人教高中数学必修五2.3等差数列前N项和 课件（51张ppt）

(共51张PPT)
复习回顾
问题呈现
例题讲解
小结与作业
复习回顾
(1)
等差数列的通项公式:
已知首项a1和公差d,则有:
an=a1+
(n-1)
d
已知第m项am和公差d,则有:
an=am+
(n-m)
d,
d=（an-am）/（n-m）
(2)
等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q
(m,n,p,q∈N),那么:
an+am=ap+aq
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泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题呈现
问题1
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对”
的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
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探究发现
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
1
2
3
21
21
20
19
1
获得算法：
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问题2
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是
求“1+2+3+4+…+100=？”
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问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
这个问题，可看成是求等差数列
1，2，3，…，n，…的前100项的和。
假设1+2+3+
+100=x,
(1)
那么100+99+98+
+1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+
+101=2x,
100个101
所以
x=5050.
高斯
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问题3:
求:1+2+3+4+…+n=?
记:S=
1
+
2
+
3
+…+(n-2)+(n-1)+n
S=
n+(n-1)+(n-2)+…+
3
+
2
+1
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设等差数列a1,a2,a3,…
它的前n
项和是
Sn=a1+a2+…+an-1+an
(1)
若把次序颠倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1
(2)
由等差数列的性质
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
由(1)+(2)
得
2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
即
Sn=n(a1+an)/2
下面将对等差数列的前n项和公式进行推导
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由此得到等差数列的{an}前n项和的公式
即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。
上面的公式又可以写成
由等差数列的通项公式
an
=
a1+(n-1)d
解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。
正所谓：知三求二
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（2）
1+3+5+。。。+（2n-1）=
（1）
1+2+3+。。。+n=
（3）2+4+6。。。+2n=
上面习题的答案在以后会经常用到。
n（n+1）/2
n（n+1）
n2
【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法叫
；
②{an}为等差数列?
，这是一个关于
的
没有
的“
”
倒序相加法
Sn=an2+bn
n
常数项
二次函数
等差数列前n项和公式补充知识
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当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
（
注意
a
还可以是
0）
例1
如图，一个堆放铅笔的
V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an},其中
a1=1
,
a120=120.根据等差数列前n项和的公式，得
答：V形架上共放着
7
260支铅笔。
例2：在等差数列{an}中，
（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn
（2）由等差数列的通项公式，得
14.5+(n-1)?0.7=32
?
n=26
（1）a3=
-2，a8=12，求S10
解：（1）?a1+a10
=
a3+a8
=
10
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?
例3:
已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
解:
由等差数列的性质可得:
a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18
sn=16/2
×
18=144
答:前16项的和为144。
分析：可以由等差数列性质，直接代入前n
项和公式
例4
等差数列-10，-6，-2，
2，…前多少项的和是54？
本题实质是反用公式，解一个关于n
的一元二次函数，注意得到的项数n
必须是正整数.
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解：将题中的等差数列记为｛an｝，sn代表该数列
的前n项和，则有a1=－10,
d=－6－(－10)=4　
根据等差数列前n项和公式：　
解得　n1=9,
n２=－3(舍去)
因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是54.
设该数列前n
项和为54　
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得
例5
已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，求Sn.
解：
S10=310，S20=1
220
巩固练习
1、已知
a6+a9+a12+a15=192,求
S20
2、凸
n
边形各内角成等差数列，公差为
10?，最小内角为
100?，则等于（
）
（A）7
（B）8
（C）9
（D）8或
9
?
a6+a9+a12+a15=192，
a6+a15=a9+a12=
a1+a20
?
a1+a20=96
由题意，得
:
解得
n=8
或
n=9（舍）
B
3.一个项数为36的数列的前四项和是21，后四
项和是67，求这个数列的和。
4
求集合M={m|m=7n,
n是正整数,
且m<100}的元素个数,
并求这些元素的和.
