．
∵①表示直线x－y＝0的右下方，x＋2y－2＝0的右上方区域(不包括边界)，
②表示直线x－y＝0的左上方，x＋2y－2＝0的左下方区域(不包括边界)．
∴(x－y)(x＋2y－2)>0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
练考题、验能力、轻巧夺冠第3章 3.2 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为( )
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
解析： 由已知得，
解得
答案： B
2．关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪
C．(－∞，0] D．(－∞，0]∪
解析： 原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，
当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．
当m≠0时，由题意，得
m＜0.
综上，m的取值范围为(－∞，0]．
答案： C
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C. D.∪
解析： 由题意知－，－是ax2－bx－1＝0的两实根，
∴.解得.
∴x2－bx－a＜0 x2－5x＋6＜0 2＜x＜3.
答案： A
4．在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析： 因为(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a) (x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是________．
解析： 由题意知，∴0＜a＜4.
当a＝0时，A＝{x|1＜0}＝ ，符合题意．
答案： [0,4)
6．函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围为________．
解析： 由已知f(x)的定义域是R.
所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．
(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；
(2)当a≠0时，则有
0＜a＜.
由(1)(2)知，0≤a＜.
即所求a的取值范围是.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋4x－5＜0的解集为B，
(1)求A∪B；
(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b＜0的解集．
解析： (1)解不等式x2－2x－3＜0，得A＝{x|－1＜x＜3}．
解不等式x2＋4x－5＜0，得B＝{x|－5＜x＜1}．
∴A∪B＝{x|－5＜x＜3}．
(2)由x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－5＜x＜3}，
∴，解得.
∴2x2＋x－15＜0.
∴不等式的解集为.
8．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；
(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．
解析： (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%
＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．
(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．
依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，
化简得，x2＋40x－84≤0，
∴－42≤x≤2.
又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.
∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．
尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围．
解析： 由(x－b)2＞(ax)2，
得(x－b)2－(ax)2＞0，
即[(1＋a)x－b][(1－a)x－b]＞0.
若－1＜a＜0，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；若0＜a＜1，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；
若a＞1，则(x－b)2＞(ax)2，
即[(1＋a)x－b][(a－1)x＋b]＜0，
则－＜x＜.
又0＜b＜1＋a，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0，
故－3≤＜－2，则2a－2＜b≤3a－3，
即，解得1＜a＜3.(共54张PPT)
1．探索并了解基本不等式的证明过程．
2．能利用基本不等式证明简单不等式．
3．熟练掌握基本不等式及变形应用．
4．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．本课难点是利用基本不等式证明不等式．
2．利用基本不等式求最值是本课热点．
3．多以选择题、填空题形式考查，偶以解答题形式考查．
1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－b)2 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立呢？当且仅当 时，取等号．
2．把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a并非物体的实际质量．不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢？
≥
≥
a＝b
1．基本不等式
(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2 2ab，
当且仅当 时，等号成立．
(2)基本不等式
①形式：
②成立的前提条件： ；
③等号成立的条件：当且仅当 时取等号．
≥
a＝b
a>0，b>0
a＝b
2．应用基本不等式求最值
如果x，y都是正数，那么
(1)若积xy是定值P，那么当 时，和x＋y有
(2)若和x＋y是定值S，那么当 时，积xy有
算术平均数
几何平均数．
x＝y
最小值．
x＝y
最大值．
1．不等式m2＋1≥2m中等号成立的条件是( )
A．m＝1
B．m＝±1
C．m＝－1
D．m＝0
解析： m2＋1＝2m时，m＝1.故选A.
答案： A
答案： B
3．设a，b∈R，a＝3－b，则2a＋2b的最小值是________．
(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，
即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.
