一．理想气体的状态方程计算
1．如图，长的粗细均匀细管开口向上竖直放置，管内有一段高为的水银柱，水银柱下密封了一定质量的理想气体，当环境温度为时，水银柱上端到管口的距离为。已知大气压强，管内气体温度与环境温度相同。
（ⅰ）当环境温度变为，求稳定后水银柱下端到管底的距离；
（ⅱ）保持环境温度不变，让细管在竖直面内绕管底缓慢转动，直到细管水平。试通过计算判断管口是否有水银溢出。
2．如图所示，横截面积分别为、的活塞和活塞用竖直轻细杆连接，并将一定质量的理想气体封闭在竖直固定的汽缸内。活塞下方悬挂一质量为的物块，系统在图示位置处于静止状态，此时上方气柱长度为，下方气柱长度为。已知外界大气压强恒为，封闭气体的热力学温度。重力加速度大小为，不计两活塞的质量与厚度，不计一切摩擦。
（1）求封闭气体的压强；
（2）现对封闭气体缓慢加热，直至活塞上升的高度为，求此时封闭气体的热力学温度。
3．如图所示，一端封闭、一端开口的玻璃管长度为，用长为的水银柱封闭一段理想气体，当玻璃管的开口竖直向下稳定时，气体的长度为。已知大气压强为，封闭气体的温度为，求：（以下计算中相关数据及结果均取整数）
①若气体的温度恒为，将玻璃管缓慢地转过，则稳定时气体的长度为多少？
②保持开口向上，使气体的温度逐渐升高，当温度为多少摄氏度时，水银柱刚好与玻璃管口平齐？
4．如图所示，高为、截面积分别为、的两个上部开口的柱形容器、，底部通过体积可以忽略不计的细管连通，、两个气缸内分别有两个不计厚度的活塞，质量分别为、。气缸内壁粗糙，活塞与气缸间的最大静摩擦力为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）；气缸内壁光滑，且离底部高处有一活塞销。当气缸内充有某种理想气体时，、中的活塞距底部均为，此时气体温度为，外界大气压为。现缓慢升高气体温度，取，求：
（1）当气缸中的活塞刚好被活塞销卡住时，气体的温度；
（2）从缓慢升高温度直到中活塞缓慢升高到气缸顶端时气体温度。
5．新冠肺炎疫情期间，某班级用于消毒的喷壶示意图如图甲所示。壶的容积为，内含的消毒液。闭合阀门，缓慢向下压压杆，每次可向瓶内储气室充入的的空气，多次下压后，壶内气体压强变为时，按下按柄，阀门打开，消毒液从喷嘴处喷出。储气室内气体可视为理想气体，充气和喷液过程中温度保持不变，。
（1）求充气过程向下压压杆的次数和打开阀门后最多可喷出液体的体积；
（2）喷液全过程，气体状态变化的等温线近似看成一段倾斜直线，如图乙所示，估算全过程壶内气体从外界吸收的热量。
6．如图，甲、乙两个容积均为的导热气缸用细管（容积可忽略）相连接，阀门位于细管中部。甲、乙两气缸底部各有一个阀门、，乙气缸中有一可自由滑动的轻质薄活塞。初始时，三阀门均打开，活塞在乙的最上端。已知大气压强为，室温为
关闭阀门，用打气简通过阀门给甲气缸充气，每次可将体积、压强为的空气全部打人甲气缸中，则打气多少次，才能使其内部压强达到？
当甲气缸内气体压强达到时，停止打气，阀门关闭，打开阀门，等活塞稳定后再缓慢加热气缸内的气体，使其温度升高到，求此时活塞上方气体的压强。
7．一定质量的理想气体，在初始状态时，体积为，压强为，温度为。该理想气体从状态经由一系列变化，最终返回到原来状态，其变化过程的图，如图所示。其中延长线过坐标原点，、点在同一竖直线上。求：
（1）该理想气体在状态时的压强；
（2）若气体在状态时的密度为，摩尔质量为，阿伏加德罗常数为，则气体单位体积内分子数为多少？
8．如图所示，内壁光滑、粗细均匀的圆环形绝热细管置于竖直平面内，细管的横截面积为，是固定在管上的绝热阀门，为可在细管内自由移动的绝热活塞，其质量为。初始时，、与圆环中心在同一水平面内，细管上、下部分分别封有一定质量的理想气体、，气体温度，压强为。现保持气体温度不变，对气体缓慢加热，活塞缓慢移动到细管最低点，此过程中活塞不漏气。取重力加速度，活塞的厚度不计，求：
（1）初始时气体的压强；
（2）活塞在细管最低点时气体的温度。
9．如图所示，竖直放置导热良好的气缸缸体质量，轻质活塞横截面积，活塞上部的气缸内封闭一定质量的理想气体，活塞的下表面与劲度系数的弹簧相连，活塞不漏气且与气缸壁无摩擦。当气缸内气体温度为时，缸内气柱长，气缸下端边缘距水平地面。已知大气压强，取，则：
