8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、知识梳理
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积：多面体的表面积为____________.
2. 棱柱、棱锥、棱台的体积：
⑴，⑵，⑶.
二、重点题型
知识点一 ： 棱柱、棱锥、棱台的表面积　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为(　　)
A．48(3＋)　 B．48(3＋2) C．24(＋) D．144
2．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，则该四棱台的表面积为________．
3．如图，已知正三棱锥S?ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
知识点二 ： 棱柱、棱锥、棱台的体积
4．正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为(　　)
A． B． C． D．
5.设正六棱锥(底面为正六边形，顶点在底面的正投影为底面中心)的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为(　　)
A．6 B． C．2 D．2
6．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
三、巩固练习
1．如图，ABC?A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C?AA′B′B的体积是(　　)
A．　　　 B． C．　　　 D．
2．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于(　　)
A．1∶9 B．1∶8 C．1∶4 D．1∶3
3．正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)
A．3π B． C．π D．1
4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图1，底面处于水平状态)．将容器放倒(如图2，一个侧面处于水平状态)，这时水面所在的平面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图1中水面的高度为(　　)
A．　　 B．2　　 C．　　 D．
5．若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为8 cm3，则它的侧面面积为________．
6．(一题两空)已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是________，体积是________．
7．已知正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面正方形的边长为4 cm，高与斜高夹角为30°，则斜高为________；侧面积为________；全面积为________．
8.如图，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，则点A到平面A1BD的距离d＝________.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 答案
一、知识梳理
1.各个面的面积的和。
2. ⑴,⑵,⑶.
二、重点题型
1.A 由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．
2.80＋48 如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，
BF＝×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝＝2，所以S梯形BB1C1C＝×(8＋4)×2
＝12，故四棱台的侧面积S侧＝4×12＝48，所以四棱台的表面积S表＝48
＋4×4＋8×8＝80＋48.
3.解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，
∴·3a·h′＝a2×2.∴a＝h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.
∴32＋＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
4.D　 由题意，正三棱锥的底面周长为6，所以正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，可知侧棱长均为，三条侧棱两两垂直，所以此三棱锥的体积为××××＝.
5.B 由正六棱锥的底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又底面积S＝，
所以体积V＝Sh＝××2＝.
6.解：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．
∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 cm.在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，∴O1O＝＝12(cm)．
∴该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
三、巩固练习
1.C　 ∵VC?A′B′C′＝VABC?A′B′C′＝，∴VC?AA′B′B＝1－＝.
2.B　 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B．
3.B　 如图所示，由图可知，该几何体由两个四棱锥构成，并且这两个四棱锥体积相等．四棱锥的底面为正方形，且边长为，故底面积为()2＝2；四棱锥的高为1，故四棱锥的体积为×2×1＝.则几何体的体积为2×＝.
4.D　 设正三棱柱的底面积为S，则VABC-A1B1C1＝3S.∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点．∴＝，即SAEF＝S.∴SBCEF＝S.∴VBCFE-B1C1F1E1＝3×S＝S.则图1中水面的高度为.故选D．
5. 4 cm2 ∵该正四棱锥底面边长为2 cm，体积为8 cm3，∴该四棱锥的高为3 cm，∴侧面等腰三角形的高为＝(cm)，S侧＝4××2×＝4(cm2)．
6.　　 S表＝4××12＝，V体＝.
7.4 cm　32 cm2　48 cm2
如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成直角△POE.∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝＝4(cm)，∴S正四棱锥侧＝×4×4×4＝32(cm2)，
S正四棱锥全＝42＋32＝48(cm2)．
8.a　 在三棱锥A1?ABD中，AA1是三棱锥A1?ABD的高，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，∵V三棱锥A1?ABD＝V三棱锥A?A1BD，
∴×a2×a＝××a××a×d，∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a.