第3章 图形的平移与旋转（原版+解析版）

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2020-2021学年北师大版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第3章图形的平移与旋转
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·湖北九年级期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，由图形到图形的平移变换中，下列描述正确的是（
）
A．向下平移1个单位，向右平移5个单位
B．向上平移1个单位，向左平移5个单位
C．向下平移1个单位，向右平移4个单位
D．向上平移1个单位，向左平移4个单位
3．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，，关于OM的对称图形是，关于ON的对称图形是，则与的关系是（
）
A．平移关系
B．关于O点成中心对称
C．关于的平分线成轴对称
D．关于直线ON成轴对称
4．（2020·江苏八年级期中）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2020·山东鲁村中学八年级月考）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·内蒙古九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
7．（2021·河北邢台三中八年级期末）如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转
度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为（
）
A．27
B．9
C．
D．
8．（2021·四川九年级月考）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（
）
?
A．(，-1)
B．(1，-)
C．(2，-2)
D．(2，-2)
9．（2021·河北邢台三中八年级期末）如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；
（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，与交于点，连接、．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（
）
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
10．（2020·重庆九年级期末）如图，点是的边的中点，且与关于直线对称，若，，则点到线段的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·湖北九年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在格点上，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为__________．
12．（2021·浙江八年级期末）以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为_____．
13．（2021·山东八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________．
14．（2021·浙江七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
.
15．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，经过平移后得到，下列说法：
1
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面枳相等，其中正确的有
个
16．（2021·山东九年级期末）如图，正方形中，为边上一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则线段的长度是_________．
17．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学八年级月考）如图，在钝角中，，点M是内一动点，则点M到的三个顶点的距离之和的最小值是_____．
18．（2020·台州市路桥实验中学九年级月考）如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是
。
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·浙江八年级月考）图①、图②都是的正方形网格，每个小方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点都在格点上，按要求完成下列画图．
（1）请在图①中找到格点D，使四边形只是中心对称图形，并画出这个四边形；
（2）请在图②中找到格点E，使以为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，并画出这个四边形．
20．（2020·浙江七年级）如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）画出先将向右平移6格．再向上平移3格后的（点A平移到点D．点B平移到点E）．（2）连接，那么与的关系是__________，线段所组成的封闭图形的面积为__________．
21．（2021·全国九年级）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；（2）判断△BDE的形状．
22．（2021·兰州市第二十中学九年级期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．
23．（2021·湖北九年级期末）矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，AD交CB?于点E.（1）如图1，当∠BCE=60°，△CDD?的形状是
；
（2）如图2，当AE=CE时，求阴影部分的面积.
24．（2020·浙江七年级期末）一块三角尺ABC如图放置，顶点B在直线MN上，，BP是的三等分线，．
（1）如图①，三角尺ABC在直线MN的上方，若，则___________度；
（2）将三角尺ABC绕点B旋转到直线MN的下方，如图②，若，求的度数；
（3）将三角尺ABC绕点B旋转一周，探究旋转过程中与的数量关系．（请直接写出结论）
