2020-2021学年八年级数学人教版下册《第18章平行四边形》章末综合复习提升训练（word版含答案）

2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》章末综合复习提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4
B．5
C．5.5
D．6
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN＝130°，则∠NMP的度数为（　　）
A．10°
B．15°
C．25°
D．40°
3．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形……，如此操作下去，那么，第6个三角形的直角顶点坐标为（　　）
A．（﹣，）
B．（﹣，）
C．（﹣，）
D．（﹣，）
4．如图，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝4，BD＝6，则OE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在?ABCD中，AB＝7，AC＝6，则对角线BD的取值范围是（　　）
A．8＜BD＜20
B．6＜BD＜7
C．4＜BD＜10
D．1＜BD＜13
6．如图，已知?ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，交AC于点F，且∠BCD＝60°，BC＝2CD，连接OE．下列结论：
①OE∥AB；
②S平行四边形ABCD＝BD?CD；
③AO＝2BO；
④S△DOF＝2S△EOF．
其中成立的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）
A．1
B．﹣1
C．
D．2﹣
8．四边形的四个角之比满足下列哪一个条件时，四边形是平行四边形（　　）
A．1：2：2：1
B．2：1：1：1
C．1：2：3：4
D．2：1：2：1
9．点A，B，C，D在同一平面内，从四个条件中（1）AB＝CD，（2）AB∥CD，（3）BC＝AD，（4）BC∥AD中任选两个，使四边形ABCD是平行四边形，这样的选法有（　　）
A．3种
B．4种
C．5种
D．6种
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝20°，则∠DFE等于（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
11．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
12．如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若AC＝6，则DE的长为（　　）
A．3
B．3
C．2
D．4
13．如图，在?ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（　　）
A．AM＝AN
B．MN⊥AC
C．MN是∠AMC的平分线
D．∠BAD＝120°
14．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．AD＝BC
D．AB＝CD
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE＝3，ED＝3BE，则AB的值为（　　）
A．6
B．5
C．2
D．3
16．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
17．如图，以正方形ABCD的边CD为边向正方形ABCD外作等边△CDE，AC与BE交于点F，则∠AFE的度数是（　　）
A．135°
B．120°
C．60°
D．45°
18．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，Rt∠MON的两边分别交边AB、BC于E、F两点，EF交OB于点G，则下列结论中错误的是（　　）
A．EF＝OE
B．四边形OEBF的面积：正方形ABCD的面积＝1：4
C．BE+BF＝OA
D．当AE＝时，△BEF的面积最大
19．四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，有以下结论：①AB＝BC；②∠DAB＝90°；③BO＝DO，AO＝CO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．下列推论不正确的是（　　）
A．由②③，得④
B．由①③，得⑤
C．由①②，得⑥
D．由①④，得⑥
二．填空题（共9小题）
20．如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，则图中阴影部分的面积为　
　cm2．
21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝　
　
22．已知在直角坐标系中有A、B、C、D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为（0，2），（﹣1，0），（2，0），则当点D的坐标为　
　时，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
23．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝2，则CE的长为　
　
24．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P是BC上的点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，则PF+PE＝　
　．
25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是斜边AB上任意一点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，点Q是EF的中点，则线段DQ长的最小值等于　
　．
26．如图，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，E是BD上一点，过点D作DF⊥CE于F，交OC于G，过点E作EH⊥BC于H，已知正方形ABCD的边长为2，∠ECH＝30°，则线段CG的长为　
　．
27．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有　
　（只填写序号）
28．如图，两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，相交成锐角α，且两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，则锐角α的度数　
　．
三．解答题（共4小题）
29．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H分别是DE、BE、BC的中点．
（1）求∠FGH度数；
（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．
30．已知：如图，在?ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求四边形DEBF的周长和面积．
31．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
（1）求证：四边形AECF为矩形；
（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．
32．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点C、A分别在x、y轴上，A（0，6），E（0，2），点H、F分别在边AB、OC上，以H、E、F为顶点作菱形EFGH．
（1）当H（﹣2，6）时，求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若F（﹣5，0），求点G的坐标．
参考答案
1．解：∵∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，
∴AC＝＝5，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝，EC＝AC＝，DE∥BC，
∴∠FCM＝∠EFC，
