2.6.1菱形的性质
(2020·湖北)如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( )
A．20
B．30
C．40
D．50
(2020·辽宁)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是( )
A．2
B．
C．3
D．4
(2020·甘肃)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60
cm，菱形的边长AB＝20
cm，则∠DAB的度数是( )
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
【中考·绥化】如图，四边形ABCD是菱形，E，F分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( )
A．∠BAF＝∠DAE
B．EC＝FC
C．AE＝AF
D．BE＝DF
【中考·龙东】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( )
A．72
B．24
C．48
D．96
6.【2020中考·乐山】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为( )
A．9＋2
B．9＋
C．7＋2
D．8
7.【中考·苏州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE是中心对称图形；
③△DEF是轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.【中考·遵义】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( )
A．
B．
C．4
D．
10.（2020春?南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
(2020·江苏)菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为________．
(2020·广东)如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD，则∠EBD的度数为________．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若BC＝3，∠ABC＝60°，则BD的长为________．
【中考·甘孜州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，EO的延长线交BC于点F，则EF的长为_______．
如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2，
∠A＝120°，则EF的长为________．
【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10
cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为_________cm.
如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为多少？
如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
（2020春?梁溪区期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC，求菱形ABCD的面积．
【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
【2020中考·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时
，点F在线段BC的什么位置？并说明理由．
如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是BC延长线上一点，连接DE，以DE为边向外作等边三角形DEF，连接AF，交菱形对角线BD的延长线于点P，连接CF.
若AB＝4，CF＝6，求CE；
(2)求证：BC＝CF－2DP.
菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD所在的直线于点F，E.
(1)当点F，E分别在线段AB和CD上时，如图①，易证BF＋CE＝BC(不需证明)；
(2)当点F，E分别在线段BA和DC的延长线上时，如图②；当点F，E分别在线段AB和CD的延长线上时，如图③，线段BF，CE和BC又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．
如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
(2)求△BEF面积的最小值．2.6.1菱形的性质
(2020·湖北)如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为( C )
A．20
B．30
C．40
D．50
(2020·辽宁)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是( B )
A．2
B．
C．3
D．4
(2020·甘肃)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离，若AE间的距离调节到60
cm，菱形的边长AB＝20
cm，则∠DAB的度数是( C )
A．90°
B．100°
C．120°
D．150°
【中考·绥化】如图，四边形ABCD是菱形，E，F分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是( C )
A．∠BAF＝∠DAE
B．EC＝FC
C．AE＝AF
D．BE＝DF
【点拨】由菱形的性质可知AB＝AD，∠B＝∠D，因此△ABE与△ADF已具备了一边一角相等．A选项可用“ASA”判定全等；B选项与D选项均可用“SAS”判定全等．C选项是“边边角”，不能判定两个三角形全等．故选C.
【中考·龙东】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( C )
A．72
B．24
C．48
D．96
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，
∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×12×8＝48.
【答案】C
6.【2020中考·乐山】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为( B )
A．9＋2
B．9＋
C．7＋2
D．8
【点拨】∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB＝4，AB∥CD.
∵∠BAD＝120°，∴∠ADC＝60°.∴∠ADB＝∠CDB＝30°.
∵O是对角线BD的中点，∴AO⊥BD.
在Rt△AOD中，AO＝AD＝2，∴OD＝＝2
.
∵OE⊥CD，∴∠DEO＝90°.在Rt△DOE中，OE＝OD＝，
∴DE＝＝3.∴四边形AOED的周长为4＋2＋＋3＝9＋.
【答案】B
7.【中考·苏州】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为( C )
A．6
B．8
C．10
D．12
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8.
∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A′B′O′，点A′与点C重合，
∴O′C＝OA＝2，O′B′＝OB＝8，∠CO′B′＝90°，
∴AO′＝AC＋O′C＝6，∴AB′＝＝＝10.
【答案】C
如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE是中心对称图形；
③△DEF是轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.
