4.2提取公因式法（第1课时） 同步练习 (有答案）

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北师大版2020﹣2021学年度下学期八年级数学下册第四章因式分解
4.2
提取公因式法
第1课时
提取公因式法(1)
【知识清单】
1．公因式:
把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式.
2.提取公因式法：
(1)定义：如果一个多项式的各项含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.
(2)字母表示：ma+bm+cm=m(a+b+c).
3．提取公因式法的一般步骤：
(1)确定应提取的公因式；
(2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；
(3)把多项式写成这两个因式的积的形式.
4．注意：(1)当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提
“?”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“?”号时，多项式的各项都要变号；
(2)系数公因式的取法：取多项式各项系数的最大公约数为公因数的系数；
(3)字母公因式的取法：把多项式各项都含有的相同字母(或因式)的最低次幂的积作为公因式的一个因式；
(4)分解要彻底：提取公因式后，应使多项式余下的各项不再含有公因式.若提取公因式后能用其他方法分解的一定继续分解，直至不能分解为止..
5．口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.
【经典例题】
例题1、找出下列各题中的公因式
(1)8a2b，12a2b2，?34a2bc；
(2)10a2b3，?15a4b4，5a3b2；
(3)14xny2n，21xn?1yn+1(n为大于1的整数)
【考点】因式分解的方法：提公因式法．?
【分析】多项式中各项都含有的因式是公因式，公因式是各项系数的最大公约数与各项共同含有的字母的最低次幂的积.若指数中含有字母，要判断哪个指数是最小的.例如当n为大于1的整数时，2n>n+1．
【解答】(1)2a2b·4，2a2b·6b，2a2b·(?17c)，
公因式为2a2b；
(2)5a2b2·2b，5a2b2·(?3
a2b2)，
5a2b2·a，
公因式为5a2b2；
(3)7xn?1yn+1·xyn?1，
7xn?1yn+1·3，
公因式为7xn?1yn+1；
【点评】本题主要考查了对提公因式的分解因式的掌握情况，能正确变形并能找出公因式是解此题的关键．
例题2、把多项式?8a2b3c+16a2b2c2?24a3bc3分解因式为(　　)
【考点】提公因式法分解因式．
【分析】考查了对一个多项式公因式的判断能力．本题属于基础题，在做题时首先要准确确定公
因式?8a2bc，然后进行提取即可．
【解答】
?8a2b3c+16a2b2c2?24a3bc3，
=?8a2bc·ab2+(?8a2bc)
·(?2bc)+(
?8a2bc)
·3ac2，
=?8a2bc(ab2?2bc+3ac2)．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：(1)公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；(2)字母取各项都含有的相同字母；(3)相同字母的指数取次数最低的．
【夯实基础】
1．若多项式?6a2b+18abm+24ab2n的一个因式是?6ab，则的另一个因式是(
)
A．?1?3m+4n
B．a+3m?4bn
C．?a?3m?4bn
D．a?3m?4bn
2．下列从左到右利用提公因式分解因式正确的是(
)
A．x3?4x2+x=x(x2?4x)
B．m2n2?mn=mn(mn?1)
C．?4a2b+12ab2=?4ab(a+3b)
D．x2?9x+8=x(x?9)+8
3．多项式18a5b2?15a3b4?6a2b3的应该提取的公因式是(
)
A．?3a2b2
B．
6a2b3
C．3a2b2
D．?a3b2
4．边长为a，b的长方形的周长为20，面积为21，则a2b+ab2的值为
(
)
A．420
B．210
C．105
D．75
5．已知3x+7y=5，xy=?4，求9x2y+21xy2?5xy的值为
.
6．计算10m+2?7.7×10m+1?22×10m的值为
.
7．分解因式：
(1)
x2?11x；
(2)
?7a2b3?14ab2+49ab
；
(3)
5an+1?15an?45an?1；
(4)
(2m?n)(p+3q)?(3q?p)(2m?n)
.
8．利用提公因式方法进行简便运算：
(1)29×20.21+540×2.021+1700×0.2021；
(2)57×37?19×34.
