2020-2021学年苏教版数学五下第三单元《因数与倍数》期中章节复习精编讲义（含解析）

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2020-2021学年苏教版数学五年级下册期中章节复习精编讲义
第三单元《因数与倍数》
知识点一：因数和倍数
1、几个非零自然数相乘，每个自然数都叫它们积的因数，积是这几个自然数的倍数。因数与倍数是相互依存绝不能孤立的存在.
2、一个数最小的因数是
1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。（找因数的方法：成对的找。）
3、一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。（找一个数倍数的方法：从自然数
1、2、3、……分别乘这个数）
4、一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。
知识点二：质数和合数
1按照一个数因数个数的多少可以把非
0
自然数分成三类
①只有自己本身一个因数的
1
②只有
1
和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。最小的质数是
2。在所有的质数中，2
是唯一的一个偶数。
③除了
1
和它本身两个因数还有别的因数的数叫作合数。（合数至少有
3
个因数）最小的合数是
4。
按照是否是
2
的倍数可以把自然数分成两类偶数和奇数。最小的偶数是
0.
2.两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因3.两个数公有的倍数，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的最小公倍数，用符号[
，]表示。两个数的公倍数也是无限的。8、两个素数的积一定是合数。举例：3×5=15，15
是合数。
4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。
举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24
是
2
的倍数。
5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（列举法、图示法、短除法
）
①倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。
举例：15
和
5，[15，5]=15，(15，5)=5
②互质关系的两个数，最大公因数是
1，最小公倍数是它们的乘积。举例：[3，7]=21，(3，7)=1
③一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。
知识点三：质因数和分解质因数
1.质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.是
2
的倍数的数叫作偶数，不是
2
的倍数的数叫作奇数。相邻偶数（奇数）相差
2。
知识点四：2
、5、3的倍数的特征
2
的倍数的特征：个位是
0、2、4、6、8。
5
的倍数的特征：个位是
0
或
5。
3
的倍数的特征：各位上数字的和一定是
3
的倍数。
知识点五：和与积的奇偶性
偶数+偶数=偶数
奇数+奇数=偶数
偶数+奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
偶数×奇数=偶数
奇数×奇数=奇数
一、精挑细选（共5题；每题2分，共10分）
1.
（2020五上·枣庄期末）是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，还是最小的三位数（???
）。
A.?100??????????????????????????????????????????B.?115??????????????????????????????????????????C.?120
2.
（2020五上·潍城期末）把36分解质因数，正确的是（???
）。
A.?36＝3×3×4?????????????????????????B.?36＝3×2×3×2×1?????????????????????????C.?36＝2×3×3×2
3.
（2020五上·龙岗期末）12个小正方形可以摆成（???
）种长方形。
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?6
4.
（2020五下·驻马店期中）下列说法中，错误的是（???
）。
A.?正方体的棱长扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的6倍
B.?整数中，是2的倍数的数叫做偶数，0也是偶数
C.?在
，
，
中，
和
都能化成有限小数
D.?正方形绕中心点至少旋转90°才能够与原图重合
5.
已知三位数“4□1”正好是三个连续自然数的和，□里的数字可能是（???
）。
A.?3???????????????????????????????????????????B.?4???????????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????????D.?6
二、判断正误（共5题；每题2分，共10分）
6.
（2020五下·微山期末）因为5.7÷1.9=3，所以5.7是1.9的3倍，也可以说5.7是1.9的倍数。（??
）
7.
（2020四下·马鞍山期末）如果b是ɑ的2倍（ɑ≠0），则ɑ、b的最大公因数是ɑ，最小公倍数是b。（???
）
8.
（2020五下·古冶期末）除了2以外，所有的质数都是奇数。（
???）
9.
（2020五下·新乡期末）甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最小公倍数是乙数。（???
）
10.
（2020五下·洛龙期中）一个三位数，各个数位上的数字都相同，这个三位数一定是3的倍数。（???
）
三、仔细想，认真填（共8题；每空1分，共15分）
11.
在1，2，15，53，57这五个数中，质数有________，既是奇数又是合数的数有________。
12.
（2020五上·岷县期末）如果a÷b=2（a、b是不等于0的自然数），那么a和b的最大公因数是________，最小公倍数是________。
13.
（2020五上·岷县期末）
的分数单位是________，它有________个这样的分数单位，再添上________个这样的分数单位，就是最小的质数。
14.
（2020五上·长春期末）把分别长12米和30米的两根铁线，截成长度相等的小段，且没有剩余，每段最长为________米。
15.
（2020五上·罗湖期末）同时是2、3和5倍数的最小三位数是________，最大三位数是________。
16.
