天津市天津一中2021届高三下学期4月第四次月考数学试题 Word版含答案

天津一中2020-2021高三年级第四次月考数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，试用时120分钟．考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集false，集合false，false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数false的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．对一批产品进行了抽样检测，测量其净重（单位：克），将所得数据分为5组：false，false，false，false，false，并整理得到如下频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中产品净重落在区间false内的个数为（ ）
A．90 B．75 C．60 D．45
5．已知函数false，且false，false，false，则false、false、false的大小关系为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．球与棱长为false的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知抛物线false上一点false到其焦点的距离为5，双曲线false的左顶点为false且离心率为false，若双曲线的一条渐近线与直线false垂直，则双曲线的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false的图象与false轴交点的横坐标构成一个公差为false的等差数列，把函数false的图象沿false轴向左平移false个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数false的图象，则下列关于函数false的结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
①函数false是奇函数 ②false的图象关于直线false对称
③false在false上是增函数 ④当false时，函数false的值域是
A．①③ B．③④ C．② D．②③④
9．已知函数false对false，总有false，使false成立，则false的范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知false，false是虚数单位，若false，则false的值为________．
11．false的展开式的常数项为________．
12．设直线false与圆false相交于false，false两点，若false，则false________．
13．甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，则一次游戏摸出的白球不少于2个的概率为________．
14．已知false，false，false，且false，则false的最小值为________．
15．平行四边形false中，false，false为false上的动点，false，false，则false的最小值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文说明、证明过程或演算步骤．
16．false的内角false，false，false所对的边分别为false，false，false．已知false．
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）若false，且false的面积为false，求false及false．
17．如图，四棱锥false中，底面false为平行四边形，false底面false，false是棱false的中点，且false，false．
（Ⅰ）求证：false平面false；
（Ⅱ）求二面角false的大小；
（Ⅲ）如果false是棱false上一点，且直线false与平面false所成角的正弦值为false，求false的值．
18．椭圆false的离心率false，false．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）false，false分别是椭圆false的左，右顶点，false是椭圆false的上顶点，false是椭圆false上除顶点外的任意一点，直线false交false轴于点false，直线false交false于点false，设false的斜率为false，false的斜率为false．
证明：false为定值．
19．设false是各项均为正数的等差数列，false，false是false和false的等比中项，false的前false项和为false，false．
（Ⅰ）求false和false的通项公式；
（Ⅱ）设false，数列false的前false项和为false，使false为整数的false称为 “优数”，求区间false上所有“优数”之和．
（Ⅲ）求false．
20．已知false．
（Ⅰ）求false在false处的切线方程以及false的单调区间；
（Ⅱ）对false，有false恒成立，求false的最大整数解；
（Ⅲ）令false，若false两个零点分别为false且false为false的唯一的极值点，求证：false．
参考答案
1．B 2．A 3．D 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B
10．2 11．15 12．false 13．false 14．false 15．false
16【解】（Ⅰ）因为false，
所以由正弦定理可得false，
即false，
而false，所以false，故false．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知false，则false，
又false的面积为false，则false，false．
由余弦定理得false，解得false．
17．证明：（Ⅰ）连结false．
在false中，false，false，∴false，
∴false．
∵false，∴false．又∵false底面false，
∴false．
∵false，
∴false平面false．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则false，false，false，false，false．
∵false是棱false的中点，
所以false．
∴false，false．
设false为平面false的法向，
∴false，即false，令false，则false，
∴平面false的法向量false．
因为false平面false，
∴false是平面false的一个法向量．
∴false．
∵二面角false为锐二面角，∴二面角false的大小为false．
（Ⅲ）因为false是在棱false上一点，所以设false，false．设直线false与平面false所成角为false，∵平面false的法向量false，
∴false．
解得false，即false，false，∴false．
18．解析：（1）因为false，
所以false，false代入false得，
false，false，false．
故椭圆false的方程为false．
（2）证明：因为false，false不为椭圆顶点，则直线false的方程为false，①
把①代入false，解得false．
直线false的方程为false．②
①与②联立解得false．
由false，false，false三点共线知false，得false．
所以false的斜率为false
false，
则false（定值）．
19．【详解】（Ⅰ）解：设等差数列false的公差为false，
因为false，false是false和false的等比中项，
所以false，即false，
解得false，因为false是各项均为正数的等差数列，
所以false，故false，
因为false，所以false，
两式相减得：false，当false时，false，false，
false是以2为首项，2为公比的等比数列，false．
（Ⅱ）2036
（Ⅲ）∴false
false
false
∴false
两式相减得：
false
∴false，∴false．
20．【详解】解：（1）∵false
所以定义域为false
∴false；
false；false
所以切线方程为false；
false，
令false解得false
令false解得false
所以false的单调递减区间为false，单调递增区间为false．
（2）false等价于false；
∴false，
记false，false，所以false为false上的递增函数，
且false，false，所以false，使得false
即false，
所以false在false上递减，在false上递增，
且false；
所以false的最大整数解为3．
（3）false，false得false，
当false，false，false，false；
所以false在false上单调递减，false上单调递增，
而要使false有两个零点，要满足false，
即false；
因为false，false，令false，
由false，∴false，
即：false，
∴false
而要证false，
只需证false，
即证：false
即：false，false，false只需证：false，
令false，则false
令false，则false
故false在false上递增，false；
故false在false上递增，false；
∴false．