(共29张PPT)
3.1多项式的因式分解
湘教版
七年级下
教学目标
理解因式分解的概念，了解因式分解的意义。
1
3
2
知道因式分解与整式乘法的联系和区别。
会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。
4
体验类比思想在数学学习中的应用价值。
新知导入
有的时候，我们真的很怀念在小学的美好时光，不由自主地想起在那时学习的情景……
新知导入
这是我们在小学做过的题：
1.
分解质因数：
21=
.
2.
用简便方法计算：
98×0.63+98×1.37.
你是怎样解答这两道题目的？
因为21等于7乘3，所以21=
.
7×3
98×0.63+98×1.37=
98×(0.63+1.37)
=98×2
=196.
对于第1题，我们这样做：
对于第2题，把乘法分配律倒过来想：
合作探究
x?-1等于x+1乘哪个多项式？
因为
(x+1)(x-1)=x?-1，
所以
x?-1=(x+1)(x-1).
合作探究
合作探究
在等式21=3×7中，3和7都叫做21的因数。在等式x?-1=(x+1)(x-1)
中，式子x+1与x-1应该叫做什么？
合作探究
x+1与x-1也可以叫做
x?-1的因数吗？
在x?-1=(x+1)(x-1)的右边，因为是多项式x+1与x-1相乘，所以x+1与x-1分别是x?-1的因式.
合作探究
一般地，对于两个多项式f和g，如果有多项式h使得f=gh，我们把g叫做f的的一个因式。此时，h也是f的一个因式。
把x?-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解。
一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
合作探究
例题讲解
例1
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）
a2+2ab+b?
=(a+b)?；
（2）
m?+m-4=(m+3)(m-2)+2
.
解：（1）是。因为(a+b)?从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成a+b与a+b的积的形式。
（2）不是。因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式的积。
例题讲解
例2
检验下列因式分解是否正确。
（1）
x2+xy=x(x+y)；
（2）
a2-5a+6=(a-3)(a-2)；
（3）4m2-n2=(2m-n)(2m+n)
分析：
检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等。
例题讲解
解
（1）因为x(x+y)=x2+xy，所以因式分解
x2+xy=x(x+y)正确。
（2）因为(a-3)(a-2)=a2-5a+6，所以因式分解
a2-5a+6=(a-3)(a-2)正确。
（3）因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2，所以因式分解
2m2-n2=(2m-n)(2m+n)正确。
D
1.
下列从左到右的变形，不是因式分解的是（
）
A.
x2-xy=x(x-y)
B.
a2-a-20=(a-5)(a+2)
C.
m2-2mn+n2=(m-n)2
D.
(x+y)(x-y)=x2-y2
各抒己见
各抒己见
A
2.
下列因式分解正确的是
（
）
A.
a2-2ab+a=a(a-2b+1)
B.
a2-3a-2=(a-3)(a+2)
C.
m2-2mn+n2=(m+n)2
D.
4x2-y2=(4x+y)(4x-y)
为什么要把多项式因式分解？
分解质因数可以把分数约分化简。
阅读材料
因式分解可以把今后要学习的分式约分化简。
例如
是一个分式。
因式分解后，能找出分式中的公因式，从而约分化简。
阅读材料
类似于用乘法分配律的简便运算，我们可以用简便方法求出某些代数式的值。
例如已知x+y=6，xy=-7，求代入式的值。
可以这样解：x?y+xy?=xy(x+y)=6×(-7)=-42。
你觉得这个用因式分解求值的方法巧妙吗？
阅读材料
阅读材料
因式分解还是今后要学习的解一元二次方程的一种重要方法。
例如4x?-4x+1=0是一个一元二次方程，就可以用因式分解的方法求出它的解。
因此，因式分解是我们今后学习的重要基础。
巩固练习
1.
三个数4，6，14的最大公因数是
.
2
2.
36，60的最大公因数是
.
12
思路：先将每个数分解质因数，再找出这些数的公共的因数，求得的积就是最大公因数.
巩固练习
3.
下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A.
x(x-4y)=x2-4xy
B.
a2-2a-1=a(a-2)-1
C.
(a+b)(a-b)=a2-b2
D.
x2-2xy+y2=(x-y)2
D
巩固练习
D
4.
把下列多项式因式分解，正确的是
（
）
A.
a2-3a+2=(a-3)(a-2)
B.
b2-6b+8=(b-3)2
C.
m2-2mn+n2=m(m-2n)+n2
D.
