江苏省恒前黄高级中学2021届高三下学期4月一模适应性考试数学试题 Word版含答案

恒前黄高级中学2021届高三第二学期一模适应性考试
数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）
1．设集合false，则false
falsefalse
2．已知复数false为z的共轭复数，则false＝
false
3．马林·梅森（Marin Mersenne， 1588—1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对false作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如false（其中p是素数）的素数，称为梅森素数．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是
false
4．已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布false，估计这些考生成绩落在（552，651]的人数约为
(附：false，则false
A．3 6014 B．72 027
C． 108 041 D． 168 222
5．明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以﹖所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数"问题：“今有物不知其数﹐三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件
A.21 B.22 C.23 D.24
6．已知△ABC中，false，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中false的最大值是
A． B． 4 C． D． 23
7.已知函数false的大致图象如图所示，则false的解析式可能是

A．false B．false
C．false D．false
8. 如图，在四面体false中，false,false的重心为false，则false
3632200254635A. false B. false C. false D. false
多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9.下列命题为真命题的是
A.若a>b,则false B.若aC.若c>a>b>0,则false D.若a>b>c>0,则false
10.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面?下列说法正确的是
A.若m⊥α,n⊥α,则m//n B.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m//α
C.若α⊥β,m?α,则false D.若m?α,n?α,m//β,n//β,则α//β
11.二项展开式false,则
false false
false false
12.已知函数false,且对任意x∈R都有false则
A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在false上单调递增
false是f(x)的一个零点 false
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
已知双曲线false的渐近线与圆false相切,且双曲线的一个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为_____.
已知函数false，则x∈[-1,e]时,f(x)的最小值为_____,设false若函数g(x)有6个零点,则实数a的取值范围是_____.(本题第一空2分,第二空3分)
在△ABC中,false点D在线段AC上,且满足AD=2CD,false则sin∠CBD=_____





16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x的最大整数,例如
[1.3]=1,[-1.5]=-2,[2]=2,当false时,f(x)的值域为false,记集合false中元素的个数为false则false值为____.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （10分）
已知正项数列false的前false项和为false.若false.
（1）求证：数列false是等差数列；
（2）设false，求数列false的前false项和false.









18．（12分）
在①false，②false，③三边成等比数列这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.
问题：是否存在false，它的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false，______________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.











19．（12分）
某土特产超市为预估2021年五一期间游客购买土特产的情况，对2020年五一期间的90位游客的购买情况进行统计，得到如下人数分布表．
购买金额（元）
false
false
false
false
false
false
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成false列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关？

不少于60元
少于60元
合计
男

40

女
18


合计


90
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，若购买金额不少于60元可抽奖3次，每次中奖概率为p（每次抽奖互不影响，且p的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），中奖1次减5元，中奖2次减10元，中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望．
参考公式及数据：false，其中false.
附表：
false
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
false
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879













20．（12分）
如图所示，矩形false和梯形false所在平面互相垂直，false，false90°，false，false.

（1）求证：false平面false；
（2）当false的长为何值时，二面角false的大小为60°？

21．（12分）
已知false为抛物线false：false的焦点，点false在抛物线上，且false.直线false：false与抛物线false交于false，false两点.
（1）求抛物线false的方程；
（2）设false为坐标原点，试问：false轴上是否存在点false，使得当false变化时，总有false？若存在，求出点false的坐标；若不存在，请说明理由.



22．（12分）
已知函数false，false为false的导数.
（1）当false时，求false的最小值；
（2）当false时，false恒成立，求false的取值范围.

2021届高三第二学期一模适应性考试
数学试卷答案
1．B 2． D 3． A 4．B
5． C 6． C 7. C 8. C
9. CD
10. AB
11 ABC
12. ACD
13false
14 -4，false
false
false
17．（10分）
【解析】（1）由题意得，false，则false，
∴false，
∴false，由false可得false，
∴数列false是首项为1，公差为1的等差数列.（5分）
（2）由（1）可得false，∴false，
∴false，
∴falsefalse.（10分）
18．（12分）
【解析】选①，
∵在false中，false，∴由正弦定理得false，即false，
又false，∴false，（4分）
∴false，解得false，（8分）
∴false，false，false．（12分）
选②，
∵在false中，false，∴由正弦定理得false，即false，
∵false，即false，
∴false，（6分）
false，∴false，
∴false，false．（12分）
选③，
∵在false中，false，∴由正弦定理得false，
又false，∴false，即false，
即false，这与三边成等比数列矛盾，即问题中的三角形不存在．（12分）
19．（12分）
【解析】（1）false列联表如下：

不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
（2分）
若false的观测值false，（4分）
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关．（5分）
（2）X的可能取值为65，70，75，80，且false．（6分）
由题意知：
false，false，
false，false，（10分）
所以X的分布列为
X
65
70
75
80
false
false
false
false
false
（11分）
false.（12分）
20．（12分）
【解析】（1）因为平面false平面false，平面false平面false，false，false平面false，所以false平面false，（2分）
又false平面false，所以false．（3分）
又因为false，false，false平面false，
所以false平面false．（4分）
（2）如图所示，以点false为坐标原点，false，false和false所在直线分别为false轴、false轴和false轴建立空间直角坐标系false．（5分）

过点false作false于点false．在false中，false，false，所以false．
因为false，所以false，
所以false，所以false，所以false，
所以false，所以false．（7分）
设false，则false，false，false，false．
所以false，false.（8分）
设平面false的法向量为false，则false，即false，
令false，得平面false的一个法向量为false．（10分）
又因为false平面false，所以平面false的一个法向量为false，
所以false，解得false，
所以当false时，二面角false的大小为60°．（12分）
21．（12分）
【解析】（1）根据抛物线的定义，得false，解得false.（2分）
∴抛物线false的方程为false.（3分）
（2）在false轴上存在点false，使得当false变化时，总有false.（4分）
理由如下：
设false，false，false.
由false消去false，得false，且false恒成立.（6分）
∴false，false，false，false.（8分）
∵false时，直线false和直线false的倾斜角互补，即其斜率互为相反数，
∴false，
∴false，即false，（10分）
∴false，得false，即点false的坐标为（0，false）.
所以false轴上存在点false（0，false），使得当false变化时，总有false.（12分）
22．（12分）
【解析】（1）false，（1分）
令false，false，则false.（2分）
当false时，false，
故false时，false，false为增函数，
故false，即false的最小值为1.（4分）
（2）令false，则false，
则本题即证当false时，false恒成立.（5分）
当false时，若false，则由（1）可知，false，
所以false为增函数，故false恒成立，即false恒成立；（6分）
若false，令false，则false，
令false，则false在false上为增函数，
又false，false，故存在唯一false，使得false.
当false时，false，false为减函数；false时，false，false为增函数.
又false，false，故存在唯一false使得false.
故false时，false，false为增函数；false时，false，false为减函数.
又false，false，
所以false时，false，false为增函数，
故false，即false恒成立.（10分）
当false时，由（1）可知false在false上为增函数，
且false，false，故存在唯一false，使得false.
则当false时，false，false为减函数，
所以false，此时false，与false恒成立矛盾.
综上所述，false.（12分）