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9.1.2
分层随机抽样
随堂同步练习
一、单选题
1．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：
不喜欢
喜欢
男性青年观众
30
10
女性青年观众
30
50
现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则
A．12
B．16
C．24
D．32
2．某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为
A．20
B．25
C．30
D．35
3．我校有高一学生850人，高二学生900人，高三学生1200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取30名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（ ）
A．高一学生被抽到的概率最大
B．高二学生被抽到的概率最大
C．高三学生被抽到的概率最大
D．每名学生被抽到的概率相等
4．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2∶1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是
A．8
B．12
C．16
D．24
5．某校高三分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三中抽取30名老师去参加教研会，已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，则高三的全体老师的个数为
A．10
B．30
C．60
D．90
6．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况.这两项调查宜采用的抽取方法是（
）
A．①简单随机抽样，②分层随机抽样
B．①分层随机抽样，②简单随机抽样
C．①②都用简单随机抽样
D．①②都用分层随机抽样
7．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为
A．8
B．11
C．16
D．10
8．某高中学校共有学生3000名，各年级人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率是现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，则应在高三年级抽取的学生的人数为
年级
一年级
二年级
三年级
学生人数
1200
x
y
A．25
B．26
C．30
D．32
9．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为，现按型号用分层随机抽样的方法随机抽取容量为n的样本.若抽到24件乙型号产品，则n等于（
）
A．80
B．70
C．60
D．50
10．某地区有大型商场x个，中型商场y个，小型商场z个，且.为了掌握该地区商场的营业情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的中型商场的个数为（
）
A．3
B．6
C．12
D．27
11．某单位有老年人28人?中年人54人?青年人81人,为了调查他们的身体状况,从中抽取一个容量为36的样本,则最适合抽取样本的方法是
A．随机数表法
B．抽签法
C．分层抽样
D．先从老年人中剔除1人,再用分层抽样
12．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n=（ ）
A．45
B．54
C．90
D．126
13．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为
A．5、10、15
B．3、9、18
C．3、10、17
D．5、9、16
二、填空题
14．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_____件产品．
15．某桔子园有平地和山地共120亩，现在要估计平均亩产量，按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行调查．如果所抽山地是平地的2倍多1亩，则这个桔子园的平地与山地的亩数分别为________、________.
16．某医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层随机抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是______.
17．—工厂生产了16800件某种产品，它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量，决定采用分层随机抽样的方法进行抽样.已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a，b，c，且2ba+c，则乙生产线生产了______件产品.
三、解答题
18．某企业三月中旬生产，，三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
产品数量
1300
样本中的数量
130
由于不小心，表格中，产品的有关数据已被污染得看不清楚，统计员只记得样本中产品的数量比样本中产品的数量多10.根据以上信息，求该企业生产产品的数量.
19．某大型企业针对改善员工福利的，，三种方案进行了问卷调查，调查结果如下：
支持方案
支持方案
支持方案
35岁以下的人数
200
400
800
35岁及以上的人数
100
100
400
（1）从所有参与调查的人中，用分层随机抽样的方法抽取人，已知从支持方案的人中抽取了6人，求的值.
（2）从支持方案的人中，用分层随机抽样的方法抽取5人，这5人中年龄在35岁及以上的人数是多少？年龄在35岁以下的人数是多少？
20．某校高一年级新入学360名学生，其中200名男生，160名女生.学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名学生.该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：）如下：
5.0
6.0
7.0
7.5
8.0
8.4
4.0
3.5
4.5
4.3
5.0
4.0
3.0
2.5
4.0
1.6
6.0
6.5
5.5
5.7
3.1
5.2
4.4
5.0
6.4
3.5
7.0
4.0
3.0
3.4
6.9
4.8
5.6
5.0
5.6
6.5
3.0
6.0
7.0
6.6
（1）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居中地与学校距离为，他是否能住宿？说明理由；
（2）通过计算得到男生样本数据平均值为，女生样本数据平均值为，求所有样本数据的平均值.
答案解析
1．C
【详解】
依题意，总人数为，其中“不喜欢的男性青年观众”有人，故
，解得.所以本小题选C.
2．D
【详解】
高一年级抽取的人数为，故选D．
3．D
【详解】
由抽样的定义知，无论哪种抽样，样本被抽到的概率都相同，
故每名学生被抽到的概率相等，
故选D．
4．D
【详解】
设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则
，解得x＝24．
故选D
5．D
【详解】
由题意，因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为，
由抽样方法的概念，可知高三中每个老师被抽到的可能性都为，
所以高三的全体老师的个数为人，故选D．
6．B
【详解】
在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层随机抽样；
在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样.
