北师大版数学八年级下册第五章分式与分式方程专题练习（word版附答案）

专题1　分式的运算及化简求值
类型1　分式的运算
1．计算：
(1）(x＋1）÷(1＋）； (2）－÷；
(3）÷(1－）； (4）(－）3·(－）2÷(－）4；
(5）÷(x＋）； (6）(m＋2＋）·；
(7）(－a－1）÷； (8）1－(＋）÷.
类型2　分式的化简求值
2．先化简，再求值：(1－）÷，其中a＝＋1.
3．先化简，再求值：(－）÷，其中x＝＋1，y＝－1.
4. 已知y＝，且x≠y，求(＋）÷的值．
5．先化简：(－）÷，然后选择一个合适的x值代入求值．
6．化简求值：(－）÷，其中a2－a－1＝0.
7．先化简，再求值：÷－，其中a，b满足(a－2）2＋＝0.
8．先化简，再求值：·(＋1），其中x是不等式组的整数解．
专题2　解分式方程
1．解下列分式方程：
（1）（2020·镇江）＝＋1； （2）＝－3；
（3）（2020·郴州）＝＋1； （4）＝＋1；
（5）－＝1； （6）－1＝；
（7）－＝.
2．解分式方程：－＝－.
专题3　由分式方程根的情况确定字母的取值范围
　　　　　　　　　　　　　　　　
类型1　由特殊解确定字母的取值范围
　
由特殊解确定字母的取值范围的一般步骤如下：
（1）求出分式方程的根（用含有字母的式子表示）；
（2）由分式方程的根为特殊解列出关于字母的不等式，并求出解集；
（3）由分式方程的解必须使分母不为0，列出关于字母的不等式，并求出解集；
（4）求（2）（3）中两个解集的公共部分即可．
1．关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1
C．a＜1且a≠－2 D．a＞1且a≠2
2．（2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围为（ ）
A．m＜－10
B．m≤－10
C．m≥－10且m≠－6
D．m＞－10且m≠－6
3．（2020·黑龙江）已知关于x的分式方程－4＝的解为非正数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤－12 B．k≥－12
C．k＞－12 D．k＜－12
4．（2020·泸州）已知关于x的分式方程＋2＝－的解为非负数，则正整数m的所有个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为 ．
【易错提示】　求得的未知数不仅要满足所给出的范围，还要使分式的分母不为零，两个条件必须同时具备，缺一不可．
类型2　与不等式组的解集结合确定字母的取值
与不等式组的解集结合，确定字母的取值的一般步骤如下：
（1）由分式方程的根为特殊解确定字母的取值范围（方法同类型1）；
（2）由不等式组的解集确定字母的取值范围；
（3）取（1）（2）中两个解集的公共部分即可．
6．（2020·重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＋＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．7 B．－14
C．28 D．－56
7．（2020·云南）若整数a使关于x的不等式组有且只有45个整数解，且使关于y的方程＋＝1的解为非正数，则a的值为（ ）
A．－61或－58 B．－61或－59
C．－60或－59 D．－61或－60或－59
8．（2020·内江）若数a使关于x的分式方程＋＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为 ．
类型3　由无解确定字母的取值
　
分式方程无解可能有两种情况：（1）去分母后化成的整式方程有解，但这个解使原方程的最简公分母为0，即是方程的增根；（2）去分母后化成的整式方程无解，即ax＝b中，a＝0且b≠0.
9．若关于x的方程＝2＋无解，则m的值为（ ）
A．－5 B．－8
C．－2 D．5
10．（2020·潍坊）若关于x的分式方程＝＋1有增根，则m＝ ．
11．【分类讨论思想】若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是 ．
专题4　分式方程的应用
类型1　工程问题
1．（2020·威海）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．
2．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
3．（2020·益阳）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14 500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
4．一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
类型2　行程问题
5．（2020·泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度．
6．甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
类型3　购买与销售问题
7．（2019·泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3 000元购进A，B两种粽子1 100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A，B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7 000元的资金再次购进A，B两种粽子共2 600个，已知A，B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
8．（2020·黔西南）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1 500元和18 00元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
参考答案：
专题1　分式的运算及化简求值
　　类型1　分式的运算
1．计算：
(1）(x＋1）÷(1＋）；
解：原式＝(x＋1）÷
＝(x＋1）·
＝x.