利用基本不等式时，应按照“一正，二定，三相等”的原则创造条件，检查条件是否具备，再利用基本不等式解之．
[题后感悟] (1)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法，如利用单调性、数形结合、换元法、判别式法等．
当且仅当x－8＝2(y－1)时，
即x＝12，y＝3时上式取等号，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
[题后感悟] 在利用基本不等式求最值时，除注意“一正、二定、三相等”的条件外，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑项是常用的解题技巧．
3．设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x(万件)与年促销费t(万元)之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销售完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
[题后感悟] 不等式应用的特点是：
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收”等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：
①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
④正确写出答案．
4．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
解析： 设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．
由题意可知，面粉的保管费及其他费用为
3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]
＝9x(x＋1)．
设平均每天所支付的总费用为y1元，
1．利用基本不等式求最值时，应注意的问题
(1)各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断．
(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值．
(3)确保等号成立．
以上三个条件缺一不可．可概括为“一正、二定、三相等”．
[特别提醒] 连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时条件是否一致．若不能同时取等号，则不能求出最值．
2．应用基本不等式的常用技巧
获得定值条件是应用基本不等式的难点和关键．常用的方法有：
3．解不等式实际应用问题的思想方法
练考题、验能力、轻巧夺冠(共32张PPT)
3.2 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法
1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式的模型．
2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系，会解一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
1.解简单的一元二次不等式是本课的热点．
2.常以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中，属低、中档题．
1．一元一次不等式：ax＞b，当a＞0时，解集是 ；当a＜0时，解集是 ；当a＝0，b＞0时，解集是 ；当a＝0，b≤0时，解集是 .
R
2．一位跳台滑雪运动员在90米级跳台滑雪比赛中想使自己的飞行距离超过68.00米，若他以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110千米/小时，那么他能否实现自己的目标呢？
1．一元二次不等式
一般地，含有 未知数，且未知数的最高次数为 的不等式，叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解法
一个
2
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的解集 两个不相等实根x1、x2 两个相等的实根x1、x2 没有实数根ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|xx2}
R
{x|x1
1．下列不等式中一元二次不等式的个数为( )
①(m＋1)x2－3x＋1＜0；②2x2－x＞2；
③－x2＋5x＋6≥0；④(x＋a)(x＋a＋1)＜0.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： ③④符合一元二次不等式的定义；对于①，当m＋1＝0时，不是一元二次不等式；而②是指数不等式．
答案： B
2．不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是( )
A．(－3,2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
解析： 不等式(x－2)(x＋3)＞0的解集是(－∞，－3)∪(2，＋∞)，故选C.
答案： C
3．设集合A＝{x|(x－1)2＜3x＋7}，则A∩Z中有______个元素．
解析： (x－1)2＜3x＋7 x2－5x－6＜0 －1＜x＜6，
∴A＝{x|－1＜x＜6}，∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}，
∴A∩Z中有6个元素．
答案： 6
4．解下列不等式：
(1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
解析： (1)x2＋2x－15＞0 (x＋5)(x－3)＞0 x＜－5或x＞3，
∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
(2)x2＞2x－1 x2－2x＋1＞0 (x－1)2＞0 x≠1，
∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}．
(3)x2＜2x－2 x2－2x＋2＜0.
∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0，
∴方程x2－2x＋2＝0无解．
∴不等式x2＜2x－2的解集是 .
求下列一元二次不等式的解集．
(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6；(4)－x2＋6x－9>0.
由题目可以获取以下主要信息：
①(1)、(2)题二次项系数为正，(3)、(4)二次项系数为负．
②(1)、(3)题对应方程的判别式大于零．(2)、(4)题对应方程的判别式等于零．
解答本题可先将二次项系数化为正，再求对应方程的根，并根据根的情况画出草图，观察图象写出解集．
(4)原不等式可化为x2－6x＋9<0，即(x－3)2<0，
∴原不等式的解集为 .
[题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．
(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)根据图象写出不等式的解集.
1.求下列不等式的解集．
(1)－2x2＋3x＋2<0；(2)－2x2＋x－6<0；
(3)4x2＋4x＋1>0；(4)x2＋25≤10x.
解关于x的不等式x2＋ax－2a2＜0.
[规范作答] 原不等式可化为(x＋2a)(x－a)＜0
对应的一元二次方程的根为x1＝a，x2＝－2a，3分
(1)当a＞0时，x1＞x2，
不等式的解集为{x|－2a＜x＜a}.6分
(2)当a＝0时，原不等式化为x2＜0，无解.8分
(3)当a＜0时，x1＜x2，
不等式的解集为{x|a＜x＜－2a}.10分
综上所述，原不等式的解集为：
a＞0时，{x|－2a＜x＜a}
a＝0时，
a＜0时，{x|a＜x＜－2a}12分
[题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：
(1)将二次项系数转化为正数；
(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．
另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．
2.解关于x的不等式(a∈R)：
(1)x2－(a＋a2)x＋a3＞0；
(2)ax2－2(a＋1)x＋4＞0.