25．（2021·天津九年级期末）如图1，在中，已知，，点D，E分别在边，上，且，此时显然，成立．若保持不动，将绕点C逆时针旋转，旋转角为．
（1）如图2，当时，问：，是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）如图3，当时，延长交于点F，若，，则线段______（直接写出结果即可）
2020-2021学年北师大版八年级下册数学
单元测评培优卷（原版+解析版）
第3章图形的平移与旋转
(测试时间：120分钟，满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·湖北九年级期中）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图所示，由图形到图形的平移变换中，下列描述正确的是（
）
A．向下平移1个单位，向右平移5个单位
B．向上平移1个单位，向左平移5个单位
C．向下平移1个单位，向右平移4个单位
D．向上平移1个单位，向左平移4个单位
【答案】D
【分析】根据图形中两个三角形顶点的平移变换即可得．
【详解】由图形中两个三角形顶点的平移变换可知：向上平移1个单位，向左平移4个单位，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，熟练掌握平移的概念是解题关键．
3．（2020·广州白云广雅实验学校九年级月考）如图，，关于OM的对称图形是，关于ON的对称图形是，则与的关系是（
）
A．平移关系
B．关于O点成中心对称
C．关于的平分线成轴对称
D．关于直线ON成轴对称
【答案】B
【分析】可设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，再根据平面直角坐标系中轴对称与中心对称的对称点的坐标关系便可求解．
【详解】不妨设OM所在直线为y轴，ON所在直线为x轴，
∵△ABC关于OM的对称图形是△A1B1C1，
∴A与A1、B与B1、C与C1的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∵△A1B1C1关于ON的对称图形是△A2B2C2，
∴A1与A2、B1与B2、C1与C2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴A与A2、B与B2、C与C2的横坐标、纵坐标都互为相反数，
则由中心对称图形在平面直角坐标系中对称点的坐标关系可知：△ABC与△A2B2C2关于O点成中心对称．故答案为：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的特征和中心对称图形的识别，正确区分两种对称变换的特征是解题的关键．
4．（2020·江苏八年级期中）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．
【详解】解：∵∠A=25°，∠BCA′=45°，∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，
∵CB=CB′，∴∠BB′C=∠B′BC=70°，∴∠B′CB=40°，∴∠ACA′=40°，
∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，∴∠ACA′=∠A′BA=40°．故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，根据已知得出∠ACA′=40°是解题关键．
5．（2020·山东鲁村中学八年级月考）在方格纸中，选择标有序号中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将一个图形旋转180度后能与原图形重合的图形是中心对称图形，根据定义解答．
【详解】
A、涂④后构成轴对称图形，不符合题意；B、涂③后构成轴对称图形，不符合题意；
C、涂②后构成中心对称图形，符合题意；
D、涂①后既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选：C．
．
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点及区别是解题的关键．
6．（2021·内蒙古九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；其中一定正确的是（　　）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②③④
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．
【详解】解：∵旋转，∴，但是旋转角不一定是，∴不一定是等边三角形，
∴不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴，故③正确；
∵旋转，∴，∵等腰三角形ACD和等腰三角形BCE的顶角相等，
∴它们的底角也相等，即，故④正确；
∵不一定成立，∴不一定成立，
∴不一定成立，即②不一定正确．故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．
7．（2021·河北邢台三中八年级期末）如图，在中，．将绕点按顺时针方向旋转
度后得到，此时点在边上，斜边交边于点，则图中阴影部分的面积为（
）
A．27
B．9
C．
D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质，易得BC=DC=6，由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，即可求得∠B=60°，即可判定△DBC是等边三角形，易得△DFC是含30°角的直角三角形，则可求得DF与FC的长，继而求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，∴BC=DC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，
∴△DBC是等边三角形，∴∠DCB=60°，∴∠DCA=90°-∠DCB=90°-60°=30°，
∵BC=6，∴DC=6，∵∠FDC=∠B=60°，∴∠DFC=90°，∴，
∴，∴S阴影=S△DFC=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
8．（2021·四川九年级月考）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，点P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后，点P的对应点的坐标是（
）
?