其中正确的有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9.【中考·遵义】如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为( D )
A．
B．
C．4
D．
【点拨】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB.
∵AB＝5，∴OB＝＝4.∴BD＝2OB＝8.
∵S菱形ABCD＝AB·DE＝AC·BD，∴DE＝＝＝.
【答案】D
10.（2020春?南京期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别为AD、DC上的动点，∠EBF＝60°，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（ D ）
A．逐渐增加
B．逐渐减小
C．保持不变且与EF的长度相等
D．保持不变且与AB的长度相等
【点拨】证明△ABE≌△DBF（ASA），可得AE＝DF，根据线段的和可知：AE+CF＝AB，是一定值，可作判断．
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°，
∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠A＝∠CDB，
∵∠EBF＝60°，
∴∠ABE+∠EBD＝∠EBD+∠DBF，
∴∠ABE＝∠DBF，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴AE＝DF，
∴AE+CF＝DF+CF＝CD＝AB，
故选：D．
(2020·江苏)菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为____5____．
(2020·广东)如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示)，连接BE，BD，则∠EBD的度数为___45°_____．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若BC＝3，∠ABC＝60°，则BD的长为___3
_____．
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD＝2BO，AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，
∴AO＝AB＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得，BO＝，
∴BD＝2BO＝3
.
【中考·甘孜州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，EO的延长线交BC于点F，则EF的长为________．
【点拨】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，
∴AD＝5.
∵S菱形ABCD＝×AC·BD＝AD·EF，∴EF＝.
如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心点O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2，
∠A＝120°，则EF的长为________．
【点拨】如图，连接BD，AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，BO＝OD，
∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°－60°＝30°，∴AO＝AB＝×2＝1，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，BO＝，∴OD＝，
∴BD＝2
.
易知EF⊥AC，EF平分AO.
∵AC⊥BD，∴EF∥BD，
易得点E，F分别为AB，AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，∴EF＝BD＝×2
＝.
【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10
cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为____10
－10______cm.
【点拨】如图，连接BD，AC，
在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10
cm，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°.∴△ABD，△BCD都是等边三角形．
①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10
cm；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角，则以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，那么弧BD上的所有点(除点B外)都满足题意．当点P为弧BD与AC的交点时，AP最小，最小值为(10
－10)cm；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，则以点B为圆心，BC长为半径作圆，那么弧AC上的点D满足题意，此时PA＝10
cm.
综上所述，PA的最小值为(10
－10)cm.
如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为多少？
解：连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB＝5，AC⊥BD，
AO＝AC＝3，BD＝2BO.
∴BO＝＝4，∴BD＝8，
∴菱形ABCD的面积是AC·BD＝×6×8＝24，
∴BC·AE＝24，∴AE＝.
如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：DF＝BE.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，CD＝BC.
∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°.
∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL)，∴DF＝BE.
（2020春?梁溪区期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E＝60°，AC，求菱形ABCD的面积．
【点拨】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；
（2）欲求菱形ABCD的面积，已知AC，只需求得BD的长度即可（利用平行四边形以及菱形的性质可得AC⊥CE，再利用勾股定理可求出BD的长度）．最后利用菱形ABCD的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝CD，AB∥CD，
又∵BE＝AB，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD∥CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∵Rt△ACE中，∠E＝60°，
∴∠EAC＝30°，
∴AE＝2CE，
设CE＝x，AE＝2x，
由题意得x2
+（）2
＝（2x）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴CE＝1，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴BD＝CE＝1，
∴菱形ABCD的面积AC?BD1．
【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF
求证：(1)△ABF≌△DAE；
(2)DE＝BF＋EF.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝DA，AD∥BC.
∴∠BPA＝∠EAD.
∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∴∠ABF＝∠DAE.
∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2):∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∴AF＝AE＋EF＝BF＋EF，
∴DE＝BF＋EF.
【2020中考·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.
∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝AD.
∴∠EAO＝∠AOE.∴∠AOE＝∠BAO.∴OE∥FG.
