2020-2021学年北师大版数学七年级下册突破极易混淆的乘法公式：1.5平方差公式 （word版，含答案）

数学七下-突破极易混淆的乘法公式:平方差公式解析训练
在整式乘法中，同学们最容易混淆的是完全平方公式和平方差公式，为此，在期中考试前，我们对公式作一个认真的解读，防止再混淆！本讲重点是平方差公式．
一、概念剖析
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a?－b?
文字叙述：两数之和与两数之差的乘积等于这两个数的平方差．
口诀：同?－反?．
解读：
1、等式左边是两个二项式的积，其中有一项a完全相同，另一项b和－b互为相反数，即一同一反．
2、等式右边是这两项的平方差．
二、基本计算
例1：下列能否用平方差公式进行计算，如能，写出结果．
(1)(x－y)(x＋y)
(2)(a＋b)(a－c)
(3)(－m＋n)(－m－n)
(4)(－a＋5)(a－5)
(5)(2x?－y)(y＋2x?)
例2：计算(1)(－2－5x)(－5x＋2)??
(2)(－2－5x)(5x－2)
例3：根据平方差公式填空
(1)( )(b-a)=a?- b?
(2)(- 3x- 2)( )=4- 9x?
(3)(a+3b)（ —_ )=9b?-a?
(4)(__ —1)(2x?— ）=1— .
三、简便计算
例1：100.2×99.8
变式：2016?－2017×2015
例2：利用平方差公式求(2+ 1)(2?+ 1)(24+ ----- (264+ 1)的值.
变式：计算(3+1）（3?+1）（34+1）……（3128+1）的值
例3：(x＋ay)(x－ay)＝x?－16y?，a＝______．
变式：(2a＋2b＋1)(2a＋2b－1)＝63，求a＋b的值．
四、复杂运算
例1：(2x+ 3)?(2x- 3)?
变式：（m- 2n)2(- m- 2n)2
例2：(x＋y－4)(x－y－4)
变式：(3a＋b－2)(3a－b＋2)
五、逆向运算
例1：76?－24?
变式：(2x＋3)?－(2x－3)?
例2：a－2b＝1，求a?－4b?－4b的值.
答案：
二、基本计算
例1：分析：要用平方差公式计算，则必须关注等式左边的二项式乘积中，要满足一同一反．然后再利用公式，同?－反?．
解答：(1)能，x?-y?
(2)不能
(3)能，(一 m)? -n?
(4)不能，两反
(5)能，(2x?)?-y?
例2：分析：与例1类似，找出相同的项是关键，我们在计算时可以先划出，不容易错．
解答：(1)原式=(- 2-5x)(-5x+ 2)
=(一5x)?- 2?=25x? - 4
(2)原式=(-2- 5x)(5x- 2)
=(一2)?- (5x)?=4- 25x?
例3：分析：根据口诀，同?－反?，就要关注等式右边谁是同?，从而根据左边已知的项，确定相同的项，进而得出相反的项．
解答：(1)根据同?为a?,有一项为-a,则确定相同项为-a.
(-b-a)(b-a)=a?- b?
(2)根据同?为4,有一项为-2,则确定相同项为-2.
(- 3x- 2)(3x- 2)=4- 9x?
(3)根据同为9b?,有一项为3b,则确定相同项为3b .
(a+ 3b)(3b- a)=9b2- a2
(4)根据同?为1,有一项为- 1,则确定相同项为-1.
(- 2x?- 1)(2x?- 1)=1- 4x?
三、简便计算
例1：分析：本题中，100.2可以看作100＋0.2，99.8可以看作100－0.2，则可以利用平方差公式简算．
解答：原式＝(100＋0.2)×(100－0.2)
＝100?－0.2?
＝10000－0.04
＝9999.96
变式：分析：本题与例1如出一辙，但需要注意的是，写成同2－反2后，去括号要变号．
解答：原式＝2016?－(2016＋1)×(2016－1)
＝2016?－(2016?－1)
＝1
例2：分析：要用平方差公式，必然写成(a＋b)(a－b)形式，而这里没有，就需要添上，每两项的积运用公式计算．
解答：原式=（2-1）（2+1）（2?+1）（24+1）……（264+1）
=（2?-1）（2?+1）（24+1）……（264+1）
=（24-1）（24+1）……（264+1）
=2128-1
变式：分析：本题类似例2，但添了(3－1)后，相当于整个式子扩大了2倍，因此还要再除以2．
解答：原式=0.5X(3-1)(3+1)(3?+1)(34+1）……(3128+1)
=0.5X(3128-1)(31128+1)
=
例3：分析：本题看似简单，实则很容易出错，很多同学脱口而出，4．但别忘了，应为两解．
答案：±4
变式：分析：本题与例3如出一辙，利用平方差公式计算，得到2a＋2b整体的平方的值，再算a＋b的值，同样需要两解．
解答：(2a＋2b)?－1＝63，
?2a＋2b＝±8，a＋b＝±4．
四、复杂运算
例1：分析：如果我们把2x＋3看作a，2x－3看作b，则问题可转化为求a?b?的值，这时可以想到先逆用积的乘方法则，把它转化为(ab)?，则根据一同一反再用平方差公式，最后用完全平方公式．
解答：原式=[(2x+ 3)(2x- 3)]?
=(4x?- 9)?
二16x4- 72x?+ 81
变式：分析：本题与上例类似，注意用平方差公式时，相同项是－2n，当然也可先换底．
解答：原式=[(m- 2n)(- m- 2n)]2
=[(- 2n)2 - m2]2
=(4n2 - m2)2
= 16n4- 8n2m2 + m4
例2：分析：本题中，每个括号内有三项，我们找到其中相同的项作整体，相反的项作整体，即可用平方差公式，最后依然需要完全平方公式．
解答：原式＝(x＋y－4)(x－y－4)
? ? ? ?＝(x－4)?－y?
? ? ? ?＝x?－8x＋16－y?
变式：分析：本题如法炮制，但需要注意的是，b－2与－b＋2整体互为相反数，体现一同一反时，需要加上括号．
解答：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)?－(b－2)?
＝9a?－(b?－4b＋4)
＝9a?－b?＋4b－4
五、逆向运算
例1：分析：本题很多同学做的很烦，但是我们关注到所求问题是一个平方差的形式，那么可以想到逆用平方差公式．
解答：原式＝(76＋24)×(76－24)
? ? ? ?＝100×52＝5200
变式：分析：千万注意，本题与复杂运算的例1是不一样的，本题中间有一个减号，差距很大．应该逆用平方差公式计算，当然，将两个完全平方公式展开做也可．
解答：原式＝[(2x＋3)＋(2x－3)]·[(2x＋3)－(2x－3)]
? ? ? ?＝4x·6
? ? ? ?＝24x
例2：分析：显然，本题无法求出a和b的值，必然只能利用整体思想，联想到a?－4b?是平方差形式，则逆用之．
解答：a?-4b?-4b
=(a+ 2b)(a- 2b)-4b
当a- 2b=1时，原式=a+ 2b-4b=a- 2b=1.