人教版数学七年级下册：8.3 实际问题与二元一次方程组 教案

8.3　实际问题与二元一次方程组
第1课时　利用二元一次方程组解决简单的实际问题
　01　　教学目标
1．会借助二元一次方程组解决简单的实际问题，体会二元一次方程组与现实生活的联系．
2．体会列方程组比列一元一次方程容易，培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．
02　　预习反馈
阅读教材第99至100页，完成预习内容．
1．八年级(3)班共有学生349人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少4人，则列出方程组为．
2．买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则列出方程组为．
3．小明对小亮说：“我比你大8岁．”小亮却说：“我的年龄的两倍比你大3岁．”求小明和小亮的年龄．
解：设小明的年龄为x，小亮的年龄为y.根据题意，得
解得
答：小明和小亮的年龄分别为19岁，11岁．
　03　　名校讲坛
例　(教材P99探究1)养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约需用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能否通过计算检验他的估计？
问题：(1)题中有哪些已知量？哪些未知量？
(2)题中等量关系有哪些？
(3)如何解这个应用题？
本题的等量关系是：(1)30只头大和15头小牛一天需用饲料为675 kg；(2)(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛一天需用饲料为940 kg.
【解答】　设平均每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为x kg和y kg.根据题意，得
解得
答：每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20 kg和5 kg，饲料员李大叔估计每头大牛1天需用饲料18～20千克正确，而估计每头小牛1天需用7～8千克与计算有一定的出入．
总结：列二元一次方程组解应用题有以下几个步骤：
(1)审：找出已知量、未知量和相等关系；
(2)设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
(3)列：依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；
(4)解：解方程组，得到方程组的解；
(5)验：检验求得的未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解；
(6)答：写出答案．
【跟踪训练】　(《名校课堂》8.3第1课时习题)被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342 km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36 km.求隧道累计长度与桥梁累计长度．
解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，根据题意，得
解得
答：隧道累计长度为126 km，桥梁累计长度为216 km.
　04　　巩固训练
1．某校去年有学生1 000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%.问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？设去年有寄宿学生x名，走读学生y名，则可列出的方程组为．
2．某生产车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使生产的产品正好配套？
解：设x人生产镜片，y人生产镜架．由题意，得
解得
答：20人生产镜片，40人生产镜架，才能使每天生产的产品正好配套．
05　　课堂小结
第2课时　利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
　01　　教学目标
1．让学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
2．进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力．
02　　预习反馈
阅读教材第100至101页，完成下列预习内容．
1．两个车间，按计划每月共生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间完成计划的120%，第二车间完成计划的115%，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？设两车间上个月各生产微型电机x台和y台，列方程组为．
2．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是45__cm、15__cm．
　03　　名校讲坛
例　(教材P100探究3)如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
分析：销售款＝产品数量×8 000，
原料费＝原料数量×1 000.
总运费＝公路运费＋铁路运费
【解答】　设产品重x吨，原料重y吨．根据题意，得
解得
8 000x－(1 000y＋15 000＋97 200)＝1 887 800.
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
【跟踪训练】　小林在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如下表：
购买商品A的
数量(个)
购买商品B的
数量(个)
购买总费用
(元)
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
第三次购物
9
8
1 062
　(1)小明以折扣价购买商品是第三次购物；
(2)求商品A，B的标价；
(3)若商品A，B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
解： (2)设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元．根据题意，得
解得
答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．
(3)设商店是打m折出售这两种商品，由题意，得
(9×90＋8×120)×＝1 062，解得m＝6.
答：商店是打6折出售这两种商品的．
　04　　巩固训练
1．从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路，如果骑自行车保持平路每小时行15 km，上坡路每小时行10 km，下坡路每小时行18 km，那么从甲地到乙地需29分钟，从乙地到甲地需25分钟，从甲地到乙地全程是6.5km.
2．某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅和2个小餐厅，可供1 680名学生就餐；同时开放2个大餐厅和1个小餐厅，可供2 280名学生就餐．
(1)求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？
(2)若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的5 300名学生就餐？请说明理由．
解：(1)设1个大餐厅和1个小餐厅分别可供x名，y名学生就餐，列方程组，得
解得
答：1个大餐厅和1个小餐厅分别可供960名，360名学生就餐．
(2)能．理由：因为5×960＋2×360＝5 520>5 300.
所以，若7个餐厅同时开放，可以供应全校的5 300名学生就餐．
3．某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利润500元，若制成酸奶销售，每吨可获利润1 200元，若制成奶片销售，每吨可获利润2 000元．该厂生产能力如下：每天可加工3吨酸奶或1吨奶片，受人员的限制，两种方式不能同时进行．受季节的限制，这批牛奶必须在4天内加工并销售完毕，为此该厂制定了两套方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售现牛奶．
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
(1)你认为哪种方案获利最多，为什么？
(2)本题解出之后，你还能提出哪些问题？
解：(1)方案一：生产奶片4天，共制成4吨奶片，获利2 000×4＝8 000(元)．
其余5吨直接销售，获利500×5＝2 500(元)．
∴共获利8 000＋2 500＝10 500(元)．
方案二：设生产奶片用x天，生产酸奶用y天．列方程组，得
解得
∴共获利：1.5×1×2 000＋2.5×3×1 200＝12 000(元)．
也可设x吨鲜奶制成奶片，y吨鲜奶制成酸奶．列方程组，得
解得
∴共获利：1.5×2 000＋7.5×1 200＝12 000(元)
答：第二种方案获利多．
(2)略．
05　　课堂小结
用二元一次方程组解决实际问题的步骤是怎样的？如何快速准确寻找题目中的等量关系？