解:
由7n<100得
n<100／7,
由于满足它的正整数n共有14个,
∴集合M中的元素共有14个.
即
7,
14,
21,
…
,
91,
98.
这是一个等差数列,
各项的和是
答:
集合M中的元素共有14个,
它们的和为735.
=735
返回
2.等差数列{an}前n项和的性质
性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,
…也在等差数列,公差为
在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有
性质2:(1)若项数为偶数2n,则
S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)
(an,an+1为中间两项),
此时有:S偶－S奇=
,
n2d
nd
性质2:(2)若项数为奇数2n－1,则
S2n-1=(2n－
1)an
(an为中间项),
此时有:S奇－S偶=
,
两等差数列前n项和与通项的关系
性质4:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则
性质3:
为等差数列.
an
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=(
)
A.63
B.45
C.36
D.27
B
3.等差数列{an}前n项和的性质的应用
2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=(
)
A.85
B.145
C.110
D.90
A
3.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为
.
5
例4.两等差数列{an}
、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且
求
和
.
等差数列{an}前n项和的性质的应用
例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=
.
例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=
.
10
153
等差数列{an}前n项和的性质的应用
练习：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22
,Sn为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使
Sn<0的最小的正整数n.
(4)
求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
等差数列前n项和的性质5
例:
若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列。
巩固练习
观察上面的式子,我们可以看出它是
关于n
的二次函数,从而等差数列的前n
项和可以写成形如:
将等差数列的前n项和公式写成上
述形式,有利于求其前n项和的极值:
a1<0,d>0
a1>0,
d<0
最大值
无
有
最小值
有
无
n
sn
n
sn
a1<0,
d>0,最小值
a1>0,d<0,最大值
例6：已知数列{an}是等差数列，且a1=
21，公差d=－2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。
等差数列的前n项的最值问题
等差数列的前n项的最值问题
例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法1
由S3=S11得
∴
d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
等差数列的前n项的最值问题
例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法2
由S3=S11得
d=－2<0
∴当n=7时,Sn取最大值49.
则Sn的图象如图所示
又S3=S11
所以图象的对称轴为
7
n
11
3
Sn
等差数列的前n项的最值问题
例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法3
由S3=S11得
d=－2
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴
an=13+(n-1)
×(-2)=－2n+15
由
得
∴a7+a8=0
等差数列的前n项的最值问题
例7.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
解法4
由S3=S11得
∴当n=7时,Sn取最大值49.
a4+a5+a6+……+a11=0
而
a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0,a1=13>0
∴a7>0,a8<0
例7的变式题一：等差数列{an}中，首项a1>０，S3
=
S11，问：这个数列的前几项的和最大？
例7的变式题二：等差数列{an}的首项a1>
0,
前n项和为Sn，Sm=
Sl
,问:
n为何值时，Sn最大？
的前n项和为
②当n为何值时，
最大，
①数列
的通项公式
已知
求：
变式3设等差数列
例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知
a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.
解:(1)由已知得
a1+2d=12
12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
法2
∵
∴Sn图象的对称轴为
由(1)知
由上得
即
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.
∴Sn有最大值.
例9：已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22
,Sn为其前n项和.
（1）问该数列从第几项开始为负？
（2）求S10
（3）求使
Sn<0的最小的正整数n.
(4)
求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值
Sn
4:已知数列{an}的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为(
)
A.12
B.13
C.12或13
D.14
C
求等差数列前n项的最大(小)的方法
方法1:由
利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.
方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an
≤0且an+1
≥
0求得.
本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式：
①
s
n=n（a1+an）/2
②
s
n=na1+n（n-1）d/2
以及他们的推导过程，在具体使用时,不一定完全套用
公式,要灵活变通.
小结
③
1.推导等差数列前
n项和公式的方法
小结方法：
2.公式的应用中的数学思想.
-------倒序相加法
-------方程思想
3.公式中五个量a1,
d,
an,
n,
sn,
已知
其中三个量，可以求其余两个
-------知三求二
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