9．(1)一个长方形的面积为81x2y+27xy2?18xy(其中x>0，y>0)，若其中一边长为9xy，求长方形另条边长；
(2)因式分解：(x?2y)2?
(x+3y)
2
?(2mx?5y)y.
【提优特训】
10．计算(?2)2021+(?2)2020的值是(
)
A．?22020
B．?4
C．0
D．22020
11．下列说法正确的是(
)
A．多项式mx2?mx+1中各项的公因式为m
B．多项式7x3?63y中各项没有公因式
C．代数式2x2+
中各项的公因式为2x2
D．多项式6a2b?15ab+21a3中各项的公因式为3a
12．?(5a+4b)(5a?4b)与下列哪一个多项式相等(
)
A．?25a2?16b2
B．?25a2+16b2
C.
25a2+16b2
D．25a2?16b2
13．若4a?3b=?2，则代数式8a2?6ab+3b的值为
(
)
A．6
B．4
C．2
D．?2
14．如果一个多项式4x3y?A可以分解因式得4xy(x2?y2+2xy)，那么A=
?．
15．若(6x2?12x)
0无意义，则x的值为
.
16．已知x
=，
y=，则
的值为
.
17．请你说明92021?792020+592019是23的倍数吗？为什么？
18．若x，y是非零实数的平方根，且(x?5)2?(y+3)2=?8，求x、y的值.
【中考链接】
19．(2020?海南)因式分解：x2?2x=
．
20．(2020?四川成都)分解因式：x2+3x=　
　．
21．(2020?吉林)因式分解：a2?ab=
．
22．(2020?湖南株洲)分解因式：2a2?12a=
．
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、B
5、?40
6、
10m
10、A
11、D
12、B
13、C
14、4xy3-8x2y2
15、x1=0或x2=2
16、?8
19、x(x?2)
20、x(x+3)
21、
a(a?b)
22、2a(a?6)
7．分解因式：
(1)
x2?11x；
(2)
?7a2b3?14ab2+49ab
；
(3)
5an+1?15an?45an?1；
(4)
(2m?n)(p+3q)?(3q?p)(2m?n)
.
解：(1)原式=x(x?11)；
(2)
原式=?7ab(ab2+2b?7)；
(3)
原式=5an?1(a2?3a?9)
；
(4)
原式=(2m?n)
=(2m?n)
=2p(2m?n).
8．利用提公因式方法进行简便运算：
(1)29×20.21+540×2.021+1700×0.2021；
(2)57×37?19×34.
解：(1)原式=29×20.21+54×20.21+17×20.21
=20.21×(29+54+17)
=20.21×100
=2021；
(2)原式=57×37?57×33
=57×(37?27)
=57×10
=570.
9．(1)一个长方形的面积为81x2y+27xy2?18xy(其中x>0，y>0)，若其中一边长为9xy，求长方形另条边长；
解：81x2y+27xy2?18xy
=9xy(9x+3y?2)
∵9xy是长方形的一条边长，
∴长方形的另一条边长为(9x+3y?2).
(2)因式分解：(x?2y)2?
(x+3y)
2
?(2mx?5y)y.
解：原式=x2?4xy+4y2?x2?6xy?9y2?2mxy+5y2
=?10xy?2mxy
=?2xy(m+5).
17．请你说明92021?792020+592019是23的倍数吗？为什么？
解：是23的倍数，理由如下：
92021?792020+592019=92019(92?7×9+5)
=92019
(81?63+5)
=92019×23，
∵23能被23整除，
∴92019×23也能23整除，
∴92021?792020+592019是23的倍数.
18．若x，y是非零实数的平方根，且(x?5)2?(y+3)2=?8，求x、y的值.
解：∵x，y是非零实数的平方根，
∴x，y均不为0，且x+y=0，
∴x=?y，
∵(x?5)2?(y+3)2=?8
∴x2?10x+25?(y2+6y+9)=?8
∴x2?10x+25?y2?6y?9=?8
∴(?y)2?10(?y)+25?y2?6y?9=?8
∴
y2+10y+25?y2?6y?9=?8
∴4y=?24
解得：y=?6，
∵x=?y，
∴x=6.
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