①当缸内气体温度缓慢降低到多少时，气缸下端边缘刚好接触地面？
②当缸内气体温度缓慢降低到多少时，弹簧恢复原长？一．理想气体的状态方程计算
1．如图，长的粗细均匀细管开口向上竖直放置，管内有一段高为的水银柱，水银柱下密封了一定质量的理想气体，当环境温度为时，水银柱上端到管口的距离为。已知大气压强，管内气体温度与环境温度相同。
（ⅰ）当环境温度变为，求稳定后水银柱下端到管底的距离；
（ⅱ）保持环境温度不变，让细管在竖直面内绕管底缓慢转动，直到细管水平。试通过计算判断管口是否有水银溢出。
【解答】解：（ⅰ）；
设试管的横截面积为，以封闭气体为研究对象，初始状态的温度：，体积：
末状态气体的温度：，体积：
根据盖吕萨克定律得：
联立解得：；
（ⅱ）假设没有水银溢出，设试管水平放置时气柱的长度为，初始状态的压强：，体积：
末状态气体的压强：，体积：
根据玻意耳定律可得：
联立解得：；
则：，假设成立。
答：（ⅰ）当环境温度变为，稳定后水银柱下端到管底的距离是；
（ⅱ）没有水银溢出。
2．如图所示，横截面积分别为、的活塞和活塞用竖直轻细杆连接，并将一定质量的理想气体封闭在竖直固定的汽缸内。活塞下方悬挂一质量为的物块，系统在图示位置处于静止状态，此时上方气柱长度为，下方气柱长度为。已知外界大气压强恒为，封闭气体的热力学温度。重力加速度大小为，不计两活塞的质量与厚度，不计一切摩擦。
（1）求封闭气体的压强；
（2）现对封闭气体缓慢加热，直至活塞上升的高度为，求此时封闭气体的热力学温度。
【解答】解：（1）设杆对活塞的作用力为，根据物体的平衡条件，对有：
对有：
解得：。
（2）由（1）可知，与力无关，封闭气体做等压变化，由盖吕萨克定律有：
解得：。
答：（1）求封闭气体的压强为；
（2）活塞上升的高度为时，封闭气体的热力学温度为。
3．如图所示，一端封闭、一端开口的玻璃管长度为，用长为的水银柱封闭一段理想气体，当玻璃管的开口竖直向下稳定时，气体的长度为。已知大气压强为，封闭气体的温度为，求：（以下计算中相关数据及结果均取整数）
①若气体的温度恒为，将玻璃管缓慢地转过，则稳定时气体的长度为多少？
②保持开口向上，使气体的温度逐渐升高，当温度为多少摄氏度时，水银柱刚好与玻璃管口平齐？
【解答】解：①设玻璃管的横截面积为，
玻璃管开口向下时封闭气体的压强，气体体积
玻璃管开口向上时封闭气体的压强，气体体积
气体温度不变，由玻意耳定律得：
代入数据解得：
②气体初状态的温度，
设温度升高到时水银恰好不溢出，封闭气体的体积
对气体加热过程气体压强不变，对封闭气体，由盖吕萨克定律得：
代入数据解得：，则
答：①若气体的温度恒为，将玻璃管缓慢地转过，则稳定时气体的长度为；
②保持开口向上，使气体的温度逐渐升高，当温度为时，水银柱刚好与玻璃管口平齐。
4．如图所示，高为、截面积分别为、的两个上部开口的柱形容器、，底部通过体积可以忽略不计的细管连通，、两个气缸内分别有两个不计厚度的活塞，质量分别为、。气缸内壁粗糙，活塞与气缸间的最大静摩擦力为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）；气缸内壁光滑，且离底部高处有一活塞销。当气缸内充有某种理想气体时，、中的活塞距底部均为，此时气体温度为，外界大气压为。现缓慢升高气体温度，取，求：
（1）当气缸中的活塞刚好被活塞销卡住时，气体的温度；
（2）从缓慢升高温度直到中活塞缓慢升高到气缸顶端时气体温度。
【解答】解：（1）刚好被活塞销卡住时，对活塞：
解得
经分析知，上升的过程中一直未动
此过程为等压过程，由盖吕萨克定律可得
其中
由以上各式解得
（2）当活塞刚要滑动时，对活塞
解得
从最初到活塞升至顶部时，由理想气体状态方程可得
解得
答：（1）当气缸中的活塞刚好被活塞销卡住时，气体的温度为；
（2）从缓慢升高温度直到中活塞缓慢升高到气缸顶端时气体温度为。
5．新冠肺炎疫情期间，某班级用于消毒的喷壶示意图如图甲所示。壶的容积为，内含的消毒液。闭合阀门，缓慢向下压压杆，每次可向瓶内储气室充入的的空气，多次下压后，壶内气体压强变为时，按下按柄，阀门打开，消毒液从喷嘴处喷出。储气室内气体可视为理想气体，充气和喷液过程中温度保持不变，。
（1）求充气过程向下压压杆的次数和打开阀门后最多可喷出液体的体积；