解析： (1)原不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0可化为(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当0＜a＜1时，a＞a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，
所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，
所以原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}．
(2)(ⅰ)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋4＞0，解得x＜2，所以原不等式的解集为{x|x＜2}；
(ⅱ)当a＞0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)＞0，
解一元二次不等式解集的一般步骤
(1)化一元二次不等式为标准形式：
ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的简图；
(3)根据图象写出不等式的解集．
当一元二次不等式为ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0时，要注意解集的端点．
【错因】 解含参数的不等式，分类讨论不完整造成的错误．
练考题、验能力、轻巧夺冠第3章 3.1 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设a，b，c，d∈R且a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是( )
A．ac2＞bc2 B．a－d＞b－c
C．ad＜bd D．a2＞b2
解析： 对于A，若c＝0，则A不成立；对于B，正确．对于C，若d为正数，则C不正确；对于D，若a，b为负数，则D不正确，综上选B.
答案： B
2．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a＞0 B．a3＋b3＜0
C．a2－b2＜0 D．b＋a＞0
解析： a－|b|＞0 －a＜b＜a D正确．
对于A：由a－b＞0 b－a＜0 A错．
对于B：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－b)2＋b2]＞0 B错．
对于C：a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0 C错．
答案： D
3．已知a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2＞b2＞c2 B．a|b|＞c|b|
C．ac＞bc D．ab＞ac
解析： ∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则a＞0，c＜0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c＜0，a＞b，∴ac＜bc.∴C不成立．
答案： D
4．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
解析： ∵－<α<，
又－<－β<，且α<β，
∴－π<α－β<0，
∴－<2α－β<.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．a，b，c，d均为实数，使不等式＞＞0和ad＜bc都成立的一组值(a，b，c，d)是________(只要写出适合条件的一组值即可)．
解析： 本题答案具有开放性，不唯一．实数a，b，c，d只要同时满足题中两个条件即可，如(2,3，－1，－2)等．
答案： (2,3，－1，－2)
6．设a＜0，－1＜b＜0，则a、ab、ab2从小到大的顺序为________．
解析： 方法一：ab－ab2＝ab(1－b)＞0，
ab2－a＝a(b2－1)＞0，
∴ab＞ab2＞a.
方法二(特值法)：取a＝－1，b＝－，
易得a＝－1，ab＝，ab2＝－，
∴ab＞ab2＞a.
答案： ab＞ab2＞a
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知：a＞b＞0，d＞c＞0，求证：＞.
证明： 因为d＞c＞0，所以＞＞0.又因为a＞b＞0，
所以a·＞b·，即＞.
8．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
解析： 因为－≤α＜β≤，所以－≤＜，
－＜≤.
两式相加，得－＜＜.
因为－＜≤，所以－≤－＜，
则－≤＜.
又α＜β，所以＜0，
则－≤＜0.
尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解析： f(x)＝＝m.
f(a)＝m，f(b)＝m.
∵a>b>1，∴a－1>b－1>0，
∴1＋<1＋.
①当m>0时，m②当m＝0时，f(a)＝f(b)；
③当m<0时，m>m，即f(a)>f(b)．
综上所述，当m>0时，f(a)当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m<0时，f(a)>f(b)．第3章 3.4
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0解析： A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不正确，
∴lg x＋≥2或lg x＋≤－2；
C中，当x≥2时，min＝；
D中，当0答案： B
2．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数为( )
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；
⑤＋≥2.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： 因ab≤2＝1，所以①正确；
因(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，
所以＋≤2，故②不正确；
因a2＋b2≥＝2，所以③正确；
因a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2[(a＋b)2－3ab]＝2(4－3ab)＝8－6ab≥8－6＝2，所以④不正确；
因＋＝＝≥2，所以⑤正确．
故正确的命题为①③⑤.