A．(，-1)
B．(1，-)
C．(2，-2)
D．(2，-2)
【答案】B
【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．
【详解】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，∴∠POQ=120°，
∵AP=OP=PB，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，
在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，
则P的对应点Q的坐标为(1，)
，故选：B．
【点睛】此题考查了坐标与图形变化－旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
9．（2021·河北邢台三中八年级期末）如图，根据的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以圆心，长为半径画弧；
（2）以为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，与交于点，连接、．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分；③四边形是轴对称图形也是中心对称图形；④，请你分析一下，其中正确的是（
）
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
【答案】D
【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．
【详解】由题意得：AB=AP，CB=CP，
∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；
∵AB=AP，AC⊥BP，∴AC平分，故②正确；
∵AC垂直平分BP，
∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；
∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，∴，故④正确；故选D．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．
10．（2020·重庆九年级期末）如图，点是的边的中点，且与关于直线对称，若，，则点到线段的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过折叠的性质可证明△CDE为等边三角形，进而可证明∠ADE=120°，即AD//CE，根据同底等高的三角形面积相等可得，作EF⊥BC，AG⊥BC，根据勾股定理可求得EF，AG，AC，再依据面积公式可求得点到线段的距离．
【详解】解：∵是的边的中点，∴CD=BD，
由折叠的性质可得DE=BD，∠ADE=∠ADB，∵，∴，
∴△CDE为等边三角形，∴∠DEC=∠CDE=60°，
∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=∠ADB-∠ADC=180°-2∠ADC=60°,
∴∠ADC=60°，∠ADE=120°，∴∠ADE+∠CED=180°，∴AD//CE，∴，
作EF⊥BC，AG⊥BC，分别交BC于G、F，
∴∠DAG=90°-∠ADG=30°，∠DEF=90°-∠EDF=30°，∴，
∴，，
∴，,∴,
设到线段的距离为，则，解得，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．能正确作出辅助线求得AC的长度是解题关键．本题中还需正确构造辅助线理解同底等高的三角形面积相等．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021·湖北九年级期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点都在格点上，将线段绕着某一点旋转一定角度，使其与线段重合（点与点重合，点与点重合），则这个旋转中心的坐标为__________．
【答案】
【分析】连结对称点
AC，
取AC中点G，过G作AC的垂直平分线，连结对称点BD，取BD中点H，过H作BD的垂直平分线与AC的垂直平分线交于P点，点P在y轴（0，2）上即可．
【详解】解：连结对称点
AC，点A与点C在同一竖格上，AC=6，
取AC中点G，过G作AC的垂直平分线，连结对称点BD，取BD中点H，
过H作BD的垂直平分线与AC的垂直平分线交于P点，
点P在y轴（0，2）上．故答案为：（0，2）．
【点睛】本题考查旋转中心问题，掌握旋转对称的性质，关键是作两对对称点的连线的中垂线的交点．
12．（2021·浙江八年级期末）以A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）为端点的线段上任意一点的坐标可表示为（﹣2，y）（﹣2≤y≤7）．现将这条线段水平向右平移7个单位，所得图形上任意一点的坐标可表示为_____．
【答案】（﹣2≤y≤7）．
【分析】根据平移的特点可知，向右平移横坐标变化，纵坐标不变可得解；
【详解】A（﹣2，7），B（﹣2，﹣2）向右平移7个单位可得，，
∴所得图形上任意一点的坐标可表示（﹣2≤y≤7）．故答案是：（﹣2≤y≤7）．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，准确分析计算是解题的关键．
13．（2021·山东八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称……照此规律重复下去，则点的坐标为_________．
【答案】（-2,0）
【分析】计算出前几次跳跃后，点P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7的坐标，可以得出规律，继而可求出点的坐标．
【详解】解：根据题意得：
点P1（0,2）、P2（2，-2）、P3（-4,2）、P4（4,0）、P5（-2,0）、P6（0,0）、P7（0,2），，
∴每6次为一个循环，
∵，∴点的坐标与点P5的坐标相同，即为（-2,0），故答案为：（-2,0）．
【点睛】此题考查坐标的变化规律探究，中心对称的定义，正确掌握中心对称的定义确定点的坐标，发现规律并运用解决问题是解题的关键．
14．（2021·浙江七年级期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为
.