故选：B.
7．A
【解析】
若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3
500，解得x＝1
600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.
故答案为：A
8．A
【详解】
由题意得高二年级学生数量为：
，
高三年级学生数量为，
现用分层抽样的方法在全校抽取100名学生，
设应在高三年级抽取的学生的人数为n，
则，解得．
故选：A．
9．A
【详解】
因为，所以.
故选：A
10．C
【详解】
因为该地区有大型商场x个，中型商场y个，小型商场z个，且，所以用分层随机抽样进行调查，应抽取中型商场的个数为.
故选：C
11．D
【详解】
解析:因为总体是由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.
因为总人数为,样本容量为36,
由于按抽样,无法得到整数解,
因此考虑先剔除1人,将抽样比变为.
若从老年人中随机地剔除1人,则老年人应抽取(人),中年人应抽取(人),青年人应抽取(人),从而组成容量为36的样本.
故选：D
12．C
【详解】
解：A种型号产品所占的比例为，
，故样本容量n=90．
故选C．
13．B
【解析】
高级职称应抽取；中级职称应抽取；一般职员应抽取．
14．
【解析】因为抽取的个体数组成一个等差数列，所以甲，乙，丙生产的产品也组成一个等差数列，设乙生产线生产了件产品，那么甲和丙共生产了件产品，所以，解得．
15．36 84
【解析】
设所抽平地的亩数为x，则抽取山地的亩数为2x＋1.∴x＋2x＋1＝10，x＝3.
∴3÷(10÷120)＝36，
(10－3)÷(10÷120)＝84.
16．560
【详解】
设该校高二年级的女生人数为x，则男生人数为.比例为，
∵女生比男生少抽了10人，
∴，解得
故答案为：560
17．5600
【详解】
设甲、乙、丙3条生产线各生产了，，件产品，则，
即.
因为，所以，
所以.
故答案为：5600
18．800.
【详解】
设样本量为，
则，
，
在样本中产品和产品共有（件）.
设样本中产品数量为，则，
，
该企业生产产品的数量为.
19．（1）40；（2）4，1.
【详解】
（1）由题意得，解得.
（2）年龄在35岁以下的人数为，
年龄在35岁及以上的人数为.
20．（1）能住宿；（2）.
【详解】
（l）能住宿.
因为200名男生中有10名男生住校，
所以抽取的40名男生中约有2名男生住校.
由样本数据可知，距离为和的男生住校，距离为以下的男生不住校，由于，
所以男生甲住宿.
（2）根据分层随机抽样的原则，应抽取32名女生.
因为男生样本数据的平均数为，女生样本数据的平均数为，
所以所有样本数据的平均数为.
所以可估计总体数据的平均数为.
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9.1.2
分层随机抽样
随堂同步进阶练习
一、单选题
1．某校要从高一、高二、高三共2019名学生中选取50名组成志愿团.若采用下面的方法选取：选用简单随机抽样的方法从2019人中剔除19人，剩下的2000人再按分层随机抽样的方法进行，则每人入选的可能性（
）
A．都相等且为
B．都相等且为
C．不会相等
D．均不相等
二、解答题
2．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？
3．下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
4．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
5．有人说：“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对24300名学生进行视力普查的结果差不多.而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可取.”你认为这种说法有道理吗？为什么？
6．查询中央电视台最近五年春节联欢晚会的收视率，从中你能发现一些什么信息？查阅一些收视率调查所用的方法，在分析这些方法的合理性和不足的基础上，请你自行设计一个调查收视率的方案.
7．你可能想了解全校同学生活、学习中的一些情况，例如，全校同学比较喜欢哪门课程，每月的零花钱平均是多少，喜欢看《新闻联播》的同学的比例是多少，每天大约什么时间起床，每天睡眠的平均时间是多少，等，选一些自己关心的问题，设计一份调查问卷，利用简单随机抽样方法调查你们学校同学的情况，并解释你所得到的结论.
8．校学生会希望调查学生对本学期学生活动计划的意见，你自愿担任调查员，并打算在学校里抽取10%的同学作为样本.