答案： C
3．设a＞0，b＞0.若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析： 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1，
＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即a＝b＝时，“＝”成立，故选B.
答案： B
4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C. D.
解析： ∵2xy≤2
∴8－(x＋2y)≤2
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0
∴x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍)．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析： 由＋＝1为定值知
xy＝12··≤12()2＝3.
∴当且仅当＝时xy有最大值3.
答案： 3
6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析： a≥＝
又x＋≥2
∴≤
∴a≥
答案： a≥
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．
求证：＋＋＞a＋b＋c.
证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2a，
＋≥2＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述符号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
8．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
解析： (1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m、宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时等号成立．
由解得
故每间虎笼长为6 m、宽为4 m时，可使钢筋网总长最小．
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知a>0，b>0，ab＝a＋b＋3，求：
(1)ab的最小值；
(2)a＋b的最小值．
解析： (1)∵a>0，b>0，
∴ab＝a＋b＋3≥2＋3
∴()2－2－3≥0，
∴≥3或≤－1(舍去)，
∴ab≥9.
等号成立的条件是a＝b且ab＝9，
即a＝b＝3，故ab的最小值为9.
(2)∵a>0，b>0，ab≤2
∴ab＝a＋b＋3≤2
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0
∴a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)
当且仅当a＝b且a2－2a－3＝0
即a＝b＝3时取等号．
∴当a＝b＝3时，a＋b取得最小值6.(共53张PPT)
3．3.2 简单的线性规划问题
1．了解线性规划的意义．
2．会求一些简单的线性规划问题．
3．准确利用线性规划知识求解目标函数的最值．
4．掌握线性规划实际问题中的类型．
1．求目标函数的最值是本课的热点．
2．常以选择题、填空题的形式考查．
3．利用线性规划知识求解实际问题是本课的难点，多以解答题形式考查.
小汪是班里的班长，她计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场．经过实地考察，她算出需要大球数不少于10个，越多越好，小球数也越多越好，但是不少于20个，你能帮小汪设计一下怎样购买才合适吗？你能给出几种不同的购买方案呢？
线性规划中的基本概念
名称 意义
约束条件 变量x，y满足的一组条件
线性约束条件 由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
线性目标函数 目标函数是关于x，y的 解析式
可行解 满足线性约束条件的点
可行域 所有可行解组成的
最优解 使目标函数取得 的可行解
线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
二元一次
二元一次
平面区域
最大值或最小值
1．下列目标函数中，z表示在y轴上的截距的是( )
A．z＝x－2y
B．z＝3x－y
C．z＝x＋y
D．z＝x＋4y
答案： C
答案： B
解析： 约束条件确定的可行域如图所示(阴影部分)
答案： 5
由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数已知．
解答本题可先画出可行域，采用图解法，平行移动直线求解．
[题后感悟] 利用线性规划求最值，注意以下几点：
(1)准确画出可行域是解答此类问题的前提条件．
(2)把目标函数值与过可行域内点的一组平行直线建立对应关系．
某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为______元．
由题目可获取如下信息：甲、乙两种设备生产A，B两类产品的情况如表所示：
根据题意列出约束条件，建立目标函数求解．
产品
设备 A类产品(件)(≥50) B类产品(件)(≥140) 租赁费(元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
答案： 2 300
2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．令z＝0，作直线l：5x＋3y＝0，易知当平移直线l至经过点(3,4)时，z取得最大值为zmax＝15＋12＝27，故选D.
答案： D
要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15,18,27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
规格类型
钢板类型 A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
方法二：特值验证法
由方法一知，目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的左下侧靠近边界的地方，依次满足条件的整点A0(0,15)，A1(1,13)，A2(2,11)，A3(3,9)，A4(4,8)，A5(5,8)，A6(6,7)，A7(7,7)，A8(8,7)，A9(9,6)，A10(10,6)，…，A27(27,0)．
将这些点的坐标分别代入z＝x＋y，求出各个对应值，经验证可知，在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值.12分
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法最少要截两种钢板共12张．
[题后感悟] 许多实际问题中需要整数解，而当解方程得到的解不是整数时，常用下面的方法求整数解：
(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．
(2)检验优值法：当可行域中整点个数较少时，可将整点坐标逐一代入目标函数求值，比较后得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
3．医院用甲、乙两种药片为手术后的病人配营养餐，已知甲种药片每片含5单位的蛋白质和10单位的铁质，售价为3元；乙种药片每片含7单位的蛋白质和4单位的铁质，售价为2元．若病人每餐至少需要35单位的蛋白质和40单位的铁质，应使甲乙两种药片各几片才能既满足营养要求又使费用最省？
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
由题目可获取以下主要信息：
①可行域已知；
②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大值．
解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
[解题过程] 由约束条件画出可行域(如图)．
点C的坐标为(3,1)，z最大时，即平移y＝－ax时，使直线在y轴上的截距最大，
∴－a＜kCD，即－a＜－1，
∴a＞1.