【答案】40
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．
【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，解得：x+y=4，
如图，∵图2中长方形的周长为48，∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40．
．
【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
15．（2021·上海宝山区·七年级期末）如图，经过平移后得到，下列说法：
1
②
③
④和的面积相等
⑤四边形和四边形的面枳相等，其中正确的有
个
【答案】4
【分析】根据平移的性质逐一判断即可．
【详解】解：经过平移后得到，∴，故①正确；
，故②正确；，故③正确；和的面积相等，故④正确；
四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等，∴四边形和四边形的面枳不一定相等，故⑤不正确；综上：正确的有4个．
【点睛】此题考查的是图形的平移，掌握平移的性质是解题关键．
16．（2021·山东九年级期末）如图，正方形中，为边上一点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则线段的长度是_________．
【答案】．
【分析】作于点H，如图，利用正方形的性质得，
，再根据旋转的性质得，
，接着证明
，得到
，，所以
，则
，然后利用勾股定理计算FC的长．
【详解】如图，作于点H，
∵四边形ABCD为正方形，∴，，
∵AE绕点E顺时针旋转得到EF，∴，
，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，
即，∴，
在中，，故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了正方形的性质．
17．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学八年级月考）如图，在钝角中，，点M是内一动点，则点M到的三个顶点的距离之和的最小值是_____．
【答案】.
【分析】在三角形内任取一点，将逆时针旋转，确定线段之和的最小值，后用勾股定理求解即可.
【详解】如图（1）所示，在内取一点，
连接，将逆时针旋转，得到，连接，
由旋转性可得：，
，为等边三角形，即有，
，的最小值为，
且，
∴在中，如图（2）所示，过B作的垂线交延长线于点E，
，，
又，∴在中，，
，由勾股定理得：，
，∴在中，由勾股定理得：
．的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三线段和的最小值，旋转，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练运用旋转思想确定线段之和的最小值线段，并用勾股定理求解是解题的关键.
18．（2020·台州市路桥实验中学九年级月考）如图，边长为2a的等边△ABC中，D为BC中点，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN，则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是
。
【答案】
【分析】连接MD，根据等边三角形的性质可得BH=BD，再求出∠HBN=∠MBD，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBD≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MD，然后根据垂线段最短可得MD⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】解：如图，连接MD，
∵旋转角为60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠DBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，∴HB=AB，∴HB=BD，又∵MB旋转到BN，∴BM=BN，
在△MBD和△NBH中，，∴△MBD≌△NBH（SAS），∴MD=NH，
根据垂线段最短，MD⊥CH时，MD最短，即HN最短，
此时∵∠BCH=×60°=30°，CD=AB=×2a=a，
∴MD=CD=×a=，∴HN=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020·浙江八年级月考）图①、图②都是的正方形网格，每个小方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点都在格点上，按要求完成下列画图．
（1）请在图①中找到格点D，使四边形只是中心对称图形，并画出这个四边形；
（2）请在图②中找到格点E，使以为顶点的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形，并画出这个四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）画一个平行四边形，则是中心对称图形，而不是轴对称图形；
（2）画一个矩形，则既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【详解】
解：（1）如图①所示：
（2）如图②所示：
【点睛】本题主要考查作图—中心对称，作图—轴对称变换，轴对称图形和中心对称图形的判定，掌握常见图形的对称性是解题的关键．
20．（2020·浙江七年级）如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）．
（1）画出先将向右平移6格．再向上平移3格后的（点A平移到点D．点B平移到点E）．（2）连接，那么与的关系是__________，线段所组成的封闭图形的面积为__________．
【答案】（1）见解析；（2）AD∥BE，AD=BE，9
【分析】（1）根据平移的性质，画出图形即可．（2）利用平移的性质判断即可，利用平行四边形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）由平移的性质可知，AD∥BE，AD=BE．
线段AB扫过的部分所组成的封闭图形的面积=3×3=9．
故答案为：AD∥BE，AD=BE，9．
【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（2021·全国九年级）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AC、BD为两条对角线，且AC⊥BD，AC＝BD，（1）把AC平移到DE的位置，方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长；（2）判断△BDE的形状．
【答案】（1）答案见解析；（2）等腰直角三角形
【分析】（1）延长BC至E，使CE＝AD，连接DE即可；
（2）根据平移的性质可得DE∥AC，DE＝AC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BDE＝90°，然后根据等腰直角三角形的定义判定即可．
【详解】解：（1）如图所示，DE即为所求；
（2）由平移的性质得，DE∥AC，DE＝AC，
∵AC＝BD，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了利用平移变换作图，等腰直角三角形的判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
22．（2021·兰州市第二十中学九年级期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．
【答案】（1）60°；（2）
【分析】（1）由题意根据旋转的性质得到△ODC为等边三角形即可求出∠ODC的度数；
（2）根据题意先得出∠ADO=90°，进而在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求得AO的长．
【详解】解：（1）由旋转的性质得，CD=CO，∠ACD=∠BCO，
∵∠ACB=60°，∴∠DCO=60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC=60°；
（2）由旋转的性质得，AD=OB=2，∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=3，
∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质以及勾股定理，由题意得出∠ADO=90°并依据勾股定理进行分析是解题的关键．
23．（2021·湖北九年级期末）矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转，AD交CB?于点E.（1）如图1，当∠BCE=60°，△CDD?的形状是
；
（2）如图2，当AE=CE时，求阴影部分的面积.
