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第五章 相交线与平行线
5.3.1 平行线的性质(1)
5.3 平行线的性质
重庆市开县西街中学 罗堂喜
问题1:判定两条直线平行,我们学过的有哪几种最常用方法?
方法1:同位角相等,两直线平行.
方法2:内错角相等,两直线平行.
方法3:同旁内角互补,两直线平行.
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
问题2
方法4:如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行.
平行线的判定方法中
先知道什么……、 后知道什么?
c
b
a
1
3
2
4
方法5:垂直于同一直线的两直线也互相平行。
问题3:根据同位角相等可以判定两直线平行,反过来如果两直线平行,同位角之间有什么关系呢?内错角,同旁内角之间又有什么关系呢?
创设情境
c
b
a
1
3
2
4
(1)用直尺和三角尺画出两条平行线
a∥b,再画一条截线c,使之与直线
a,b相交,并标出所形成的八角.
(2)测量上面八个角的大小,记录下
来.从中你能发现什么?
探究感知
(2)度量这些角,把结果填入下表:
试试看
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
a
8
3
2
1
7
6
5
4
b
c
(3)各对同位角、内错角、同旁内角的度数之间有什么关系 写出你的猜想.
如图,直线a∥b,
(1)同位角∠1和∠5的大小有什么关系?
65°
65°
c
a
b
1
5
2
3
4
6
7
8
∠1=∠5
a∥b
探究感知
验证方法:量角器测量法
还有其他方法吗?
观察猜想:相等
1
方法二:裁剪拼接法
b
5
6
8
a
c
2
3
4
7
1
∠1=∠5
a∥b
探究感知
其他方法
平行线的性质
如图,a∥b,
(1)测量同位角∠1和∠5的大小,它们有什么关系?
c
a
b
1
5
2
3
4
6
7
8
∠1=∠5
图中还有其它同位角吗?
它们的大小有什么关系?
∠2=∠6
∠3=∠7
∠4=∠8
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单地说:“两直线平行,同位角相等”
a∥b
理性提升
推理格式
∵ a//b (已知)
∴ ∠1=∠2
(两直线平行,同位角相等)
1
2
a
b
理性提升
平行线的性质1(公理)
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。
简单说成:两直线平行,同位角相等。
1
2
3
a
b
平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等 。
简单说成:两直线平行,内错角相等。
理由:因为 a∥b,
所以 ∠1= ∠2( )
又 ∠3 = (对顶角相等),
所以∠ 2 = ∠3.
两直线平行,同位角相等
∠1
如图,已知:a// b 那么 3与 2有什么关系?
相等
理由:∵ a//b (已知)
∴ 1= 2(两直线平行,同位角相等)
∵ 1+ 4=180°(邻补角定义)
∴ 2+ 4=180°(等量代换)
如图:已知a//b,那么 2与 4有什么关系呢?
平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。
简单说成:两直线平行,同旁内角互补。
探究感知
互补
4
1
2
3
a
b
试试看
(4)再任意画一条截线d,同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗?
(5)如果直线a与b不平行,你的猜想还成立吗?由此你得到怎样的规律?请与同伴交流.
b
a
c
d
b
a
c
结论
平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等.
性质2:两直线平行,内错角相等.
性质3:两直线平行,同旁内角互补.
理性提升
推理格式
∵ a//b (已知)
∴ ∠1=∠2
(两直线平行,同位角相等)
理性提升
∵ a//b (已知)
∴ ∠3=∠4 (两直线平行,内错角相等)
∵ a//b (已知)
∴ ∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
3
1
c
2
1
b
a
4
平行线的“判定”与“性质”有什么不同
比一比
已知角之间的关系(相等或互补),得到两直线平行
的结论是平行线的判定。
已知两直线平行,得到角之间的关系(相等或互补)
的结论是平行线的性质。
例1、如图,梯子的各条横档互相平行,
∠1=100°,求∠2的度数.
