广西贵港市覃塘区覃塘高级中学2020-2021学年高一下学期3月月考数学试题（word有答案）

覃塘高中2021年春季期3月月考试题
高一数学
试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷为试题（选择题和客观题），Ⅱ卷一般为答题卷，考试结束只交Ⅱ卷。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目的要求）
1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B＝45°，C＝75°，则b＝（　　）
A．2
B．
C．
D．
2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
4．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4（a4﹣1），则a2＝（　　）
A．2
B．1
C．
D．
5．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC＝2：3：4，那么cosC等于（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知数列an＝n2﹣6n+5，则该数列中最小项的序号是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c＝，则C＝（　　）
A．
B．
C．
D．
8．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问小满日影长为（　　）（1丈＝10尺＝100寸）
A．四尺五寸
B．三尺五寸
C．二尺五寸
D．一尺五寸
9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于（　　）
A．m
B．m
C．m
D．m
10．已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且有，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
11．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an+1＝3Sn（n≥1），则a6＝（　　）
A．3×44
B．3×44+1
C．44
D．44+1
12．已知数列{an}满足a1＝1，且，且n∈N
），则数列{an}的通项公式为（　　）
A．an＝
B．an＝
C．an＝n+2
D．an＝（n+2）3n
填空题(每小题5分，共20分)
13．已知{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，则a5＝　
　．
14．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，已知2acosC＝2b+c，则角A的大小为　
　．
15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为　
　．
16．如图，△ABC是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．若，DE＝2BD，则△DEF的面积为　
　．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知等差数列{an}中a1＝﹣12，a3＝﹣8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）当n取何值时，数列{an}的前n项和Sn取得最值，并求出最值．
18、(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
19.
（本小题满分12分）如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛A的北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到上午11时10分又测得该船在海岛A的北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
（1）问：船的航行速度是多少千米/时？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛A的正西方向的D处，问：此时船距海岛A多远？
20.
（本小题满分12分）已知{an}为公差不为0的等差数列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
21.（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．
（1）求角B；
（2）求△ABC周长的最大值．
\
22.（本小题满分12分）已知首项为4的数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
2021年春季期覃塘高中高一数学3月月考参考答案
选择题(共12题）
?题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
A
C
D
A
B
B
B
C
A
B
二．填空题（共4小题）
13．已知{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，则a5＝
14
．
【解答】解：{an}为等差数列，a3+a8＝25，a6＝11，
∵a5+a6＝a3+a8，∴a5＝25﹣11＝14，故答案为：14．
14．设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，已知2acosC＝2b+c，则角A的大小为
．
【解答】解：因为2acosC＝2b+c，所以2a×＝2b+c，
整理得，，由余弦定理得，cosA＝＝﹣，
因为A为三角形内角，所以A＝．故答案为：．
15．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为
．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
∴an＝a1qn﹣1，又4S2＝S1+3S3，即4（a1+a1q）＝a1+3（a1+a1q+a1q2），
解．故答案为：．
16．如图，△ABC是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．若，DE＝2BD，则△DEF的面积为
3
．
【解答】解：设BD＝t（t＞0），由题意，得DE＝2t，CE＝t，∠CEB＝120°，
所以BC2＝CE2+BE2﹣2?CE?BE?cos120°，即，
解得，所以，所以．
故答案为：3．
三．解答题（共6小题）
17．已知等差数列{an}中a1＝﹣12，a3＝﹣8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）当n取何值时，数列{an}的前n项和Sn取得最值，并求出最值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝﹣12，a3＝﹣8∴公差，
∴an＝﹣12+（n﹣1）×2＝2n﹣14
（Ⅱ）
＝
∴当n＝6或n＝7时，Sn取最小值，最小值为﹣42．
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c＝2acosB．
（Ⅰ）证明：A＝2B；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c＝2acosB，
∴sinB+sinC＝2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）＝2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB∴sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，∴B＝A﹣B，∴A＝2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S＝，∴bcsinA＝，
∴2bcsinA＝a2，∴2sinBsinC＝sinA＝sin2B，∴sinC＝cosB，
∴B+C＝90°，或C＝B+90°，∴A＝90°或A＝45°．
19．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛A的北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到上午11时10分又测得该船在海岛A的北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
（1）问：船的航行速度是多少千米/时？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛A的正西方向的D处，问：此时船距海岛A多远？
【解答】解：（1）在Rt△PAB中，∠APB＝90°﹣30°＝60°，PA＝1，∴AB＝．
在Rt△PAC中，∠APC＝90°﹣60°＝30°，PA＝1，∴AC＝．
在△ACB中，∠CAB＝30°+60°＝90°，
∴BC＝＝＝．
则船的航行速度为÷＝2（千米/时）．
（2）在△ACD中，∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
sin∠DCA＝sin（180°﹣∠ACB）＝sin∠ACB＝＝＝，
sin∠CDA＝sin（∠ACB﹣30°）
＝sin∠ACB?cos30°﹣cos∠ACB?sin30°
＝×﹣×
＝．
由正弦定理得＝，
∴AD＝＝＝．
故此时船距岛A有千米．
20．已知{an}为公差不为0的等差数列，且a1＝3，a1，a4，a13成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d(d≠0)，
由题设可得：a42＝a1a13，又a1＝3，
∴(3+3d)2＝3(3+12d)，解得：d＝2，∴an＝3+2(n﹣1)＝2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：＝＝(﹣)，
∴Sn＝(1﹣+﹣+???+﹣)＝(1﹣)＝．
21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．
（1）求角B；（2）求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）由正弦定理知，＝＝，
∵（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC），
∴（a﹣c）a＝（b﹣c）（b+c），整理得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理知，cosB＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．
（2）由（1）知，B＝，∴A+C＝，
由正弦定理知，＝＝＝＝，
∴a＝sinA，c＝sinC，
∴a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝（sinA+cosA+sinA）
＝（sinA+cosA）＝×sin（A+）＝8sin（A+），
∵A∈（0，），∴A+∈（，），
当A+＝，即A＝时，a+c取得最大值，为8，
∴a+b+c≤8+4＝12，故△ABC周长的最大值为12．
22．已知首项为4的数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求证：数列为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】（1）证明：由，
得，即，
∴，即数列是以为首项，以3为公差的等差数列，
∴，则；
（2）解：∵bn＝an+1＝（3n+2）?2n+1，
∴，
+（3n+2）?2n+2，
两式作差可得：
＝8+＝﹣（3n﹣1）?2n+2﹣4，∴．
日期：2021/3/16
9:26:05；用户：覃塘高中；邮箱：qtgz@；学号：3884626
高一数学试题
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命题人：梁进现
审题人：
陈恩德
日期：2021.3.16