【答案】（1）等边三角形；（2）6
【分析】（1）根据旋转的性质和等边三角形的判定方法，∠BCE=60°=∠DCD?，DC=D?C可得△CDD?为等边三角形.（2）由勾股定理得，CD2+DE2=CE2，假设CE为x，DE=8-x，列方程，求出DE的长度，再根据三角形的面积公式，得出阴影面积.
【详解】（1）△CDD?的形状是等边三角形，
∵矩形ABCD绕点C顺时针旋转，∴∠BCE=60°=∠DCD?
DC=D?C
∴△CDD?为等边三角形
（2）在△CDE中，由勾股定理得，CD2+DE2=CE2
设CE为x，则DE=8-x
∴42+（8-x）2=x2
解得，x=5，
∴DE=8-5=3
S阴影===6.
【点睛】本题考查了旋转的性质，和勾股定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质，会利用勾股定理求线段的长度．
24．（2020·浙江七年级期末）一块三角尺ABC如图放置，顶点B在直线MN上，，BP是的三等分线，．
（1）如图①，三角尺ABC在直线MN的上方，若，则___________度；
（2）将三角尺ABC绕点B旋转到直线MN的下方，如图②，若，求的度数；
（3）将三角尺ABC绕点B旋转一周，探究旋转过程中与的数量关系．（请直接写出结论）
【答案】（1）35；（2）；（3）．
【分析】（1）根据题意可求出的大小，从而得到，即可求出．
（2）根据平角的大小为，即．再根据已知即可求出的大小，从而求出的大小．
（3）根据平角的大小为，即，再将等式两边同时加一个，即可得到，再根据，可求出，最后即可求出和的数量关系．
【详解】（1）∵，
∴，∴．
（2）∵，
∵，，∴∠ABM=3∠ABP，∠CBN=∠ABP，
∴∴，∴，
（3）∵，
∴，
即．
∵，∴，∴，
∴，即．
【点睛】本题考查图形的旋转和含三角板的角度的计算．利用数形结合的思想结合题意找出角的等量关系是解答本题的关键．（3）较难，难点在于想出将等式两边同时加一个角，使等式更靠近结论．
25．（2021·天津九年级期末）如图1，在中，已知，，点D，E分别在边，上，且，此时显然，成立．若保持不动，将绕点C逆时针旋转，旋转角为．
（1）如图2，当时，问：，是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）如图3，当时，延长交于点F，若，，则线段______（直接写出结果即可）
【答案】（1）成立，见解析；（2）
【分析】（1）延长分别交，于点M、H，由题意可得，进而得到，，从而可，可得，故．（2）设ED交AC于G点，连接AE，由题意可得DE、AD、AG的长度，利用的面积相等可求得EF的长度．
【详解】（1）解：成立
证明：如图，延长分别交，于点M、H.
由旋转可知，
又∵，，，
，，
又，.
，.
..
（2）设ED交AC于G点，连接AE，如图：
GA垂直平分DE，
BC=AC=3AG=AC-CG=3-1=2
，即
【点睛】（1）主要考查三角形的全等证明，（2）主要考查解三角形，利用三角形面积相等求高．解决本题的关键是正确作出辅助线．
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精品试卷·第
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