答案： a＞1
[题后感悟] 这是一道线性规划的逆向思维问题．解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．
因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范围是[2，＋∞)．
答案： [2，＋∞)
1．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤
(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．
(2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是所需要的点．
(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．
[注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判断最优解．
2．最优解的确定
最优解的确定可有两种方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1[特别提醒] 当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．
3．应用线性规划处理实际问题时应注意的问题
(1)求解实际问题时，除严格遵循线性规划求目标函数最值的方法外，还应考虑实际意义的约束，要认真解读题意，仔细推敲并挖掘相关条件，同时还应具备批判性检验思维，以保证解决问题的准确和完美．
(2)处理实际问题时，x≥0，y≥0常被忽略，在解题中应多加注意．
(3)在求最优解时，一般采用图解法求解．
【正解】 同上述方法作出可行域，因为当直线l：5x＋4y＝t平移时，从A点起向左下方移时第一个通过可行域中的整数点是(2,1)，∴(2,1)是所求的最优解．故Smax＝5×2＋4×1＝14.
练考题、验能力、轻巧夺冠(共30张PPT)
第2课时 一元二次不等式及其解法习题课
1.掌握一元二次不等式的解法．
2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用问题．
1.一元二次不等式的应用是本课的热点．
2.多以解答题形式考查，属中低档题目．
若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
题目给出的不等式疑似一元二次不等式，需讨论a＝0和a≠0两种情况．当a≠0时，由二次函数的图象可知，要使不等式在R上恒成立，只需a＞0且Δ＜0.
1.本例中若把不等式改为：“(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0在R上恒成立”，求a的取值范围．
由题目可获取以下主要信息：
①不等式中含有参数；
②不等式解集已知．
解答本题可先判断二次项系数的符号，然后根据三个二次之间的关系求字母的取值，再进一步求解．
汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
由题目可获取以下主要信息：
①限速40 km/h；②刹车距离s甲＞12 m，s乙＞10 m；
③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定．
解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．
[规范作答] 由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，2分
即x2＋10x－1 200＞0.
解得x＞30或x＜－40(舍去).4分
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.6分
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，8分
即x2＋10x－2 000＞0.
解得x＞40或x＜－50(舍去).10分
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.12分
[题后感悟] (1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
③解不等式(或求函数最值)；
④回扣实际问题．
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？
解析： 设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.
然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．
一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系：
(1)从函数观点看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，同时也是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可，而不必利用最值转化的思路求解．
[注意] 解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．
◎若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【错因】 当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式．
练考题、验能力、轻巧夺冠第3章 3.1 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知0＜a＜1，x＝loga＋loga，y＝loga5，z＝loga－loga，则( )
A．x＞y＞z B．z＞y＞x
C．y＞x＞z D．z＞x＞y
解析： ∵x＝loga＋loga＝loga，y＝loga5＝loga，z＝loga－loga＝loga，又由0＜a＜1知，函数f(x)＝logax为减函数，∴y＞x＞z.故选C.
答案： C
2．x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．不能确定
解析： ∵x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)
＝－7＜0.∴x＜y.
答案： C
3．若m≠2且n≠－1，则M＝m2＋n2－4m＋2n的值与－5的大小关系为( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不确定
解析： ∵m≠2且n≠－1，
∴M＝(m－2)2＋(n＋1)2－5＞－5.
答案： A
4.如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )
A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2
C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1
解析： 由图可得，(其中yi(i＝1,2,3)是xi(i＝1,2,3)分流到环路上的机动车辆数)．
消去yi(i＝1,2,3)，得到xi的关系式，
即，所以.