4x2-8xy=4x(x-2y)
能力提升
C
5.
下列等式从左到右的变形是因式分解的有（
）
①
(x+5)(x-1)=x2+4x-5；
②
14ax-14ay=14a(x-y)
③
(m+3)(m-3)=m2-9
④
x2-10x+25y2=(x-5y)2
A.
①②
B.
①③
C.
②④
D.
③④
能力提升
D
6.
下列等式从左到右的变形是因式分解的有（
）
①
x2-y2-4=(x+y)(x-y)-4；
②
a2-2a-1=(a-1)2-3
③
(m+5n)(m-5n)=m2-25n2
④
x2-2xy+y2=(x-y)2
⑤
5x2-7x+x=x(5x-7x+1)
A.
①②④
B.
①③④
C.
①④⑤
D.
④⑤
能力提升
7.
小明在水果店买了苹果、梨、葡萄各akg，这三种水果的单价分别是x，y，z元。小明一共要花多少元？
(1)先分别算出买每种水果花多少元，再算一共要
花多少元，列成一个代数式是
。
(2)先算三种水果的单价和，再算一共要花多少元，
列成一个代数式是
。
(3)根据(1)题和(2)题写出一个关于因式分解的等式
是
。
ax+ay+az
a(x+y+z)
ax+ay+az=a(x+y+z)
课堂总结
什么叫做因式分解？
把一个多项式表示成若干个多项式的乘积，叫做把这个多项式因式分解。
课堂总结
因式分解与整式乘法有何关系？
几个多项式的积
因式分解
整式乘法
因此，可以用整式乘法检验因式分解是否正确。
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3.1
多项式的因式分解教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：1
课
题
多项式的因式分解
课型
新授课
教学目标
1.
理解因式分解的概念，了解因式分解的意义。2.
知道因式分解与整式乘法的联系和区别。3.
会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。4.
体验类比思想在数学学习中的应用价值。
教学重点
理解因式分解的概念。会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。
教学难点
1.
识别多项式的等式中的因式分解。2.
会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。
教
学
活
动
一、情景导入1、
出示文字，指名朗读：有的时候，我们真的很怀念在小学的美好时光，不由自主地想起在那时学习的情景……2、
出示小学经常做的数学题这是我们在小学做过的题：（1）
分解质因数：
21=
.（2）
用简便方法计算：
98×0.63+98×1.37.3、
展示在小学做这类题的方法师：你是怎样解答这两道题目的？生1：对于第1题，我们这样做：因为21等于7乘3，所以21=
7×3
.生2：对于第2题，把乘法分配律倒过来想：98×0.63+98×1.37=98×(0.63+1.37)=98×2=196.（设计意图：通过对小学知识的回顾，引导学生用类比的方法理解因式分解的涵义）二、教学新知（一）
理解“因式”的概念1、
x?-1等于x+1乘哪个多项式？
（1）启发学生这样想：1可以看作1?，则x?-1表示x与1的平方差，根据平方差公式x?-1等于什么乘什么？（2）学生回答：因为
(x+1)(x-1)=x?-1，所以
x?-1=(x+1)(x-1).
2、
类比因数的概念得出因式的概念（1）启发联想：在等式21=3×7中，3和7都叫做21的因数。在等式x?-1=(x+1)(x-1)
中，式子x+1与x-1应该叫做什么？（2）交流讨论：生1：x+1与x-1也可以叫做x?-1的因数吗？生2：在x?-1=(x+1)(x-1)的右边，因为是多项式x+1与x-1相乘，所以x+1与x-1分别是x?-1的因式.（3）展示概念：一般地，对于两个多项式f和g，如果有多项式h使得f=gh，我们把g叫做f的的一个因式。此时，h也是f的一个因式。（二）
教学因式分解的概念。1、
师：把x?-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解。2、
类比抽象到一般：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。（设计意图：用分解质因数，通过类比得出因式、分解因式的概念）教学例题1例1
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）
a2+2ab+b?
