2020-2021学年沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理单元基础练试题（word版含答案）

2020-2021学年沪科版八年级数学下册第18章
勾股定理单元基础练试题
一、单选题
1．下列各组数是勾股数的一组是（
）
A．7，24，25
B．，，
C．1.5，2，2.5
D．32，42，52
2．中，、、的对边分别为、、，若，则有（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，腰AC长4，那么点C的坐标是（
）
A．（2，1）
B．（2，2）
C．（2，2）
D．（1，2）
4．如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB=5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（
）
A．26
B．13+
C．13
D．2
5．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（
）
A．
B．
C．-
D．-
6．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（
）
A．
B．
C．
D．
7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（
）
A．
B．
C．
D．
8．四边形中，，则的值为（
）
A．15
B．
C．
D．20
9．如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，P
是等边三角形
ABC
内的一点，且
PA＝3，PB＝4，PC＝5，以
BC
为边在△ABC
外作△BQC≌△BPA，连接
PQ，则以下结论中正确有（
）
①△BPQ
是等边三角形
；
②△PCQ
是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°；
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②④
二、填空题
11．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为_____．
12．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝5，则△ABC的面积为_____．
13．已知直角坐标平面内的点，和，那么的形状是______．
14．如图，点E在正方形ABCD内，AE＝6，BE＝8，AB＝10，则阴影部分的面积为___________．
15．在锐角三角形ABC中，，，BD平分．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则的最小值是____．
16．在平面直角坐标系中，己知y轴上一点，A为x轴上的一动点，连接，以为边作等边如图所示，连接，则的最小值是________．
三、解答题
17．已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°．
试求：（1）四边形ABCD的面积．（结果保留根号）
（2）∠BAD的度数．
18．已知等边，AB=BC=6，建立如图所示的直角坐标系，点B和坐标原点O重合，边BC在x轴上，求点A，C的坐标.
19．如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
20．如图，在中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）求的长．
21．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）若，，求的长．
22．如图1，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，∠ABC＝45°，FD＝CD．
（1）请写出BE与AC的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，连接DE，求证：∠BED＝∠DEC；
（3）若AD＝4，CD＝2，在直线BC上方的平面内是否存在点P，使得△BFP为等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P到直线BC的距离．
参考答案
1．A
解：A、72+242=252，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项符合题意；
B、，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
C、1.5，2.5，不是正整数，不是勾股数，此选项不合题意；
D、92+162≠252，不是勾股数，不合题意．
故选：A．
2．A
，
∴是直角三角形，且，
故选：A．
3．C
解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB==AC=4，AD=BD=AB=2，
∴CD=AB=AD=2，
∴点C的坐标是（2，2），
4．B
解：如图，
根据题意，AB=CD=5，AC=BD=，
∵P点位于圆周顶面处，
∴DP=BD=6，则BP=BD-DP=12，
∴小虫爬行的最短路程．
故选：B．
5．A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=6，AB=DC=3，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
∴DM=AD-AM=AD-CM=6-CM，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，
（6-CM）2+32=CM2，
解得：CM=，
6．D
解：如图，设正方形A、B、C、D、E、F的边长分别为a、b、c、d、x、f
所有的三角形都是直角三角形
由勾股定理可得，，
S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64
S正方形A+S正方形B+
S正方形C+S正方形D+
S正方形E+S正方形F+82
=2（S正方形E+S正方形F）+64
=264+64
=192（cm2）
所有的正方形的面积和是192cm2
7．D
解：设折断处离地面的高度为尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：，
8．D
解：如图，把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CE，作EM⊥CD于M，
则AC=AE=，∠CAE=90°，∠ADE=∠ABC，DE=BC=12，
在Rt△ACE中，CE=，
∵∠BAD=90°，∠BCD=30°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-30°-90°=240°，