(2）－÷；
解：原式＝－·
＝－
＝.
(3）÷(1－）；
解：原式＝÷
＝·
＝2.
(4）(－）3·(－）2÷(－）4；
解：原式＝－·÷
＝－a2b3c·
＝－.
(5）÷(x＋）；
解：原式＝÷(＋）
＝÷
＝·
＝.
(6）(m＋2＋）·；
解：原式＝·
＝·
＝m＋1.
(7）(－a－1）÷；
解：原式＝(－）÷
＝·
＝.
(8）1－(＋）÷.
解：原式＝1－·
＝1－
＝
＝.
类型2　分式的化简求值
2．先化简，再求值：(1－）÷，其中a＝＋1.
解：原式＝·
＝a－1.
当a＝＋1时，原式＝＋1－1＝.
3．先化简，再求值：(－）÷，其中x＝＋1，y＝－1.
解：原式＝[－]÷
＝·
＝.
当x＝＋1，y＝－1时，原式＝＝2－.
4. 已知y＝，且x≠y，求(＋）÷的值．
解：原式＝÷
＝·
＝.
∵y＝，∴xy＝2.
∴原式＝＝1.
5．先化简：(－）÷，然后选择一个合适的x值代入求值．
解：原式＝[－]·
＝·
＝.
要使分式有意义，则x(x－2）≠0，4－x≠0，
∴x≠0，2，4.
当x＝1时，原工＝＝－1.(答案不唯一，x不取0，2，4即可）
6．化简求值：(－）÷，其中a2－a－1＝0.
解：原式＝·
＝·
＝.
∵a2－a－1＝0.∴a2＝a＋1.
∴原式＝＝1.
7．先化简，再求值：÷－，其中a，b满足(a－2）2＋＝0.
解：原式＝·－
＝－
＝－.
∵a，b满足(a－2）2＋＝0，
∴a－2＝0，b＋1＝0.
∴a＝2，b＝－1.
∴原式＝－＝－1.
8．先化简，再求值：·(＋1），其中x是不等式组的整数解．
解：原式＝·
＝
＝.
解不等式组得－1≤x＜1.
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝－1，0.
∵当x＝－1时，原分式无意义，
∴x＝0.
当x＝0时，原式＝＝－.
专题2　解分式方程
1．解下列分式方程：
（1）（2020·镇江）＝＋1；
解：去分母，得2x＝1＋x＋3，
解得x＝4.
检验：当x＝4时，x＋3≠0.
所以原方程的解是x＝4.
（2）＝－3；
解：方程两边同乘（x－2），得1＝x－1－3x＋6.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．
（3）（2020·郴州）＝＋1；
解：方程两边都乘（x－1）（x＋1），得
x（x＋1）＝4＋（x－1）（x＋1），
解得x＝3.
检验：当x＝3时，（x－1）（x＋1）＝8≠0.
故x＝3是原方程的解．
（4）＝＋1；
解：去分母，得3x＝2x＋3x＋3.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，3（x＋1）≠0，
所以x＝－为原方程的解．
（5）－＝1；
解：去分母，得（x＋3）2－4（x－3）＝（x－3）（x＋3）．
解得x＝－15.
检验：当x＝－15时，（x－3）（x＋3）≠0，
所以原分式方程的解为x＝－15.
（6）－1＝；
解：去分母，得x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3.
去括号，得x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，（x－1）（x＋2）＝0，
所以x＝1是原方程的增根，原方程无解．
（7）－＝.
解：方程两边同乘x（x－2），得
（x－2）（2x＋2）－x（x＋2）＝x2－2.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，x（x－2）≠0，
所以x＝－是原方程的解．
2．解分式方程：－＝－.
解：两边通分，得
＝，
＝，
去分母，整理，得6x＝36，
解得x＝6.