(
1分
)
（2020五上·龙华期末）张奶奶养了一些鸡，一天产蛋不超过50个，2个2个地数剩1个，5个5个地数剩4个，3个3个地数正好数完，一天最多产________个蛋。
17.
（2020五下·许昌期末）学校鼓乐队有18名男生和45名女生。如果男、女分别排队，要使每排人数相同，每排最多排________人，这时男、女生一共要排成________排。
18.
（2019五下·单县期末）要使17□50同时是2、3、5的倍数，那么□里最大能填________，最小能填________．
四、计算能手（共1题；共9分）
19.
(
9分
)
（2020五下·五华期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。
（1）10和11
（2）18和24
（3）44和22
五、解答问题（共11题；共56分）
20.
(
5分
)
（2021五上·光明新期末）笑笑家的书房是一个长3.2米、宽2.8米的长方形，如果用边长是整分米数的正方形地砖把书房铺满，需选择边长是几分米的地砖﹐才能铺得既整齐又节约?
21.
(
5分
)
（2020五下·永年期末）桑老师买来48本笔记本和36支铅笔作“经典诵读”活动的奖品，每样都平均分给每一个获奖同学，而且都正好分完．最多有多少个同学获奖？每个同学获得多少本笔记本和多少支铅笔？
22.
(
5分
)
（2020五上·霍邱期中）下面两根小棒，要把它们截成同样长的小段，不能有剩余，每小段小棒最长是多少厘米？一共可以截成几小段？
23.
(
5分
)
各班为举办“六一”联欢会买水果,共买来苹果64千克,橘子56千克。要使每班所分苹果的质量相同,每班所分橘子的质量也相同,那么每班最多可分到苹果和橘子各多少千克?照这样分,可以分给几个班?
24.
(
5分
)
文具店里有42支铅笔，铅笔的支数是钢笔的2倍。文具店里的铅笔和钢笔一共有多少只？
25.
(
5分
)
用相同的小正方体木块搭成一个长12cm、宽8cm、高36cm的长方体，至少需要多少个小正方体?这个小正方体的棱长最大是多少厘米？
26.
(
5分
)
（2021五上·龙华期末）在“木工坊”社团有两根木棍，一根长64厘米，一根长72厘米，为制作模型，要求截成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小段？
27.
(
5分
)
（2020五下·硚口期末）车站的4路电车每隔8分钟发一趟车，5路电车每隔12分钟发一趟车。上午8时整4路电车和5路电车同时出发，再过多长时间两车又同时从车站出发？是几时几分？
28.
(
5分
)
乐乐有一些课外读物,3本3本地数剩2本,5本5本地数剩3本,7本7本地数剩2本,乐乐至少有多少本课外读物?
29.
(
5分
)
某小学五年级四班王老师带领学生参加植树活动，全班学生恰好平均分成3个小组，每组人数在10人至20人之间，王老师与每名学生植树同样多，一共植树364棵，则五年级四班有学生多少人？每人植树多少棵？
30.
(
6分
)
甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一点同时同方向跑步，那么至少经过多长时间三人又同时从出发点出发？
一、精挑细选
1.
C
解：2、3、5的最小公倍数=2×3×5=30，
所以是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，还是最小的三位数30×4=120。
故答案为：C。
思路引导：本题先计算出2、3、5的最小公倍数，再求出最小公倍数是最小三位数的倍数即可。
2.
C
解：36=2×2×3×3。
故答案为：C。
思路引导：分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。本题据此分解即可。
3.
B
因为12=1×12=2×6=3×4，所以12个小正方形可以摆成3种长方形。
故答案为：B。
思路引导：根据题意可知，先把12写成两个整数相乘的形式，然后判断可以摆成几个长方形，据此解答。
4.
A
选项A，设原来的棱长为a，则原来的体积=a×a×a=a3
，
扩大后的体积=（2a）×（2a）×（2a）=8a3
，
即体积扩大了8倍，所以错误；
选项B，偶数是能被2整除的数，即正确；
选项C，=0.666……，是无限小数，=0.6，=2.125，是有限小数，故正确；
选项D，根据旋转的定义以及正方形的特点可得正确。
故答案为：A。
思路引导：选项A，根据正方体的体积=棱长×棱长×棱长，计算出扩大后的体积以及原来的体积，再相除即可。
选项B，偶数是能够被2所整除的整数。正偶数也称双数。若某数是2的倍数，它就是偶数，可表示为2n。
选项C，有限小数是指两个数相除，如果得不到整商，除到小数的某一位时，不再有余数的一种小数。
选项D，旋转：在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
5.