∴∠ADE+∠ADC=240°，
∴∠CDE=120°，即∠EDM=60°，
∴在Rt△EDM中，∠DEM=30°
∴，
在Rt△CEM中，设CD=x，则CM=6+x
∴，解得：（舍去），
∴CD=20
故选：D
9．A
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，
∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，
∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，
∴AC?BC＝AB?CE，
∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，
∴DF＝EF﹣ED＝
∴B′F＝．
选：A．
10．C
解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，
PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
②PQ=PB=4，
PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
④∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
11．40．
解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝30，AP＝AB＝50，
∴PG＝40，
∴BG＝80，
∴PB＝＝＝40．
故这只蚂蚁的最短行程应该是40．
故答案为：40．
12．6＋8．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，
∵AB＝8，∠B＝30°，
∴AD＝4，BD＝．
在Rt△ACD中，
∵AC＝5，AD＝4，
∴CD＝＝3，
∴S△ABC＝BC×AD＝×（3＋）×4＝6＋．
故答案为：6＋8．
13．等腰直角三角形．
解：∵各点坐标分别是，和
，根据题意，如下图所示
则：，，
，
∴，，
∴的形状是等腰直角三角形，
故答案是：等腰直角三角形．
14．76
在△ABE中，∵AE=6，BE=8，AB=10，62+82=102，
∴△ABE是直角三角形，
∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE
=AB2﹣×AE×BE
=100﹣×6×8
=76．
15．4
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点F，过点F作FH⊥BC于点H，如图所示：
∵BD平分，
∴，
∴由三角形三边不等关系可得：，即CE的长为的最小值，
∵，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为4；
16．3
解：如图所示，在第二象限以OB为边长作等边△BOD，连接OD，并作直线BD，延长BD交x轴于点B'．
∵等边△ABC、等边△BOD
∴AB＝BC，BO＝BD，∠CBA＝∠OBD＝60°
∴∠OBA＝∠CBD
在△BAO和△BCD中
∴△BAO≌△BCD（SAS）
∴∠AOB＝∠BDC＝90°
∴CD⊥BD
∴点C随着点B的运动形成的图形是直线CD
∵∠BOB'＝90°，∠OBD＝60°
∴∠BB'O＝30°
∴OB＝BB'
∴BD＝OB＝BB'
∴点D是BB'的中点
∵CD⊥BD
∴CD是BB'的中垂线
∴BC＝B′C
∴BC+OC＝B'C+OC
又∵点C在直线CD上运动，所以点O、C、B'三点共线时，B'C+OC的值最小，最小值为OB'的长．
在R△BOB'中，∠BOB'＝90°，∠OBD＝60°，OB＝,
BB'=2，OB′＝，
∴BC+OC的最小值为3．
17．解：（1）连接，
，，
，
又，，
，
即，
，
．
（2），
，
．
18
解：∵AB=BC=6，边BC在x轴正半轴上，
∴
C（6，0）；
过点A作AD⊥OC于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴OD=CD=，OA=BC=6
，
在Rt△AOD中，AD=
，
∴A（3，3）
故点A的坐标为A（3，3），点C的坐标为C（6，0）.
19．
解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
20．
解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，
∴AD＝．
（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝6，
∴AC＝．
21．
解：（1）由题意得：∠BEF=∠DEF；
∵四边形ABCD为长方形，
∴DE∥BF，
∴∠BFE=∠DEF，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF；
（2）∵四边形ABCD为长方形，
∴∠ABF=90°；而∠ABE=18°，
∴∠EBF=90°-18°=72°；
又∵BE=BF，
∴∠BFE的度数=
，
（3）由题意知：BE=DE；
设AE=x，则BE=DE=8-x，
由勾股定理得：
（8-x）2=62+x2，
解得：，
即AE的长为．
22
（1）证明：如图①中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴BD＝DA，
∵DF＝DC，∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△BDF≌△ADC（SAS）．
∴∠DAC=∠CBE，
∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠BDF＝∠AEF＝90°，
∴BE⊥AC．
（2）解：如图，过点D作DM⊥AC，DN⊥BE，
∵△BDF≌△ADC，
∴BF=AC，，
∴DM=DN，
∴ED平分∠BEC，
∴∠BED＝∠DEC；
（3）解：如图2－1中，满足条件的点P有3个．
在Rt△ADC中，
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝，
∵△BDF≌△ADC，
∴BF＝AC＝，DF＝DC＝2，BD＝AD＝4，
当∠PBF＝90°，BP＝BF时，作PM⊥CB交CB的延长线于M．
易证△PMB≌△BDF，
∴PM＝BD＝4，
∴点P到直线BC的距离为4；
当∠P′FB＝90°，P′F＝BF时，作P′H⊥BC于H，FG⊥P′H于G．
易证：P′G＝BD＝4，GH＝DF＝2，
∴P′H＝4＋2＝6，
∴P′到直线BC的距离为6；
当∠BP″F＝90°，BP″＝FP″时，作P″N⊥BC于N．
易证P″N＝＝3，
∴P″到直线BC的距离为3，
综上所述，满足条件的点P到直线BC的距离为4或6或3．
试卷第1页，总3页