检验：当x＝6时，（x－4）（x－5）（x－7）（x－8）≠0，
所以x＝6是原分式方程的解．
专题3　由分式方程根的情况确定字母的取值范围
　　　　　　　　　　　　　　　　
1．关于x的分式方程＝1的解为负数，则a的取值范围是（D）
A．a＞1 B．a＜1
C．a＜1且a≠－2 D．a＞1且a≠2
2．（2020·齐齐哈尔）若关于x的分式方程＝＋5的解为正数，则m的取值范围为（D）
A．m＜－10
B．m≤－10
C．m≥－10且m≠－6
D．m＞－10且m≠－6
3．（2020·黑龙江）已知关于x的分式方程－4＝的解为非正数，则k的取值范围是（A）
A．k≤－12 B．k≥－12
C．k＞－12 D．k＜－12
4．（2020·泸州）已知关于x的分式方程＋2＝－的解为非负数，则正整数m的所有个数为（B）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知关于x的分式方程－2＝有一个正数解，则k的取值范围为k＜6且k≠3．
6．（2020·重庆A卷）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＋＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（A）
A．7 B．－14
C．28 D．－56
7．（2020·云南）若整数a使关于x的不等式组有且只有45个整数解，且使关于y的方程＋＝1的解为非正数，则a的值为（B）
A．－61或－58 B．－61或－59
C．－60或－59 D．－61或－60或－59
8．（2020·内江）若数a使关于x的分式方程＋＝3的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为40．
9．若关于x的方程＝2＋无解，则m的值为（A）
A．－5 B．－8
C．－2 D．5
10．（2020·潍坊）若关于x的分式方程＝＋1有增根，则m＝3．
11．【分类讨论思想】若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是1或2．
专题4　分式方程的应用
1．（2020·威海）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．
解：设计划平均每天修建步行道的长度为x m，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m，依题意，得
－＝5，
解得x＝80.
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：计划平均每天修建步行道的长度为80 m.
2．某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
解：设升级前每小时生产x个零件，则升级后每小时生产（1＋）x个零件．根据题意，得
－＝＋.
解得x＝60.
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．
∴（1＋）x＝80.
答：软件升级后每小时生产80个零件．
3．（2020·益阳）新冠肺炎疫情暴发后，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医用防护服生产车间仍有7人不能到厂生产．为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每小时完成的工作量不变．原来每天能生产防护服800套，现在每天能生产防护服650套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．公司决定将复工后生产的防护服14 500套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？
解：（1）设原来生产防护服的工人有x人，由题意，得
＝，
解得x＝20.
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
答：原来生产防护服的工人有20人．
（2）每人每小时生产＝5（套）防护服．
设还需要生产y天才能完成任务．由题意，得
10×650＋20×5×10y≥14 500，
解得y≥8.
答：至少还需要生产8天才能完成任务．
4．一项工程，甲、乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．
（1）甲、乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得
＋＝，解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意．
则1.5x＝30.
答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司需30天．
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y－1 500）元，根据题意，得
12（y＋y－1 500）＝102 000，解得y＝5 000.
甲公司单独完成此项工程所需的施工费为
20×5 000＝100 000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费为
30×（5 000－1 500）＝105 000（元）．
∵100 000＜105 000，
∴甲公司的施工费较少．
类型2　行程问题
5．（2020·泰州）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度．
解：设走路线A的平均速度为x km/h，则走路线B的平均速度为（1＋50%）x km/h，
依题意，得
－＝，
解得x＝50.
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
∴（1＋50%）x＝75.
答：走路线B的平均速度为75 km/h.
6．甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行的速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意，得
＋＝－2，
解得x＝300.
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意．
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．
（2）300×2＝600（米）．
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
类型3　购买与销售问题
7．（2019·泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3 000元购进A，B两种粽子1 100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A，B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7 000元的资金再次购进A，B两种粽子共2 600个，已知A，B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得
＋＝1 100，
解得x＝2.5.
经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝3.
答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2 600－m）个，依题意，得
3m＋2.5（2 600－m）≤7 000，
解得m≤1 000.
答：A种粽子最多能购进1 000个．
8．（2020·黔西南）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1 500元和18 00元，计划B型车销售价格为2 400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x－200）元，由题意，得
＝，
解得x＝2 000.
经检验，x＝2 000是原方程的根，且符合题意．
答：去年A型车每辆售价为2 000元．
（2）设今年新进A型车a辆，则新进B型车（60－a）辆，获利y元，由题意，得
y＝（2 000－200－1 500）a＋（2 400－1 800）（60－a）
＝－300a＋36 000.
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60－a≤2a.
∴a≥20.
∵y＝－300a＋36 000.
∴k＝－300＜0.
∴y随a的增大而减小．
∴a＝20时，y有最大值．
∴B型车的数量为60－20＝40（辆）．
答：当新进A型车20辆，B型车40辆时，能使这批自行车获利最多．