（1）怎样安排抽样，可以提高样本的代表性？
（2）在调查抽样中你可能遇到哪些问题？
（3）这些问题可能会影响什么？
（4）你打算怎样解决这些问题？
9．已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，得到各层的样本平均数分别为.
（1）根据以上信息可以估计总体平均数吗？如果不能，还需要什么条件？写出估计式.
（2）如果样本量是按比例分配，第1.2.3层的个体数分别为L，M，N，样本量分别为l，m，n，证明：.
10．数据，的平均数为，数据，的平均数为为常数，如果满足，证明：.
11．中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得该节目的收视率，下面是三名同学为电视台设计的调查方案.
同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样，我就可以很快统计出收视率了.
同学B：我给我们居民小区的每一个住户发一份是否在除夕晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率.
同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率.请问：上述三名同学设计的调查方案获得比较准确的收视率的可能性大吗？为什么？
12．某刊物对其读者进行满意度调查，调查表随刊物送到读者手中，对寄回的调查表进行分析，这是不是一项抽样调查？样本抽取是不是属于简单随机抽样？为什么？
13．要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查.请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理.你觉得在选择分层变量时应注意什么？
14．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？
15．数据的平均数为，数据的平均数为，证明：.
答案解析
1．A
【详解】
简单随机抽样和分层抽样都是等可能抽样，故
故选：
2．男生16人，女生12人
【详解】
田径队运动员的总人数是，要得到28人的样本，占总体的比例为，
于是应该在男运动员中随机抽取（人），
在女运动员中随机抽取（人）.
3．（1）不是简单随机样本；（2）不是简单随机样本；（3）是简单随机样本.
【详解】
（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
只有编号为1~75可能被抽中，故不是等可能性的，不是简单随机抽样；
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
1~24,75号与25~74号抽中的可能性不同，故不是简单随机抽样；
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
每个编号抽中的可能性相同，是简单随机抽样；
4．
【详解】
（1）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（2）适合全面调查，因为调查对象较少；
（3）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（4）适合抽样调查，因为调查具有破坏性；
（5）适合抽样调查，因为调查对象较多；
（6）适合抽样调查，因为调查对象多而且不易操作.
5．有道理，见解析
【详解】
这种说法有道理
因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果.因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.
6．
【详解】
发现的信息：不同年龄段的观众收视率差别大.
利用分层随机抽样来设计抽样方案的效果应该比较好，可以按照年龄分层
根据分层抽样确定每个年龄层的样本数量
随机选取对应的电视，安装记录软件，反馈收视信息
根据反馈结果进行分析得到收视率
7．
【详解】
如下设计调查问卷：
（1）你最喜欢哪一门课程？
（2）你每月的零花钱平均是多少？
（3）你喜欢看《新闻联播》吗？
（4）你每天早上几点起床？
（5）你每天晚上几点睡觉？
从学号中利用随机表随机选择100个同学，再进行问卷调查，回收问卷进行统计分析.
结论：高年级的学生平均睡眠时间少
原因：学习任务更紧张，学习时间更长
8．
【详解】
（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.
（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题；由于种种原因，有些学生不能发表意见等.
（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.
（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.
9．
【详解】
（1）不可以估计总体平均数，需要第1，2，3层中包含个体的数目A，B，C，或抽取样本量分别为a，b，e，则估计式为:
或.
（2）样本平均数为.
在比例分配的分层随机抽样中，，
10．
【详解】
由题意得：.
又，
，
11．
【详解】
可能性不大，调查的总体是所有可能看电视的人群.
学生A的设计方案考虑的人群是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了，因此A方案抽取的样本的代表性差；
学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性，因此B方案抽取的样本的代表性差；
学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，电话号码本上的号码有限且有一定的片面性，因此C方案抽取的样本的代表性差.所以这三种调查方案都有一定的片面性，得到比较准确的收视率的可能性不大.
12．
【详解】
是抽样调查
是否填写调查表并寄回，每个人的可能性不相同
故样本的抽取不是简单随机抽样，因为每个个体被抽到的可能性不同.
13．
【详解】
色盲是由上的隐形基因决定的，男女差异明显，故需要使用分层抽样
选择分层变量时应注意：尽可能使层内差异小而层间差异大.
14．
【详解】
（1）抽取男生人数为，抽取女生人数为.
高二年级全体学生的平均身高估计为（cm）.
（2）仍按（1）方式进行估计，即（cm）.
15．
【详解】
由题意得，
，.
，即.
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