【备考2021】高中物理模型问题专项突破 04等时圆 课件（17张ppt）

模型04　等时圆
2021年高中模型问题专项突破
模型概述
01
1.模型特征
(1)质点在竖直圆环上沿不同的光滑弦从其上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等,如图甲所示。
(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示。
(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点,质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等,如图丙所示。
我们先看弦轨道模型问题并证明物体下滑的等时性。
如图所示，让物体从竖直圆环上的最高点A处由静止开始沿光滑的弦轨道AB 、AC、AD下滑（AD竖直），下滑的时间分别为 、 、 。试证明
证明：物体由静止开始沿AB弦轨道下滑，AB弦轨道长为 ，AB弦轨道与竖直方向夹角为 ，直径AD长为 。
①
②
③
①②③解得：
可知物体由静止开始沿光滑弦轨道下滑的时间与弦与竖直方向的夹角无关，即
如果把圆环及轨道倒置，如图所示，使A在最低点，让物体从B、C、D点由静止开始沿光滑弦轨道滑到A点，通过同样方法证明，物体下滑时间仍相等。
结论：物体由静止开始沿着一个端点在圆环最高点的不同光滑弦轨道下滑到圆环的时间相等；或物体在圆环上由静止开始沿着另一个端点在圆环最低点的不同光滑弦轨道下滑，滑到圆环最低点的时间相等。
02
精讲精练
【典例1】在倾角为θ的斜面上方的A点放置一光滑的木板AB,B端刚好在斜面上,木板与竖直方向AC所成角度为α,一小物块由A端沿木板由静止下滑,要使物块滑到斜面的时间最短,则α与θ角的大小关系为(　　)。
A.α=θ　　　B.α= 　　　C.α=2θ　　　D.α=
【解析】作法：过A点作竖直线AB，过A作水平线与斜面交Q点，作 的角平分线与AB交于O点，以O点为圆心、AO长为半径作圆切斜面于P点，AP径迹即为最短时间。∠POB=θ,则α= ,B项正确。
√
变式训练1 如果定点A在斜面下面，在斜面上如何找到一点P ，使其沿光滑弦到A 点时间最短？
如图. 在竖直平面内，定点A位于斜面ML的下面，A与斜面之间连接光滑直轨道，作图求出物体由斜面上一点从静止开始沿光滑直轨道滑到A点最短时间的径迹。
PA径迹即为所求。
变式训练2 如图所示，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为(　　)
A．1∶1∶1 B．5∶4∶3
C．5∶8∶9 D．1∶2∶3
【解析】　利用等时圆模型，以AC为直径画圆，B、D刚好在圆上，所以时间相等，故A正确。
√
变式训练3 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C两点处于同一个圆的圆周上，C是圆周上任意一点，A、M分别为此圆与x、y轴的切点；B点在y轴上且∠BMO＝60°，O′为圆心。现将a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点，所用时间分别为tA、tB、tC，则tA、tB、tC大小关系是(　　)
A．tAD．由于C点的位置不确定，无法比较时间大小关系
【解析】　利用等时圆模型，A、C刚好在圆上，所以时间相等，B在圆外，故A正确。
√
变式训练4 为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度(围墙已建好)，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况符合要求的是( )
解析 以横梁的中点M为圆心，以横梁长度的二分之一为半径画圆，由弦轨道的等时性可以得出45度角的房顶，雨滴下滑时间最短。
?
?
?
√
变式训练5 倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO = OB = 10m，在C点竖直地固定一长10 m的直杆AO。A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图 1所示，则小球在钢绳上tAC 和tAB分别为 （取g = 10m/s2）
A．2s和2s B． 和 2s
C． 和4s D．4s 和
解析 作三角形 外接圆，由弦轨道等时性得出
= =2s
A
O
B
C
30°
α1
α2
D
tAC=tAB
√
变式训练6 如图，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下 端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则 （ ）
A、a处小孩最先到O点 B、b处小孩最后到O点
C、c处小孩最先到O点 D、a、c处小孩同时到O点
解析 把abc等效在一个竖直平面上，b 处小孩最先到O点
在作出三角形aco外接圆，o点恰好在最低点，
a、c处小孩同时到O点。
θ
a
O
b
c
√
变式训练7 如图所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板 下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离 。
【解析】由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点 时，即能满足题设要求。如图所示，此时等时圆的半径为：
A
B
P
H
h
O
【变式训练8】如图所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径为R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽，从静止出发，由A滑到B和由C滑到D ，所用的时间分别为 t1和t2，则t1与t2之比为(　　)．
A．2∶1 B．1∶1 C.∶1 D．1∶
【解析】　由“等时圆”模型结论有：
tAP＝tCP＝ 2 ，tPB＝tPD＝2 ，所以 t1＝tAP＋tPB，t2＝tCP＋tPD，知t1＝t2，B项正确 ．
√
【变式训练9】如图所示,几条足够长的光滑直轨道与水平面成不同角度,从P点以大小不同的初速度沿各轨道发射小球,若各小球恰好在相同的时间内到达各自的最高点,则各小球最高点的位置(　　)。
A.在同一水平线上 B.在同一竖直线上
C.在同一抛物线上 D.在同一圆周上
【解析】设某一直轨道与水平面成θ角,末速度为零的匀减速直线运动可逆向看成初速度为零的匀加速直线运动,则小球在直轨道上运动的加速度a=gsinθ,由位移公式得l= at2= t2,即 = gt2,不同的倾角θ对应不同的位移l,但 相同,即各小球最高点的位置在直径为 gt2的圆周上,D项正确。
√
【变式训练10】如图所示，oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆，O、a、b、c、d位于同一圆周上，d点为圆周的最高点，c点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，三个滑环都从o点无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达a、b、c所用的时间，则（ ）
A．t1 = t2 = t3 B．t1 > t2 > t3 C．t1 < t2 < t3 D．t3 > t1 > t2
【解析】任意研究其中的一个杆a，设杆与水平方向夹角为 ，设杆长为 。环运动时间 ，作辅助线ae垂直于杆，再过O点作一条竖直向下的竖线与ae相交于e点，可知 ，因此只需比较竖线的长短即可得答案。
√