∵CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，
∴∠FCM＝∠FCE，
∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC＝，
∴DF＝DE+EF＝4，
故选：A．
2．解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PM＝AB，PN＝DC，PM∥AB，PN∥DC，
∵AB＝CD，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵∠MPN＝130°，
∴∠PMN＝＝25°．
故选：C．
3．解：由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；
第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；
第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
第6个三角形的直角顶点坐标：（﹣，）；
故选：A．
4．解：如图，过A作AF⊥BC于F．
∵AC＝4，BD＝6，四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝3，
∵AB＝，
∴AB2+AO2＝BO2，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△BAC中，BC＝＝．
∵S?ABCD＝AB×AC＝BC×AF，
∴×4＝AF，
∴AF＝，
∵OE⊥BC，AF⊥BC，
∴OE∥AF，
∴OE＝AF＝．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝7，AC＝6，
∴OA＝OC＝AC＝3，
在△AOB中，
∵AB﹣OA＜OB＜AB+OA，
∴4＜OB＜10，
∵BD＝2OB，
∴BD的取值范围是8＜BD＜20．
故选：A．
6．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝60°＝∠BCD，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD，
∵BC＝2CD，
∴BE＝CE，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB；
故①正确；
②∵△DEC是等边三角形，
∴∠DEC＝60°＝∠DBC+∠BDE，
∵BE＝EC＝DE，
∴∠DBC＝∠BDE＝30°，
∴∠BDC＝30°+60°＝90°，
∴BD⊥CD，
∴S平行四边形ABCD＝BD?CD；
故②正确；
③设AB＝x，则AD＝2x，则BD＝x，
∴OB＝，
由勾股定理得：AO＝＝x，
故③不正确；
④∵AD∥EC，
∴DF＝2EF，
∴S△DOF＝2S△EOF．
故④正确；
故选：C．
7．解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝2，
在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
故选：C．
8．解：
平行四边形的判定定理之一是：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
即当∠A＝∠C，∠B＝∠D时，四边形ABCD是平行四边形，
A、∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：2：1，
∴∠A≠∠C，∠B≠∠D，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故本选项错误；
B、∵∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：1：1，
∴∠A≠∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故本选项错误；
C、∵∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：4，
∴∠A≠∠C，∠B≠∠D，
∴四边形ABCD不是平行四边形，故本选项错误；
D、∵∠A：∠B：∠C：∠D＝2：1：2：1，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
故选：D．
9．解：任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（1）（2）；（3）（4）；（1）（3）；（2）（4）共四种．
故选：B．
10．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB的中点，
∴BE＝CE，
∵∠B＝20°
∴∠ECB＝∠B＝20°，
∵AD＝BD，∠B＝20°，
∴∠DAB＝∠B＝20°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝20°+20°＝40°，
∴∠DFE＝∠ADC+∠ECB＝40°+20°＝60°，
故选：D．
11．解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
而∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD，
在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2，
∴DH＝，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF，
∴∠2＝∠1，DE＝DF
∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴EF＝DE，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为．
故选：D．
12．解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝3．
故选：A．
13．解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠DAB＝∠DCB，AB＝CD，AD＝BC，
∵AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCN＝∠DCB，∠BAM＝∠BAD，
∴∠BAM＝∠DCN，
在△ABM和△CDN中
，
∴△ABM≌△CDN（ASA），
∴AM＝CN，BM＝DN，
∵AD＝BC，
∴AN＝CM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
A、∵四边形AMCN是平行四边形，AM＝AN，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
B、∵MN⊥AC，四边形AMCN是平行四边形，
∴平行四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
C、∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥BC，
∴∠MNA＝∠CMN，
∵MN是∠AMC的平分线，
∴∠NMA＝∠NMC，
∴∠MNA＝∠NMA，
∴AM＝AN，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴四边形AMCN是菱形，故本选项错误；
D、根据∠BAD＝120°和平行四边形AMCN不能推出四边形是菱形，故本选项正确；
故选：D．
14．解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵BE：ED＝1：3，
∴BE：OB＝1：2，
∵AE⊥BD，
∴AB＝OA，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AE⊥BD，AE＝3，
∴AB＝2，
故选：C．
16．解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：D．
17．解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AB＝AD，∠BAF＝∠DAF．
∴△ABF与△ADF全等．
∴∠AFD＝∠AFB．
∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB．
∵∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°+60°＝150°，
∴∠CBE＝15°．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AFB＝∠ACB+∠CBE＝60°．
∴∠AFE＝120°．
故选：B．
18．解：∵正方形ABCD对角线交于O点
∴OB＝OC，∠EBO＝FCO＝45°，∠BOC＝90°
∵∠MON＝90°
∴∠EOB＝∠FOC
∴△EOB≌△FOC（ASA）
∴OE＝OF，BE＝FC，△EOB与△FOC面积相等；
∴△EOF为等腰直角三角形，选项A可证；
∴S四边形OEBF＝S△OEB+S△BOF＝S△BOC选项B可证；
∴BE+BF＝FC+BF＝BC≠OA，选项C排除；
设BE＝x，则S△BEF＝x（1﹣x）＝
所以，当x＝时，S△BEF最大，选项D可证；
故选：C．
19．解：只有C选项符合题意，选项A、B、D都不符合题意，
理由是：四边形ABCD中，AB＝BC，∠DAB＝90°，无法得到四边形ABCD是正方形．
故选：C．
20．解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝16cm2，S△BQC＝25cm2，
∴S四边形EPFQ＝41cm2，
故答案为：41．
21．解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
22．解：如图所示：
故答案为：（3，2）、（﹣3，2）、（1，﹣2）．
23．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，
∴OB＝BD＝3，
∴OC＝OA＝，
∴AC＝2OA＝6，
∵点E在AC上，OE＝2，
∴当E在点O左边时CE＝OC+2＝5，
当点E在点O右边时CE＝OC﹣2＝，
∴CE＝5或；
故答案为：5或．
24．解：连接OP，
∵矩形ABCD的两边AB＝3，BC＝4，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，
∴S△BOC＝S矩形ABCD＝×6×8＝12，OB＝OC＝AC＝5，
∴S△BOC＝S△OBP+S△OCP＝OB?PE+OC?PF＝OB（PE+PF）＝12，
∴PE+PF＝．
故答案为：．
25．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
连接CD，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形EDFC是矩形，
∴EF＝CD，∠EDF＝90°，
∵点Q是EF的中点，
∴DQ＝EF＝CD，
当CD最小时，则DQ最小，
根据垂线段最短可知当CD⊥AB时，则CD最小，
∴DQ＝EF＝CD＝×＝2.4，
故答案为：2.4．
26．解：四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COE＝90°，
∴∠OEC+∠OCE＝90°，
∵DF⊥CE，
∴∠OEC+∠ODG＝90°，
∴∠ODG＝∠OCE，
在△DOG和△COE中
∴△DOG≌△COE（ASA），
∴OE＝OG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，
∴CG＝BE，
∵四边形BACD是正方形，
∴∠OBC＝45°，
∵EH⊥BC，
∴∠BHE＝∠CHE＝90°，
∴BH＝HE，
设BH＝HE＝x，
∵∠ECH＝30°，
∴CH＝EH＝x，
∵BC＝2，
∴x+x＝2
解得：x＝﹣1，
即BH＝EH＝﹣1，
在Rt△BHE中，由勾股定理得：BE＝＝﹣，
∴CG＝BE＝﹣，
故答案为：﹣．
27．解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，故②正确；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，
∴若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．
故答案为：①②③④．
28．解：过点D作DE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，
∴∠DEC＝∠BFC＝90°，
∵两张宽度均为3cm的纸条交错叠放在一起，
∴AD∥BC，AB∥CD，BF＝DE＝3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DCE＝∠BCF，
∴△DEC≌△BFC（AAS），
∴BC＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵两张纸片中重叠部分的面积为9cm2，
∴BC?DE＝9，
∴BC＝CD＝3（cm），
∵∠DCE＝∠α，
∴∠α＝45°．
故答案为：45°．
29．解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG．
∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°．
（2）如图所示：连接FM、HM．
∵M、H分别是BC和DC的中点，
∴MH∥BD，MH＝．
同理：GF∥BD，GF＝．
∴四边形FGHM为平行四边形．
∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，
∴GH＝＝3，，
由（1）可知：∠FGH＝90°，
∴四边形FGHM为矩形．
∴∠GHM＝90°．
∴GM＝＝5．
30．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF
即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝2，
∴四边形DEBF的周长＝2（BE+DE）＝2（4+2）＝12，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴DG＝2，
∴四边形DEBF的面积＝BE×DG＝2×2＝4．
31．（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）＝×180°＝90°，
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．
（2）结论：MN∥BC且MN＝BC．
证明：∵四边形AECF为矩形，
∴对角线相等且互相平分，
∴NE＝NC，
∴∠NEC＝∠ACE＝∠BCE，
∴MN∥BC，
又∵AN＝CN（矩形的对角线相等且互相平分），
∴N是AC的中点，
若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，
则M1N是△ABC的中位线，MN∥BC，
而MN∥BC，M1即为点M，
所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM＝BM）
∴MN＝BC；
法二：延长MN至K，使NK＝MN，
因为对角线互相平分，
所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC＝AM因为MN∥BC，
所以MBCK是平行四边形，MK＝BC，
所以MN＝BC
（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB＝90°）．
理由：∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥EF，
∵EF∥AC，
∴AC⊥CB，
∴∠ACB＝90°．即△ABC是直角三角形．
32．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，
∵E（0，2），H（﹣2，6），
∴AH＝OE＝2，
∵四边形EFGH是菱形，
∴EH＝EF，
在Rt△AHE和Rt△OEF中，
，
∴Rt△AHE≌Rt△OEF，
∴∠AEH＝∠EFO，
∵∠EFO+∠FEO＝90°，
∴∠AEH+∠FEO＝90°，
∴∠HEF＝90°，∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG交FH于K．
∵HE＝EF，
∴AH2+AE2＝EO2+OF2，
∴AH2+16＝4+25，
∴AH＝，
∴H（﹣，6），
∵KH＝KF，
∴K（﹣，3），
∵GK＝KE，
∴G（﹣5﹣，4）．