B
解：由题意可知三位数“4□1”是3的倍数，所以4+4+1=9符合。
故答案为：B。
思路引导：三个连续自然数的和一定是3的倍数，各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，由此确定□里的数字即可。
二、判断正误
6.
错误
因为5.7和1.9是小数，所以这种说法错误。
故答案为：错误。
思路引导：因数和倍数：如果a×b=c（a、b、c均为整数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
7.
正确
解：b=a×2，
则a、b的最大公因数是a，最小公倍数是b。
故答案为：正确。
思路引导：根据题意可知两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数a，最小公倍数是较大的数b。
8.
正确
除了2以外，所有的质数都是奇数，此题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：此题主要考查了奇数、偶数、质数和合数的认识，能被2整除的数叫做偶数；不能被2整除的数叫做奇数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；比2大的偶数都是2的倍数，也是合数，据此判断。
9.
错误
解：甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最小公倍数是甲数。
故答案为：错误。
思路引导：一个数是另一个数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的数。
10.
正确
一个三位数，各个数位上的数字都相同，这个三位数一定是3的倍数，此题说法正确。
故答案为：正确。
思路引导：一个三位数，各个数位上的数字都相同，依据乘法的意义，这三个数的和一定是3的倍数，则这个三位数一定是3的倍数，据此判断。
三、仔细想，认真填
11.
2、53；15、57
在1，2，15，53，57这五个数中，质数有2、53；
既是奇数又是合数的数有15、57。
故答案为：2、53；15、57。
思路引导：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；
不能被2整除的数叫做奇数，据此分类。
12.
b；a
如果a÷b=2（a、b是不等于0的自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
故答案为：b；a。
思路引导：存在倍数关系的两个数，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数，据此解答。
13.
；12；2
的分数单位是
，
它有12个这样的分数单位，再添上2个这样的分数单位，就是最小的质数。
故答案为：；12；2。
思路引导：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位；分子是几，就有几个这样的分数单位；最小的质数是2，据此解答。
14.
6
解：12和30的最大公因数是6，所以每段最长为6米。
故答案为：6。
思路引导：因为题中要把两根铁丝截成长度相等的小段，且没有剩余，那么每段最长的长度是这两根铁丝长度的最大公因数。
15.
120；990
解：同时是2、3和5倍数的最小三位数是：120；
最大的三位数是：990。
故答案为：120；990。
思路引导：个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数；最小的三位数，百位上是1，十位上是2，个位上是0；最大的三位数，百位和十位都是9，个位上是0。
16.
39
解：50以内3的倍数：48、45、42、39、36、33、30、27、24、21、18、15、12、9、6、3。
50以内同时是2和5的倍数是50、40、30、20、10；
既是3的倍数又同时是2和5的倍数-1是：39、9。
所以一天最多产39个蛋。
故答案为：39。
思路引导：2的倍数特征：个位上是偶数的数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数。本题中蛋的个数是3的倍数，是5的倍数-1，是2的倍数-1，先找出50以内的3的倍数，再找出同时是2和5的倍数-1，即可得出答案。
17.
9；7
解：，
18和45的最大公因数是：3×3=9，那么每排最多排9人；
18÷9＋45÷9
=2＋5
=7（排）。
故答案为：9；7。
思路引导：要求平均每排最多排的人数，就是求18和45的最大公因数，用短除法来求；此时，男、女生一共要排的排数=男生人数÷平均每排的人数＋女生人数÷平均每排的人数。
18.
8；2
解：1+7+5+0=13，13+2=15，13+5=18，13+8=21，所以□里最大能填8，最小能填2。
故答案为：8；2。
思路引导：2和5的倍数的特征：这个数的末尾是0；3的倍数的特征：一个数的每个数位上的数加起来是3的倍数；
把这个数末位的数是0，所以只需要把除了□外剩下的数加起来，然后加上一个数，使得这些数的和是3的倍数即可。
四、计算能手
19.
（1）解：10和11是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是10×11=110
（2）解：18=2×3×3，24=2×2×2×3，最大公因数是2×3=6，最小公倍数是：2×2×2×3×3=72。
（3）解：44是22的倍数，最大公因数是22，最小公倍数是44。
思路引导：把两个数分解质因数，然后把公有的质因数相乘就是两个数的最大公因数；把两个数公有的质因数和独有的质因数相乘即可求出两个数的最小公倍数。两个数是互质数，最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；一个数是另一个数的倍数，那么较小的数就是两个数的最大公因数，较大的数就是两个数的最小公倍数。
五、解答问题
20.
解：3.2米=32分米，2.8米=28分米，
32=2×2×2×2×2，28=2×2×7，所以32和28的最大公因数是4，即选用边长是4分米的地砖。
答：需选择边长是4分米的地砖﹐才能铺得既整齐又节约。
思路引导：根据1米=10分米将书房的长和宽化成分米数，需要选用边长是几分米的地砖即是求书房长和宽的最大公因数，将32和28进行因式分解即可得出最大公因数。
21.