（2）喷液全过程，气体状态变化的等温线近似看成一段倾斜直线，如图乙所示，估算全过程壶内气体从外界吸收的热量。
【解答】解：（1）设充气过程向下压压杆的次数为，冲入气体为，充气前气压为，壶中原来空气的体积，
充气后气体的总体积为，压强为，
由玻意尔定律
所以次
最多喷射的液体△．
（2）外界对气体做功
由热力学第一定律△
所以。
答：（1）压杆的次数为10次，最多可喷出液体的体积为；
（2）气体从外界吸收的热量为。
6．如图，甲、乙两个容积均为的导热气缸用细管（容积可忽略）相连接，阀门位于细管中部。甲、乙两气缸底部各有一个阀门、，乙气缸中有一可自由滑动的轻质薄活塞。初始时，三阀门均打开，活塞在乙的最上端。已知大气压强为，室温为
关闭阀门，用打气简通过阀门给甲气缸充气，每次可将体积、压强为的空气全部打人甲气缸中，则打气多少次，才能使其内部压强达到？
当甲气缸内气体压强达到时，停止打气，阀门关闭，打开阀门，等活塞稳定后再缓慢加热气缸内的气体，使其温度升高到，求此时活塞上方气体的压强。
【解答】解：对甲气缸内气体和打入的气体作为研究对象，初态：，
末态：，
根据玻意耳定律可得：
联立解得：次
打开后，活塞向下移动，设活塞上方气体与甲气缸中气体的总体积为，气体压强为，由玻意耳定律可得
活塞向下移动直到最下端时，
解得：
设加热后活塞上方气体的压强为
气体温度有升高到的等容过程中，由查理定律可得：
解得
答：打气20次，才能使其内部压强达到；
此时活塞上方气体的压强为。
7．一定质量的理想气体，在初始状态时，体积为，压强为，温度为。该理想气体从状态经由一系列变化，最终返回到原来状态，其变化过程的图，如图所示。其中延长线过坐标原点，、点在同一竖直线上。求：
（1）该理想气体在状态时的压强；
（2）若气体在状态时的密度为，摩尔质量为，阿伏加德罗常数为，则气体单位体积内分子数为多少？
【解答】解：（1）由图可知，从状态到状态气体温度为为等温变化过程，
状态时气体体积为，状态时气体体积为，压强为，由理想气体状态方程得：
解得：
（2）状态时的分子数
单位体积分子数
解得：
答：（1）该理想气体在状态时的压强是；
（2）该理想气体从状态经由状态回到状态的过程中，气体向外界放出的热量是；
（3）若气体在状态时的密度为，摩尔质量为，阿伏加德罗常数为，则气体单位体积内分子数为。
8．如图所示，内壁光滑、粗细均匀的圆环形绝热细管置于竖直平面内，细管的横截面积为，是固定在管上的绝热阀门，为可在细管内自由移动的绝热活塞，其质量为。初始时，、与圆环中心在同一水平面内，细管上、下部分分别封有一定质量的理想气体、，气体温度，压强为。现保持气体温度不变，对气体缓慢加热，活塞缓慢移动到细管最低点，此过程中活塞不漏气。取重力加速度，活塞的厚度不计，求：
（1）初始时气体的压强；
（2）活塞在细管最低点时气体的温度。
【解答】解：（1）初始时，以活塞为研究对象，根据平衡条件得
解得初始时气体的压强：
（2）设四分之一圆环的容积为，对气体，气体的状态参量：
初状态：，
末状态：
气体发生等温变化，由玻意耳定律得：
，
代入数据得：；
末态时，以活塞为研究对象，根据平衡条件得
解得末态时气体的压强：
对气体，气体的状态参量：
初状态：，，
末状态：，
由理想气体状态方程得：
代入数据得：
答：（1）初始时气体的压强为；
（2）活塞在细管最低点时气体的温度为。
9．如图所示，竖直放置导热良好的气缸缸体质量，轻质活塞横截面积，活塞上部的气缸内封闭一定质量的理想气体，活塞的下表面与劲度系数的弹簧相连，活塞不漏气且与气缸壁无摩擦。当气缸内气体温度为时，缸内气柱长，气缸下端边缘距水平地面。已知大气压强，取，则：
①当缸内气体温度缓慢降低到多少时，气缸下端边缘刚好接触地面？
②当缸内气体温度缓慢降低到多少时，弹簧恢复原长？
【解答】解：①气缸下端边缘恰好接触地面前，气缸内气体压强不变，
气体初状态的温度，设气体末状态温度为，
对气缸内封闭气体，由盖吕萨克定律得：
代入数据解得：
②设弹簧初状态压缩量为，设气体初状态压强为，对气缸，由平衡条件得：
，
代入数据解得：，，末态气体压强为，
对气体，由理想气体状态方程得：
代入数据解得：
答：①当缸内气体温度缓慢降低到时，气缸下端边缘刚好接触地面。
②当缸内气体温度缓慢降低到时，弹簧恢复原长。
