人教A版 选修2—2 精讲细练
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、知识精讲
1.复数
①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是实数，i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
【注】规定i·i=-1.
②表示方法：复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)．
【注】复数m+ni的实部、虚部一定是m,n吗?
不一定.只有当m∈R,n∈R时,m,n才分别是该复数的实部、虚部.
2.复数集
①定义：由全体复数所构成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数相等的充要条件
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定: a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d.
【注1】两复数相等即他们的实部和虚部分别相等.
【注2】对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小．
4.复数的分类
(1)对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数 0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数
(2)集合表示:
.
【注】通过关系图可以看出，复数不是虚数，复数包括实数和虚数.
二、典例细练
【题型一】：复数的概念与性质
例题1： 判断下列说法是否正确.
(1)当z∈C时,z≥0.
(2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.
(3)若a>b,则a+i>b+i.
(4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1.
【解析】:(1)错误.当且仅当z∈R时,z≥0成立.若z=i,则z=-1<0.
(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R.
(3)错误.两个虚数不能比较大小.
(4)错误.当且仅当x,y∈R时,x,y才是x+yi的实部和虚部.此时,x+yi=1+i 的充要条件才是x=y=1.
【点评】数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立，因此不能用将实数的性质平行的应用到复数中去.
变式训练1：下列命题中：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i3>b＋i2；
③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．
其中，正确命题的序号是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】 D
【解析】 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0，且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在③中，若x＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a＋i3＝a－i，b＋i2＝b－1，复数a－i与实数b－1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.
变式训练2： (2010·四川理1)i是虚数单位，计算i＋i2＋i3＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
【答案】 A
【解析】 i＋i2＋i3＝i－1－i＝－1.
变式训练3：(福建卷理科1)是虚数单位，若集合={－1,0,1}，则
A.∈ B. ∈ C. ∈ D. ∈
【解析】∵=－1∈，故选B.
【答案】B
【题型二】：复数相等的充要条件
例题2：已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.
【解析】 由复数相等的充要条件得
解得∴x＝－，y＝4.
【点评】两复数相等即他们的实部和虚部分别相等.
变式训练1：(江苏卷3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【答案】1
【解析】因为，所以,故的实部是1.
变式训练2：若x∈R，试确定a是什么实数时，
等式3x2－x－1＝(10－x－2x2)i成立．
【解析【 由复数相等的充要条件，得
由②得x＝2或x＝－，
代入①，得a＝11或a＝－.
【题型三】：复数的分类
例题3：当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
【解析】 (1)当，即m＝2时，复数z是实数；
(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；
(3)当，即m＝－3时，复数z是纯虚数．
【点评】考察复数分类的问题时，一定要紧抓复数的代数形式，主要依据是实部、虚部应满足的条件。求参数时，可据此列出方程组求解。
变式训练：已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)．实数a取什么值时，z是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
【解析】(1)当z为实数时，则有
所以所以当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有所以
即a≠±1且a≠6.
所以当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有
所以所以不存在实数a使得z为纯虚数．
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3.1.2 复数的几何意义
一、知识精讲
1．复数的几何意义
(1)复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．
【注】实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(2)复数与点、向量间的对应
复平面建立以后，复数z＝a＋bi(a、b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的，连结OZ，并把方向指向Z，得到向量，则点Z(a，b)又与向量一一对应，因此我们可以根据需要把复数写成点的形式或向量的形式，向量与点Z都是复数z＝a＋bi的几何表示．
复数z＝a＋bi与点Z(a，b)及向量是一一对应关系．
【注】复平面内一个向量的终点对应的复数不一定是该向量对应的复数；只有向量的起点在原点时，其终点对应的复数才是该向量对应的复数，否则，二者不相同．
2．复数的模
如图，向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|。如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝_(r≥0，且r∈R)．
【注】从数的角度理解,可类比绝对值是表示这个数的点到原点的距离. 从形的角度理解,是该复数对应向量的模,也是向量起点与终点间的距离.
二、典例细练
【题型一】：复数的几何意义
例题1：在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．
【解析】解法一：由已知A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则AC的中点E(2，)，
由平行四边形的性质知E也是BD的中点，
设D(x，y)，则，∴.
即D(3,3)，∴D点对应复数为3＋3i.
解法二：由已知：＝(0,1)，＝(1,0)，＝(4,2)．
∴＝(－1,1)，＝(3,2)，∴＝＋＝(2,3)，
∴＝＋＝(3,3)，即点D对应复数为3＋3i.
【点评】①复数与复平面内点的对应:复数的实、虚部是该点的模、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题.②复数与复平面内向量的对应:复数的实、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.
变式训练1：若例题1条件不变，求由A、B、C、D点构成的平行四边形的D点对应的复数．
【解析】：由以上解答可知，若以AC的中点为平行四边形的中心，则D点对应复数为3＋3i，
若以AB的中点M(，)为平行四边形中心，
设D点(x1，y1)，
则，解得，
∴D(－3，－1)，对应复数为－3－i.
若以BC中点N(，1)为平行四边形中心，
设D点(x2，y2)
则，解得.
D(5,1)，对应复数为5＋i.
综上可得，D点对应的复数为3＋3i或－3－i或5＋i.