=(a+b)?；（2）
m?+m-4=(m+3)(m-2)+2
.1、
启发学生根据因式分解的概念进行讨论2、
教师讲解：（1）是。因为(a+b)?从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成a+b与a+b的积的形式。（2）不是。因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式的积。3、
阅读第34页“阅读材料”（四）教学例2例2
检验下列因式分解是否正确。x?+xy=x(x+y)；
（2）
a?-5a+6=(a-3)(a-2)；
（3）
4m?-n?=(2m-n)(2m+n)1、
启发学生根据用多项式的乘法计算等号右边，看是否等于左边。2、
分组讨论3、
教师讲解解
（1）因为x(x+y)=x?+xy，所以因式分解x?+xy=x(x+y)正确。（2）因为(a-3)(a-2)=a?-5a+6，所以因式分解a?-5a+6=(a-3)(a-2)正确。（3）因为(2m-n)(2m+n)=4m?-n?，所以因式分解
2m?-n?=(2m-n)(2m+n)正确。
（五）活动：各抒己见
1、
下列从左到右的变形，不是因式分解的是（
）
A.
x?-xy=x(x-y)
B.
a?-a-20=(a-5)(a+2)
C.
m?-2mn+n?=(m-n)?
D.
(x+y)(x-y)=x?-y?【答案】D2、
下列因式分解正确的是（
）A.
a?-2ab+a=a(a-2b+1)B.
a?-3a-2=(a-3)(a+2)C.
m?-2mn+n?=(m+n)2D.
4x?-y?=(4x+y)(4x-y)【答案】A(设计意图：通过活动，学生进行充分讨论交流，强化学生对概念的理解）（六）阅读材料，了解因式分解的意义1、
为将来学习分式的约分化简打下基础课件展示：类比分数的约分，进行分式的约分过程2、
类似于用乘法分配律的简便运算，我们可以用简便方法求出某些代数式的值。例如已知x+y=6，xy=-7，求代入式的值。可以这样解：x?y+xy?=xy(x+y)=6×(-7)=-42。3、
因式分解还是今后要学习的解一元二次方程的一种重要方法。课件展示：例如4x?-4x+1=0是一个一元二次方程，就可以用因式分解的方法求出它的解。因此，因式分解是我们今后学习的重要基础。
（设计意图：让学生了解因式分解的重要性，激发学生的求知欲望）三、课堂练习，固基提能（一）巩固练习1、
三个数4，6，14的最大公因数是
.【答案】2
【思路】先将每个数分解质因数，再找出这些数的公共的因数，求得的积就是最大公因数.2、
36，60的最大公因数是
.【答案】12
3、
下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）A.
x(x-4y)=x?-4xyB.
a?-2a-1=a(a-2)-1C.
(a+b)(a-b)=a?-b?D.
x?-2xy+y?=(x-y)?【答案】D4、
把下列多项式因式分解，正确的是
（
）
A.
a?-3a+2=(a-3)(a-2)
B.
b?-6b+8=(b-3)?
C.
m?-2mn+n?=m(m-2n)+n?
D.
4x?-8xy=4x(x-2y)（二）能力提升5、
下列等式从左到右的变形是因式分解的有（
）①
(x+5)(x-1)=x?+4x-5；②
14ax-14ay=14a(x-y)③
(m+3)(m-3)=m?-9④
x?-10x+25y?=(x-5y)?
A.
①②
B.
①③
C.
②④
D.
③④【答案】C6、
下列等式从左到右的变形是因式分解的有（
）
①
x?-y?-4=(x+y)(x-y)-4；
②
a?-2a-1=(a-1)?-3
③
(m+5n)(m-5n)=m?-25n?
④
x?-2xy+y?=(x-y)?
⑤
5x?-7x+x=x(5x-7x+1)
A.
①②④
B.
①③④
C.
①④⑤
D.
④⑤【答案】D7、
小明在水果店买了苹果、梨、葡萄各akg，这三种水果的单价分别是x，y，z元。小明一共要花多少元？(1)先分别算出买每种水果花多少元，再算一共要花多少元，列成一个代数式是
。(2)先算三种水果的单价和，再算一共要花多少元，列成一个代数式是
。
(3)根据(1)题和(2)题写出一个关于因式分解的等式是
。
【答案】(1)ax+ay+az
(2)a(x+y+z)
(3)ax+ay+az=a(x+y+z)
四、课堂总结：1、
什么叫做因式分解？2、
因式分解与整式乘法有何关系？3、
如何检验一个多项式的等式是否为因式分解？
板书设计
3.1多项式的因式分解1、
多项式的因式分解及因式的概念
2、
多项式的因式分解与多项式乘法的联系与区别3、
用多项式的乘法检验多项式的因式分解
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精品试卷·第
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