8.3.2（2）球的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册复习巩固训练

8.3.2（2）球的表面积和体积
一、知识梳理
1.球的表面积：。
2.球的体积：。
3.球内接正方体的体对角线长为球的_______,即。
二、重要题型
知识点一　：球的表面积　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为(　　)
A．2π B．3π C．4π D．6π
2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A. B. C. D.
知识点二 ： 球的体积
3．把半径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)
A．3 cm B．6 cm C．8 cm D．12 cm
4．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
5．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
6．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．
知识点三： 球的切、接问题
7．正方体的内切球与外接球的体积之比为(　)
A．1∶3 B．1∶ C．1∶3 D．1∶2
8.已知一个表面积为24的正方体，假设有一个与该正方体每条棱都相切的球，则此球的体积为(　　)
A. B．4π C. D.
9．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
三、巩固练习
1．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为(　　)
A．2∶3　　　　　　　　　 B．4∶9
C.∶ D.∶
2．已知球的表面积为16π，则它的内接正方体的表面积S的值是(　　)
A．4π B．32 C．24 D．12π
3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)
A. B．4π C．2π D.
4．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为(　　)
A．4∶3 B．3∶1　　　
C．3∶2　　　 D．9∶4
5．一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则球的表面积为________．
6．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为______．
7.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
8．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
9．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．

8.3.2（2）球的表面积和体积 答案
一、知识梳理
1. .
2. .
3.直径，。
二、重要题型
1.B　 由题意知，该几何体为半球， 表面积为大圆面积加上半个球面积，
S＝π×12＋×4×π×12＝3π.
2.A 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知，R2＝R2＋r2，
∴R2＝r2.又S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
∴所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
3.D　 由πR3＝π·63＋π·83＋π·103，得R3＝1 728，检验知R＝12.
4.3　 设此球的半径为R，则4πR2＝πR3，R＝3.
5.解：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
6.解：因为AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，所以△ABC是直角三角形，∠B＝90°.
又球心O到截面△ABC的投影O′为截面圆的圆心，也是Rt△ABC的外接圆的圆心，
所以斜边AC为截面圆O′的直径(如图所示)，
设O′C＝r，OC＝R，则球半径为R，截面圆半径为r，在Rt△O′CO中，
由题设知sin∠O′CO＝＝，所以∠O′CO＝30°，所以＝cos 30°＝，即R＝r，(*)
又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝10.所以球的表面积为S＝4πR2＝4π×(10)2
＝1 200π.球的体积为V＝πR3＝π×(10)3＝4 000π.
7.C 设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为a，外接球的半径为a，所以内切球与外接球的体积之比为＝ .
8.D 设正方体的棱长为a，则6a2＝24，解得a＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长为2，等于球的直径长，所以球的半径长是，所以此球的体积为
π×()3＝.
9.　 设球O的半径为R，∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.，∴＝＝.
三、巩固练习
1.B. 设两个球的半径分别为r，R，则∶＝r3∶R3＝8∶27，
所以r∶R＝2∶3，所以S1∶S2＝r2∶R2＝4∶9.
2.B. 设球的内接正方体的棱长为a，由题意知球的半径为2，则3a2＝16，所以a2＝，正方体的表面积S＝6a2＝6×＝32.
3.D 因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一半，所以半径
r＝ ＝1，所以V球＝×13＝.
4.C　 作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝R，
则l＝＝2R，所以 ＝＝＝.]
5.16π 根据题意可知球的直径等于正三棱柱的高，三棱柱底面正三角形三边中点组成的正三角形全等于球内大圆的内接正三角形．设正三棱柱底面边长为a，高为h，球的半径为R.由正三棱柱的体积V＝a2h＝48，得a2h＝192，又h＝2R，R＝a，所以(2R)2·2R＝192，所以R＝2，所以球的表面积为S＝4πR2＝16π.
6. 50π 球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，是长方体的一个角，扩展为长方体，两者的外接球相同，长方体的对角线长为＝5，外接球的半径为.外接球的表面积为4π＝50π.
7. 4 设球的半径为x cm，由题意得πx2×8＝πx2×6x－πx3×3，解得x＝4.
8.解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则2＋r2＝R2，即h＝2.因为S＝2πrh＝4πr·＝4π≤4π
＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号．所以当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.
9.解：在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE＝，在Rt△BEE1中，BE1＝＝2，所以球的直径2R＝2，则R＝，所以球的体积为V球＝πR3＝4π，球的表面积S球＝4πR2＝12π.
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