变式训练2：如果复数a＋bi(a，b∈R)在复平面内的对应点在第二象限，则( )
A．a>0，b<0 B．a>0，b>0
C．a<0，b<0 D．a<0，b>0
【答案】 D
变式训练3： (2010·北京文，2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
【解析】 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝＝2，y＝＝4，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.
【题型二】：复数的模
例题2：求复数z1＝3＋4i，z2＝－－i的模，并比较模长的大小．
【解析】|z1|＝＝5，|z2|＝ ＝.
∵5>，∴|z1|>|z2|.
【点评】复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离，复数的模可以比较大小．
变式训练：已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝sinθ＋icosθ，当θ为何值时
(1)z1，z2对应点关于x轴对称；(2)|z2|<.
【解析】(1)z1与z2对应点关于x轴对称
???θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(2)|z2|【题型三】：复数模的意义及应用
例题3：设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2；(2)|z|≤3.
【解析】法一：(1)复数z的模等于2，这表明向量的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件|z|＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．
(2)满足条件|z|≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．
法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
(1)|z|＝2，∴x＋y＝4，
∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．
(2)|z|≤3，∴x＋y≤9.
∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．
变式训练：已知复数z1＝－i及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
【解析】 (1)||＝|＋i|＝＝2
||＝＝1.∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．
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3.2 复数代数形式的四则运算
一、知识精讲
1．复数的加法与减法
(1)复数的加、减法法则
(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
【注】两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1
，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
2．复数加、减法的几何意义
(1)复数加法的几何意义
若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是以，为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
(2)复数减法的几何意义
复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向被减向量的终点所对应的复数．
【注】||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
3.复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac－bd＋(ad＋bc)i
（2）复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
（3）共轭复数
如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数．z的共轭复数用表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.
【注1】实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实数的一个法则.
【注2】共轭复数的几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称；
共轭复数的代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数.
【注3】两个共轭复数的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的模的平方,
即z·=|z|2=||2,通常也写成|z|=||=.
4.复数的除法
（1）复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i(c＋di≠0)
（2）解复数的除法问题时也可以将分子、分母同乘以分母的共轭复数，这样就可以将分母实数化，进而转化为复数的乘法进行求解．
二、典例细练
【题型一】：复数加减混合运算
例题1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a、b∈R)．
【解析】(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
【点评】两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．
变式训练1：已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝( )
A．－3i B．3i C．±3i D．4i
【解析]】 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9 ①
又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数∴ ②
由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故应选B.
变式训练2：已知z1，z2∈C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】 C
【解析】 设z1＝a＋bi(a，b∈R，a2＋b2＝1)z2＝c＋di(c，d∈R)
∵z1＋z2＝2i∴(a＋c)＋(b＋d)i＝2i
∴∴，
∴|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝＝2
＝2＝2.
∵a2＋b2＝1，∴－1≤b≤1∴0≤2－2b≤4，∴|z1－z2|≤4.
【题型二】：复数加减几何意义
例题2：复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．
【答案】 4－2i
【解析】 ∵对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，
∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
【点评】要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点，或者利用相等向量．
变式训练：复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．
【解析】 ∵对应的复数是1＋2i，对应的复数为3－i，
∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，∴C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
【题型三】：复数乘除混合运算
例题3：计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)()6＋.
【解析】(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；
(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i；
(3)法一：原式＝[]6＋
＝i6＋＝－1＋i.
法二：(技巧解法)
原式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.
【点评】复数的乘除运算是高考中的一个重要考点，乘法的运算按照乘法法则进行，除法的运算一般通过分子、分母同时乘以分母的共轭复数，将分母实数华，进而转化为乘法的运算进行。
变式训练1： (上海卷理科19)已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求。
【解析】：
设，则分）
∵ ，∴
变式训练2：(安徽卷江苏3)设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
【答案】1
【解析】因为，所以,故的实部是1.
变式训练3：(重庆卷理科1)复数
（A） (B)
(C) (D)
【解析】：选B. 。
变式训练4：(安徽卷理科1) (1) 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 （A）2 (B) 2 (C) (D)
【解析】==，∵为纯虚数，∴，
∴=2，故选A.
【题型四】：共轭复数
例题4：(全国新课标卷理科1)复数的共轭复数是（ ）
A B C D;
【解析】：C，因为=，所以，共轭复数为，选C
【点评】本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
变式训练：(全国卷理科1)复数，为的共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】选B..
【题型五】：i的运算性质及应用
例题5：计算：i＋i＋i＋…＋i.
【解析】法一：原式＝＝＝＝＝－1＋i.
法二：∵i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，∴i＋i＋i＋i＝0 (n∈N)，
∴原式＝i＋i2＋(i3＋i4＋i5＋i6)＋(i7＋i8＋i9＋i10)＋…＋(i2007＋i2008＋i2009＋i2010)＝i－1＋0＝－1＋i.
【点评】虚数单位i的周期性：
(1)i＝i，i＝－1，i＝－i，i＝1(n∈N)．
(2) i＋i＋i＋i＝0 (n∈N)．n也可以推广到整数集．
变式训练：(2011年高考湖北卷理科1)i为虚数单位，则=
A.－i B.－1 C.i D.1
【答案】：A
【解析】：因为,故所以选A.