A
C
B
D
2
1
3
解 ∵AB∥CD(已知)
∴∠3=∠1=100°
(两直线平行,同位角相等)
∵∠2+∠3=180°(平角的意义)
∴∠2=180°-∠3=180°-100°=80°
例题讲解
例题选讲
如图,AB∥CD,∠B=35°,
∠1=75°.求∠A的度数.
解:
因为AB∥CD,∠B=35°,
所以∠2 = ∠B=35°,
∠ACD = ∠1+ ∠2 = 35°+ 75°= 110°.
又因为AB∥CD,所以∠A+ ∠ ACD= 180°,
所以∠A= 180°- ∠ ACD= 70°.
大展身手
请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(1)如果AB∥EF,那么∠2=______.理由是_________________.
(2)如果AB∥DC,那么∠3=______.理由是_________________.
∠5
两直线平行,内错角相等
∠1
两直线平行,同位角相等
大展身手
请分别根据已知条件进行推理,得出结论,并在括号内注明理由.
(3)如果AF∥BE,那么∠1+∠2=______.理由是_________________.
(4)如果AF∥BE,∠4=120°,那么∠5=______.理由是_________________.
180°
两直线平行,同旁内角互补
120°
两直线平行,同位角相等
大展身手
如图所示,∠1=∠2,∠3=110°,求∠4.
解:
因为∠1=∠2,
所以a//b
(内错角相等,两直线平行),
所以∠3=∠4
(两直线平行,同位角相等).
又因为∠3= 110°,
所以∠4=∠3= 110°.
图形
已知
结果
结论
同位角
内错角
同旁内角
两直线平行
同旁内角互补
1
2
2
3
2
4
)
)
)
)
)
)
a
b
a
b
a
b
c
c
c
平行线的性质
a//b
两直线平行
同位角相等
a//b
两直线平行
内错角相等
a//b
小结归纳
1
如图,直线a∥b, ∠1=54°,∠2, ∠3, ∠4各是多少度
解:
∵ ∠2=∠1 (对顶角相等)
∴ ∠2=∠1 =54°
∵ a∥b(已知)
∴ ∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等)
∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠3= 180°- ∠2= 180° - 54°=126°
即 ∠2=54° ,∠3=126°, ∠4=54°。
1
2
3
4
a
b
随堂练习
1、课本P21练习1:
2、如图,已知AB∥CD,AD∥BC。判断∠1与∠2是否相等,并说明理由。
1
2
A
B
C
D
解
∠1=∠2.
理由如下:
∵AB∥CD(已知)
∴∠1+∠BAD=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∵AD∥BC(已知)
∴∠2+∠BAD=180°(同理)
∴∠1=∠2(同角的补角相等)
随堂练习
中考链接
1
C
(2010郴州)下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是( )
B
(2010中山)如图,已知∠1 = 70 ,如果CD∥BE,那么∠B的度数为( )
A.70 B.100
C.110 D.120
B
C
E
D
A
1
1 如图,AB,CD被EF所截,AB∥CD(填空).
若∠1=120°,则∠2= ( )
A
C
B
D
1
3
2
120°
两直线平行,内错角相等
∠3= -∠1= °
( )
180°
60
两直线平行,同旁内角互补
2如图,若∠1=∠2,则 ∥ ( ),
= (两直线平行,内错角相等)。
A
C
B
D
E
1
3
2
4
AB
CD
同位角相等,两直线平行
∠3
∠4
当堂测试
小结归纳
2
1、平行线的性质;
2、平行线的性质与平行线的判定的区别:
判定:角的关系 → 平行关系
性质:平行关系 → 角的关系
3、证平行,用判定;知平行,用性质。
4、涉及角度问题常结合对顶角、邻补角以及垂直定义来解决问题。
独立
作业
走进名校P
拓展探究
如图所示,AB∥CD,EF∥GH,
请找出与∠1相等的角。
A
B
C
D
1
E
F
G
H
P
Q
K
R
教材P23习题5.3第3、6题。