又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°.∴四边形OEFG是矩形．
(2)：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°.∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5.
由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°.
在Rt△EFA中，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3.
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC．
求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时
，点F在线段BC的什么位置？并说明理由．
(1)证明：如图，连接AC.
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴线段BD所在直线是线段AC的垂直平分线．
∵E是线段BD上一点，∴AE＝EC.
(2)：点F在线段BC的中点处．
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝30°＝∠EAC.
∴AF是△ABC的角平分线，
∴BF＝CF.即点F在线段BC的中点处．
如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是BC延长线上一点，连接DE，以DE为边向外作等边三角形DEF，连接AF，交菱形对角线BD的延长线于点P，连接CF.
若AB＝4，CF＝6，求CE；
(2)求证：BC＝CF－2DP.
(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝AB＝4，∠DCB＝60°，
∴△BDC是等边三角形，∴DB＝DC，∠BDC＝60°.
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠BDC＋∠CDE＝∠EDF＋∠CDE，即∠BDE＝∠CDF，
∴△BDE≌△CDF(SAS)，∴BE＝CF＝6.∴CE＝BE－BC＝2.
(2)证明：如图，过点F作FK∥AD交DP的延长线于点K，连接AK.∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴∠ADC＝120°.
由(1)知∠BDC＝60°，∴∠ADB＝60°.
∵FK∥AD，
∴∠DKF＝∠ADK＝180°－60°＝120°.
∵∠DCE＝180°－∠BCD＝120°，∴∠DKF＝∠DCE.
∵∠CDE＋∠CED＝60°，∠CDE＋∠KDF＝360°－120°－120°－60°＝60°，∴∠KDF＝∠CED.
∵DF＝DE，∴△KDF≌△CED(AAS)，∴KF＝CD，DK＝EC.
∵CD＝AD，∴AD＝KF，
∵AD∥KF，∴四边形ADFK是平行四边形，
∴PK＝PD，∴EC＝2PD.
∵CF＝BE，BE＝BC＋EC，∴BC＝BE－CE＝CF－2DP.
菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD所在的直线于点F，E.
(1)当点F，E分别在线段AB和CD上时，如图①，易证BF＋CE＝BC(不需证明)；
(2)当点F，E分别在线段BA和DC的延长线上时，如图②；当点F，E分别在线段AB和CD的延长线上时，如图③，线段BF，CE和BC又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并给予证明．
解：(2)题图②中的结论：BF－CE＝BC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD，AB∥CD，OD＝OB，∴∠E＝∠F.
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF，∴DE＝BF，∴CE＝AF，
∴BF－CE＝BF－AF＝AB＝BC，即BF－CE＝BC.
题图③中的结论：CE－BF＝BC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，OD＝OB，∴∠E＝∠F.
在△ODE和△OBF中，
∴△ODE≌△OBF，
∴DE＝BF，∴CE－BF＝CE－DE＝CD＝BC，即CE－BF＝BC.
如图，在边长为m的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E是AD上不同于A，D两点的一动点，F是CD上一动点，且AE＋CF＝m.
(1)证明：无论E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；
(2)求△BEF面积的最小值．
【点拨】作辅助线构造等边三角形和全等三角形，
结合菱形的性质和等边三角形的性质求解．
(1)证明：连接BD.∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠BDF＝∠ADF.
又∵∠DAB＝60°，∴∠BDF＝×(180°－60°)＝60°，
△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝DB.
又∵AE＋CF＝m，CF＋DF＝m，∴AE＝DF.
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF(SAS)，∴BE＝BF，∠ABE＝∠DBF.
又∵∠ABE＋∠EBD＝∠ABD＝60°，∴∠EBF＝∠DBF＋∠EBD＝∠ABD＝60°，∴△BEF是等边三角形．
(2)：△BEF的边长最小时，面积最小，即当BE⊥AD时，
△BEF的面积最小．此时BE＝＝m，
∴△BEF的边BE上的高为＝m，
∴△BEF面积的最小值为·m·m＝m2.
