8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练

8.2 立体图形的直观图
一、知识梳理
1.斜二测画法的步骤：
⑴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于，且使，它们确定的平面表示_______.
⑵已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_____于轴或轴的线段。
⑶已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度_____________。
2.已知图形与直观图面积的关系：。
二、重点题型
知识点一 ：　斜二测画法的概念　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(多选题)对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
2.如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中(　　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
知识点二： 有关计算问题
3.已知正三角形ABC的边长为4，那么水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．4 B．2 C．4 D．
4．如图，某四边形的直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为(　　)
A．4　　 B．4
C．6　　 D．6
三、巩固练习
1.利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形.
以上结论正确的是( )
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
2．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示)，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　)
A．等边三角形　　　 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．三边互不相等的三角形
3．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，那么原△ABC的面积为(　　)
A．8　　　 B．8
C．16　　 D．16
4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为(　　)
A．　　 B．　　
C．5　　 D．
5．如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4，A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为(　　)
A．2 B． C．16 D．1
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C＝3，B′C＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
7．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．
8．等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
8.2 立体图形的直观图
一、知识梳理
1. ⑴(或)，水平面。⑵平行. ⑶为原来的一半.
2.
二、重点题型
1.ACD　 对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B,90°的角的直观图会变为45°或135°的角，故B错误；C，D显然正确．
2.B　 由题意，在原图形△ABC中，AB⊥BC，AD为BC边上的中线，∴最长的是AC，最短的是AB．故选B．
3.D 解法一：根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再根据斜二测画法画出其直观图，如图②所示．易知，A′B′＝AB＝4，O′C′＝OC＝，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝，所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×4×＝，故选D．
解法二：通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1，因为S△ABC＝×42＝4，所以S△A′B′C′＝S△ABC＝.故选D．
4.D　 原图形的面积是斜二测图形面积的2倍，由该四边形的斜二测图形面积为
×(2＋4)×1＝3，所以原图形面积为3×2＝6.故选D．
三、巩固练习
1.A 根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.①三角形的直观图显然是三角形，所以正确；②平行四边形的直观图是平行四边形，所以正确；③正方形中的直角，在直观图中为45°角，不是正方形，所以错误；④菱形的直观图高的长度减半，对应的直观图不是菱形，所以错误.故选A.
2.A　根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形，如图所示：由图易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A。
3.B　 △A′B′C′是斜边长为4的等腰直角三角形，则直角边的长为2，故面积为×2×2＝4.所以△ABC的面积为4×2＝8.故选B．
4.A　 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选A．
5.A 因为A′B′∥y′轴，所以在△ABO中，AB⊥OB．又△ABO的面积为16，
所以AB·OB＝16.所以AB＝8，所以A′B′＝4.又∠A′B′C′＝45°，所以A′C′的长为4sin45°＝2.
6.5　 由直观图知，由原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C＝3，BC＝2B′C＝4，计算得AB＝5，所求中线长为2.5.
7.36　 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
8. 如图：作C′H′⊥A′B′于H′，则 S梯形A′B′C′D′＝(A′B′＋C′D′)·C′H′
＝(AB＋CD)··＝×(3＋1)×＝。