综合可得x2＞x3＞x1，故选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b(a≠b)的不等式表示出来________．
答案： (a2＋b2)＞ab
6．比较大小：x2＋y2＋z2________2(x＋y＋z)－4.
解析： (x2＋y2＋z2)－[2(x＋y＋z)－4]
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋1＞0.
答案： ＞
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，且有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
解析： 设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆．
根据题意，应有如下的不等关系：
(1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数；
(2)车队每天至少要运360 t矿石；
(3)甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆．
用下面的关于x，y的不等式表示上述不等关系即可，
，即
8．如图，y＝f(x)反映了某公司产品的销售收入y万元与销售量x吨的函数关系，y＝g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问：
(1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)
(2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)
解析： (1)销售量大于a吨，即x＞a时，公司赢利，
即f(x)＞g(x)．
(2)当销售量小于a吨，即0≤x＜a时，公司亏损，
即f(x)＜g(x)．
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9．(10分)甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？
解析： 设两次粮食的价格分别为a元/kg与b元/kg，且a≠b.则甲采购员两次购粮的平均单价为＝元/kg，
乙采购员两次购粮的平均单价为＝元/kg.
∵－＝＝，
又a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0，
∴＞0，即＞.
所以乙采购员的购粮方式更合算．第3章 3.3 第1课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
解析： 取测试点(1,0)，排除A、C；由边界线x－2y＝0可排除B.故选D.
答案： D
2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析： 因为点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，所以有[3×(－3)－2×(－1)－a]×[3×4－2×(－6)－a]<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7答案： B
3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是( )
A. B.
C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0
解析： 在阴影部分内取测试点(－1,0)，x－y＝－1＜0，x＋y＝－1＜0，排除A、B、C；故选D.
其实x2－y2≥0 或者.
答案： D
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
解析： 不等式组所围成的区域如图所示．
∵其面积为2，∴|AC|＝4，
∴C的坐标为(1,4)，代入ax－y＋1＝0，
得a＝3.故选D.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．如果点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0和3x－4y＋5＝0之间，则b应取的整数值为________．
解析： 由题意知(6×5－8b＋1)·(3×5－4b＋5)＜0，
解得＜b＜5，
∵b为整数，∴b＝4.
答案： 4
6．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，则△ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为____________．
解析： 分别求三边的直线方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式为：
y＞0,2x－y＋4＞0,2x＋y－4＜0.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．(1)画出二元一次不等式2y－5x－10＞0表示的平面区域；
(2)画出以下不等式组表示的平面区域：
解析： (1)设F(x，y)＝2y－5x－10，
作出直线2y－5x－10＝0，
∵F(0,0)＝2×0－5×0－10＝－10＜0，
∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．
(2)如图所示．不等式①表示直线x＋y－1＝0的右上方(包括直线)的平面区域；
不等式②表示直线x－y＝0右下方(包括直线)的平面区域；
不等式③表示直线x＝2左方(包括直线)的平面区域．
所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)．
8．某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20～30个班为宜，老师实行聘任制).
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设 教师年薪
初中 45 2 26万元/班 2万元/人
高中 40 3 54万元/班 2万元/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件．
解析： 设开设初中班x个，高中班y个．根据题意，总共招生班数应限制在20～30之间，所以有20≤x＋y≤30.
考虑到所投资金的限制，得到26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即x＋2y≤40.
另外，开设的班数不能为负，则x≥0，y≥0.
把上面四个不等式合在一起，得到：
用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)．
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9．(10分)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x、y的取值范围．
(2)平面区域内有多少个整点？
解析： 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的平面区域，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：
(1)由图可得x∈，
y∈[－3,8]．
(2)由图形及不等式组可知：.