解：48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3，
48和36的最大公因数数2×2×3＝12，即最多12人获奖，
每人获笔记本：48÷12＝4（本）；
笔：35÷12＝3（支）；
答：最多12个同学获奖，每人获得的笔记本4本，铅笔3支。
思路引导：根据题意可得求最多有多少个同学获奖即是求48和36的最大公因数，将48和36分解质因数，找出相同部分，相乘即可得出最大公因数；接下来用笔记本的数量÷最大公因数即可得出每人获笔记本的数量；用铅笔的数量÷最大公因数即可得出每人获铅笔的支数。
22.
解：16=2×2×2×2，44=2×2×2，
所以16和44的最大公因数是2×2=4，
所以每小段木棒最长是4厘米。
16÷4+44÷4
=4+11
=15（小段）
答：每小段木棒最长是4厘米，一共可以截成15小段。
思路引导：求每小段木棒最长的厘米数，即是求16和44的最大公因数，先将16和44分解质因数，再找出公共因数，公共因数的乘积即为16和44的最大公因数（每小段木棒最长的厘米数）；一共可以截成的段数=第一根木棒的总长度÷每小段木棒最长的厘米数+第二根木棒的总长度÷每小段木棒最长的厘米数。
23.
64和56的最大公因数是8,64÷8=8(千克),56÷8=7(千克)
答:每班分到苹果8千克,橘子7千克,照这样分,可以分给8个班。
思路引导：分给的班数一定是64和56的最大公因数，因此先判断两个数的最大公因数就是分的班数，用除法计算每个班分苹果和橘子的重量即可。
24.
解：设钢笔x只。
2x=42
x=21(只)
铅笔和钢笔总数：42+21=63(只)
答：文具店里的铅笔和钢笔一共63只。
根据铅笔和钢笔倍数和因数的关系建立等量关系。
思路引导：本题利用倍数和因数的关系求出未知数的大小。
25.
解：12=2×2×3，
8=2×2×2，
36=2×2×3×3，
12、8、36的最小公倍数是：2×2=4
（12÷4）×（8÷4）×（36÷4）
=3×2×9
=54（个）
答：至少需要54个小正方体。这个小正方体的棱长最大是4厘米。
思路引导：要使小正方体的棱长最大，那么棱长最大是12、8和36的最大公因数，因此求出三个数的最大公因数就是最大的棱长。然后用长方体的长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再把三个商相乘就是至少需要小正方体的个数。
26.
解：64=2×2×2×2×2×2，72=2×2×2×3×3，
64和72的最大公因数是2×2×2=8，
每小段最长是8厘米；
64÷8+72÷8=8+9=17（段）
答：每小段最长是8厘米，一共可以截17段这样的小段。
思路引导：64和72的最大公倍数就是截的每小段最长的长度，木棍的长度÷最大公因数=截去的段数，据此解答。
27.
解：8=2×2×2，12=2×2×3，
所以8和12的最小公倍数是：2×2×2×3=24，8时+24分=8时24分。
答：再过24分钟两车又同时从车站出发，是8时24分。
思路引导：求两辆电车同时发车的两次之间的间隔时间就是两辆电车分别发车的间隔时间的最小公倍数；
第二次同时发车的时间=第一次同时发车的时间+两辆电车同时发车的两次之间的间隔时间，据此代入数值解答即可。
28.
乐乐至少有23本课外读物
解：3×7=21（本），21+2=23（本）
答：乐乐至少有23本课外读物。
思路引导：因为3本3本地数剩2本，7本7本的数也剩2本，所以本数至少是3和7的最小公倍数多2。然后根据5本5本数剩3本判断课外读物的本数即可。
29.解：364＝2×2×7×13＝7×52，52－1＝51(人)。
答：五年级四班有学生51人，每人植树7棵。
思路引导：本题考查的主要内容是因数和倍数的应用问题，根据质数和倍数的定义进行分析.
30.解：甲跑一圈需要：600÷3＝200(秒)，乙跑一圈需要：600÷4＝150(秒)，丙跑一圈需要：600÷2＝300(秒).
200=2×2×2×5×5
150=2×5×3×5
300=2×2×3×5×5
200、150、300的最小公倍数是：2×2×2×3×5×5=600
答：至少经过600秒三人又同时从出发点出发.
思路引导：先分别计算出三人跑一圈的时间，要使三人再次从出发点同时出发，经过的时间一定是三人各跑一圈所用时间的公倍数.
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