三角函数的图像和性质
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文档简介
三角函数的图象和性质（一）
教学目标：
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图；
理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理;
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：函数的图象到函数的图象的变换方法．
一、知识点归纳：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图.
函数的图象到函数的图象的两种主要途径．
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
对称性:函数对称轴可由解出；对称
中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.( 即整体代换法)
函数对称轴可由解出；对称中心的纵坐标是方程的解，对称中心的横坐标为.( 即整体代换法)
函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.
时，，当时，有最大值，
当时,有最小值；时，与上述情况相反.
（三）典例分析：
问题1． 已知函数.
用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；
说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.
问题2． (
)(海南)函数在区的简图是
(天津文)函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
已知函数（）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．
问题3．将函数的周期扩大到原来的倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是
（山东文）要得到函数的图象，只需将函数
的图象 向右平移个单位；向右平移个单位；
向左平移个单位；向左平移个单位
（山东）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
问题4．(福建)已知函数的最小正周期为，则
该函数的图象 关于点对称 关于直线对称
关于点对称 .关于直线对称
（山东）已知函数，则下列判断正确的是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
问题5．（陕西）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
（四）课外作业：
要得到的图象，只需将的图象
向左平移 向右平移 向左平移 向右平移
如果函数的图象关于直线对称，则
（五）走向高考：
（天津）要得到函数的图象，只需将函数的
图象上所有的点的
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
（江苏）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
(安徽)函数的图象为，
①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是
（安徽）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，
则平移后的图象所对应函数的解析式是
（福建）函数,
)的部分图象如图，则
（福建）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
关于点对称关于直线对称关于点对称关于直线对称
（广东文）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
，；，；，；，
（陕西）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的集合.
（全国Ⅰ文）设函数图像的一条对称轴是直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
(全国)已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。
三角函数的图象和性质（二）
教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．
教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
（一）知识点归纳：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数 定义域 值域 周期
（二）知识点解析：
求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；
求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二次函数式；
三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．
（三）典例分析：
问题1． 求下列函数的定义域:
； ；
问题2．求下列函数的值域：
；；；．
问题3．求下列函数的周期：
；；
问题4．已知函数的定义域为，值域为，求常数的值．
（四）课后作业：
求函数的定义域.
函数的定义域为
若方程有解，则
（江西）设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为
周期函数，数小正周期为 非周期函数
（全国Ⅱ）函数的最小正周期是 2
函数的最小正周期为
函数的周期是
已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域
（五）走向高考：
（四川）函数的最小正周期为
（上海）函数的最小正周期
（福建）已知函数在区间上的最小值是，则
的最小值等于
（安徽文）解不等式．
（天津）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
（重庆）设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
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教学目标：
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图；
理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理;
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：函数的图象到函数的图象的变换方法．
一、知识点归纳：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图.
函数的图象到函数的图象的两种主要途径．
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
对称性:函数对称轴可由解出；对称
中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.( 即整体代换法)
函数对称轴可由解出；对称中心的纵坐标是方程的解，对称中心的横坐标为.( 即整体代换法)
函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.
时，，当时，有最大值，
当时,有最小值；时，与上述情况相反.
（三）典例分析：
问题1． 已知函数.
用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；
说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.
问题2． (
)(海南)函数在区的简图是
(天津文)函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
已知函数（）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．
问题3．将函数的周期扩大到原来的倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是
（山东文）要得到函数的图象，只需将函数
的图象 向右平移个单位；向右平移个单位；
向左平移个单位；向左平移个单位
（山东）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
问题4．(福建)已知函数的最小正周期为，则
该函数的图象 关于点对称 关于直线对称
关于点对称 .关于直线对称
（山东）已知函数，则下列判断正确的是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
问题5．（陕西）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
（四）课外作业：
要得到的图象，只需将的图象
向左平移 向右平移 向左平移 向右平移
如果函数的图象关于直线对称，则
（五）走向高考：
（天津）要得到函数的图象，只需将函数的
图象上所有的点的
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
（江苏）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
(安徽)函数的图象为，
①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是
（安徽）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，
则平移后的图象所对应函数的解析式是
（福建）函数,
)的部分图象如图，则
（福建）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
关于点对称关于直线对称关于点对称关于直线对称
（广东文）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
，；，；，；，
（陕西）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的集合.
（全国Ⅰ文）设函数图像的一条对称轴是直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
(全国)已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。
三角函数的图象和性质（二）
教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．
教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
（一）知识点归纳：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数 定义域 值域 周期
（二）知识点解析：
求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；
求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二次函数式；
三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．
（三）典例分析：
问题1． 求下列函数的定义域:
； ；
问题2．求下列函数的值域：
；；；．
问题3．求下列函数的周期：
；；
问题4．已知函数的定义域为，值域为，求常数的值．
（四）课后作业：
求函数的定义域.
函数的定义域为
若方程有解，则
（江西）设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为
周期函数，数小正周期为 非周期函数
（全国Ⅱ）函数的最小正周期是 2
函数的最小正周期为
函数的周期是
已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域
（五）走向高考：
（四川）函数的最小正周期为
（上海）函数的最小正周期
（福建）已知函数在区间上的最小值是，则
的最小值等于
（安徽文）解不等式．
（天津）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
（重庆）设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
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