①当x＝－2时，2≤y≤3 y＝2或3，有2个整点．
②当x＝－1时，1≤y≤4 y＝1,2,3,4，有4个整点．
③同理当x＝0,1,2,3时，分别有6个、8个、10个、12个整点．
所以，所求平面区域里共有
2＋4＋…＋12＝＝42.(共46张PPT)
1．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．
2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
3．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
4．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
5．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
6．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
7．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
8．了解基本不等式的证明过程．
9．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
1．不等式的性质是证明不等式、解不等式、求函数定义域等问题必须遵循的依据，必须牢固掌握并会进行推导．
2．不等式的解法是高考必考内容，要熟练掌握简单不等式的解法，特别是一元二次不等式的解法，同时兼顾二次方程的判别式、根的存在性等知识．
3．线性规划问题是高考的热点问题．主要考查平面区域的表示，用图解法解决线性规划问题，应以课本为主，要善于把二元一次不等式组用平面区域表示出来；还要善于把其他的不等式组转化为二元不等式组，然后利用“直线定界、原点定域”，作出线性区域．掌握从实际问题中抽象出线性规划模型的方法和技巧．
4．基本不等式是每年高考的热点，但严格限制在两个以下．应用基本不等式求最值或证明不等式时应注意“一正、二定、三相等”的条件．
1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．
2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布及相关的不等式问题．
不等式恒成立，求参数的取值范围，一般有三种常用方法：
(1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x))，从而转化成f(x)求最值．
(2)如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≥f(k)(或g(x)≤f(k))，则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式．
(3)若不等式对于x，参数都是二次的，则借助二次函数在某区间上恒大于0或恒小于0，求解．
已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
解析： 方法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.
①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，
f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.
要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，
解得－3≤a＜－1；
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
方法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，
由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
设f(x)＝mx2－mx－6＋m.
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)＜0恒成立，求实数x的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围．
求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数．二是作出可行域．三是在可行域内求目标函数的最优解．特别注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中变化的规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点．
＋2y的最大值为( )
A．12 B．10
C．8 D．2
解析： 作出可行域如图所示
答案： B
若等号不能取到，则应用函数单调性来求最值，还要注意运用基本不等式解决实际问题．
已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
解析： 方法一：由已知不等式可得a<0，且α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系可得
2．数形结合的思想
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化．它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
数形结合思想在本章中的应用非常广泛，理解一元二次不等式的解集、感悟“三个二次”的关系、图解法求解线性规划问题、几何证明基本不等式等．
解析： (1)不等式组 表示的平面区域如右 图所示，其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．
设z＝4x－3y，直线4x－3y＝0经过原点(0,0)，
作一组与4x－3y＝0平行的直线l：4x－3y＝t，当l过C点时，z值最小；当l过B点时，z值最大．
∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，
zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
(2)设u＝x2＋y2，则为点(x，y)到原点(0,0)的距离，结合不等式组所表示的区域可知，点B到原点的距离最大，而当(x，y)在原点时，距离为0.
∴(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37；(x2＋y2)min＝0.
故4x－3y的最大值为14，最小值为－18；x2＋y2的最大值为37，最小值为0.
3．分类讨论的思想
解含有字母系数的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论的原因大致有以下三种：
(1)对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．
(2)对不等式(组)作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．
(3)对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．
解析： 原不等式等价于(x－a)(x－a2)＜0.
讨论：①若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2＜0，解集为 ；
②若a＝1，则a2＝1，不等式为(x－1)2＜0，解集为 ；
③若0＜a＜1，则a2＜a，
∴a2＜x＜a，故解集为{x|a2＜x＜a}；
④若a＜0或a＞1，则a2＞a，
∴a＜x＜a2，故解集为{x|a＜x＜a2}．
4．转化与化归的思想
不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)的求解．
已知函数f(x)在定义域(－∞，1]上是减函数，是否存在实数k，使得f(k－sin x)≥f(k2－sin2x)对一切x∈R恒成立？并说明理由．
1．若不等式组
答案： A
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为( )
A．(0,2) B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)
解析： 根据给出的定义得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)．故选B.
答案： B
3．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，则m＝________.
解析： 因为ax2－6x＋a2＜0的解集是(1，m)，
所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
答案： 2
解析： 如图，当直线过(6,0)时z＝x＋y有最大值6.
答案： 6
5．解关于x的不等式x2－x－a(a－1)＞0(a∈R)．
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3．1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与比较大小
1.了解不等式(组)的实际背景．
2.学会比较两个数大小的方法．
1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．
2.作差比较法是高考中常考的方法，常出现在各种题型中，属中低档题.
1．在三角形中任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边．锐角三角形的任一个内角都小于 .
2.数轴上(如图)的点A，B，C所对应的数a，b，c的大小关系是 .
3．若x－3＞0，则x与3的大小关系是x 3.
大于
小于
90°
c＜a＜b
＞
1．不等式中文字语言与数学符号之间的转换
2.作差法比较两实数大小
作差法的依据
如果 ，那么a＞b.
如果 ，那么a＜b.
如果 ，那么a＝b.
大于 小于 大于等于 小于等于 至多 至少 不少于 不多于
＞
＜
≥
≥
≥
≤
≤
≤
a－b＞0
a－b＜0
a－b＝0
1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( )
A．大于零 B．小于零
C．等于零 D．不能确定
解析： ∵b<0，a＋b>0，
∴a>－b>0，
∴a－b>0.
答案： A
答案： A
3．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系是________．用(“＞”连接)
解析： f(x)－g(x)
＝x2－2x＋2
＝(x－1)2＋1＞0
∴f(x)＞g(x)
答案： f(x)＞g(x)
4．已知a、b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
解析： a3＋b3－(a2b＋ab2)
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)
∵a＞0，b＞0且a≠b
∴(a－b)2＞0，a＋b＞0
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0
即a3＋b3＞a2b＋ab2
《铁路旅行常识》规定：
“一、随同成人旅行身高1.1～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．
……
十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……”
设身高为h(米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P(厘米)，
请用不等式表示下表中的不等关系.
文字表述 身高在1.1～1.5米之间 身高超过1.5米 身高不足1.1米 物体长、宽、高之和不超过160厘米
符号表示
由题目可获取以下主要信息：
(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高之和用P(厘米)表示；
(2)题目要求用不等式表示不等关系．
解答本题可先理解题目所提供的不等关系，再用不等式表示．
[解题过程] 身高在1.1～1.5米之间可表示为1.1≤h≤1.5.
身高超过1.5米可表示为h＞1.5，
身高不足1.1米可表示为0＜h＜1.1，
物体长、宽、高之和不超过160厘米可表示为P≤160.
答案： 1.1≤h≤1.5 h＞1.5 0＜h＜1.1 P≤160
[题后感悟] 不等式是不等关系的符号表示．在用不等式表示不等关系时应特别注意能否取等号的问题，如本题中“超过”或“不足”都不能取等号，而“不超过”则包含相等情况，应该取等号。
1.某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
已知x＜－1，比较x3＋1与－2x2－2x的大小．
由题目可获取以下主要信息：
①x<－1；
②比较x3＋1与－2x2－2x的大小．
解答本题可先作差，再因式分解进行变形．
[题后感悟] (1)比较两个实数a，b的大小，一般用作差比较法，其根据是：a≥b a－b≥0，a＜b a－b＜0，其实质是判定(a－b)的值与0的大小关系．
(2)作差法比较两个实数大小的基本步骤
2.将题目中“x<－1”改为“x∈R”，比较x3＋1与－2x2－2x的大小．
(1)比较x2－2ax与2a－2a2－3的大小(a，x∈R)．
(2)已知a，b∈R＋，比较aabb与abba的大小．
[规范作答] (1)(x2－2ax)－(2a－2a2－3)
＝(x2－2ax＋a2)＋(a2－2a＋3)
＝(x－a)2＋(a－1)2＋2.2分
∵(x－a)2≥0，(a－1)2≥0，
∴(x2－2ax)－(2a－2a2－3)＞0，
即x2－2ax＞2a－2a2－3.4分
[题后感悟] (1)作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形．变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．
(2)作商法的适用对象：
所比较的两个式子均为乘积的形式或可以转化为乘积的形式，往往可以考虑作商法．
(3)作商法的一般步骤：
①转化为乘积形式；②作商；③判断商值与1的大小关系；④结论.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
(1)作差．
(2)变形．将两个实数作差，作差后变形为：
①常数；
②几个平方和的形式；
③几个因式积的形式．
(3)定号．即判断差的符号是正、负还是零．
(4)结论．利用实数大小之间的关系得出结论．
练考题、验能力、轻巧夺冠