(共47张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【情境探究】
1.观察棱柱、棱锥、棱台(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)的表面展开图,各几何体的表面积与展开图中的各部分平面图形的面积有何关系?
提示:各几何体的表面积等于展开图中各部分平面图形的面积之和.
必备知识生成
2.棱柱、棱锥、棱台的高分别指什么?
提示:棱柱的高是指两底面之间的距离;棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离;棱台的高是指两底面之间的距离.
3.一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积是否确定?
提示:不同的展开方式,几何体的平面展开图不一定相同;表面积是各个面的面积和,几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.
4.棱柱、棱锥、棱台的体积与这些几何体的哪些量有关?
提示:它们的体积与这些几何体的底面积和高有关.
【知识生成】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是_____________________面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表
面积就是___________________面积的和.
围成多面体的各个面的
围成它们的各个面的
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
说明
棱柱
V棱柱=___
S为棱柱的底面积,h为棱柱的高
棱锥
V棱锥=______
S为棱锥的底面积,h为棱锥的高
棱台
V棱台=______________
S′,S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高
Sh
关键能力探究
探究点一 求棱柱、棱锥、棱台的表面积
【典例1】已知正四棱锥底面边长为4,高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积.
【思维导引】根据多面体的侧面积公式,可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高,进而由公式求解.
【解析】如图所示,设正四棱锥的高为PO,斜高为PE,底面边心距为OE,
它们组成一个直角三角形POE.
因为OE=
=2,∠OPE=30°,
所以PE=
=4.
所以S正四棱锥侧=
ch′=
×(4×4)×4=32,
S表面积=42+32=48.
即该正四棱锥的侧面积是32,表面积是48.
【类题通法】
棱锥的表面积求法
(1)要求锥体的侧面积及表面积,要利用已知条件寻求公式中所需的条件,一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量.
(2)空间几何体的表面积运算,一般是转化为平面几何图形的运算,往往通过解三角形来完成.
提醒:(1)多面体的侧面积是各个侧面的面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
【定向训练】
1.正三棱锥的底面边长为a,高为
a,则此棱锥的侧面积等于
( )
【解析】选A.如图,在三棱锥S-ABC中,AB=a,SO=
a,
于是OD=
·AB·sin
60°=
a,从而SD=
故三棱锥的侧面积为S=
2.一个正四棱柱的体对角线的长是9
cm,全面积等于144
cm2,则这个棱柱的侧面积为________
cm2.?
【解析】设底面边长,侧棱长分别为a
cm,l
cm,
所以S侧=4×4×7=112(cm2)或S侧=4×6×3=72(cm2).
答案:112或72
【补偿训练】
1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
【解析】如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
对角线A1C=15,B1D=9,
所以a2+52=152,b2+52=92,所以a2=200,b2=56.
因为该直四棱柱的底面是菱形,
所以AB2=
所以AB=8.所以直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
2.若正方体的棱长为
,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表
面积为
( )
【解析】选B.所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1,高为
的四棱锥
的侧面积之和,如图,四棱锥的侧棱长l=
=1,
所以以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积:
S=8×
×1×1×sin
60°=2
.
探究点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
【典例2】如图所示,在长方体ABCD
-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C
-A′DD′,求棱锥C
-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
【思维导引】先求出棱锥的体积,再求得剩余部分的体积,最后求得体积之比.
【解析】方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,
则长方体ABCD
-A′B′C′D′的体积V=abc,
又S△A′DD′=
bc且三棱锥C
-A′DD′的高为CD=a.
所以V三棱锥C
-A′DD′=
S△A′D′D·CD=
abc.
则剩余部分的几何体体积V剩=abc-
abc=
abc.
故V棱锥C
-A′DD′∶V剩=
abc∶
abc=1∶5.
方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,
设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.而棱锥C
-A′DD′
的底面面积为
S,高为h,
因此棱锥C
-A′DD′的体积VC
-A′DD′=
×
Sh=
Sh.
剩余部分的体积是Sh-
Sh=
Sh.
所以棱锥C
-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为
Sh∶
Sh=1∶5.
【类题通法】求几何体体积的常用方法:
【知识延拓】
如图,三棱台ABC
-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1
-ABC,三棱锥B
-A1B1C,三棱锥C
-A1B1C1的体积之比.
【思路探究】
【解析】设棱台的高为h,S△ABC=S,则
=4S.
【规律方法】三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥,分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系,割补法在立体几何中是一种重要的方法.
【定向训练】
1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为
( )
A.48 B.64 C.16 D.96
【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,所以a=4.所以其体积V=a3=43=64.
2.如图,在棱长为a的正方体ABCD
-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d.
【解析】在三棱锥A1-ABD中,AA1⊥平面ABD,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=
a,
探究点三 简单几何体的表面积和体积
【典例3】如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥
AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.
【思维导引】将几何体分割成两个棱锥求解.
【解析】如图,连接EB,EC,AC.
=
×42×3=16.
因为AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.
【类题通法】
割补法是求不规则几何体体积的常用求法,解此类题时,分割与补形的原则是分割或补形后的几何体是简单几何体,且体积易求.
【知识延拓】
三棱锥体积公式的推导
已知三棱锥A1-ABC的底面积为S,高为h,则
=
Sh.
把三棱锥①以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥,就是三棱锥①和另两个三棱锥②,③.
三棱锥①,②的底△ABA1、△B1A1B的面积相等,高也相等(顶点都是C);三棱锥
②,③的底△BCB1、△C1B1C的面积相等,高也相等(顶点都是A1),所以V①=V②=
V③,
因为V三棱柱=Sh.所以V三棱锥=
Sh.
【方法总结】求组合体表面积和体积的关键
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长,再分别代入公式求解.
【定向训练】
1.如图,某几何体下面部分为正方体ABCD
-A′B′C′D′,上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为______.?
【解析】V正方体=23=8,VS-ABCD=
×22×(5-2)=4.
V=V正方体+VS-ABCD=12.
答案:12
2.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD
-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6
cm,AA1=4
cm,3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.?
【解析】S四边形EFGH=4×6-4×
×2×3=12(cm2),
V=6×6×4-
×12×3=132(cm3).
m=ρV=0.9×132=118.8(g).
答案:118.8
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.数学抽象：棱柱、棱锥、、棱台的体积公式；
2.数学运算：求多面体或多面体组合体的表面积和体积；
3.数学建模：运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
棱锥
棱台
棱柱
棱柱、棱锥、棱台的体积
各面面积之和
棱柱、棱锥、棱台
展开图
求多面体表面积1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．
求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
课堂素养达标
1.若长方体的长、宽、高分别为3
cm,4
cm,5
cm,则长方体的体积为( )
A.27
cm3
B.60
cm3
C.64
cm3
D.125
cm3
【解析】选B.V长方体=3×4×5=60(cm3).
2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为
( )
A.6
B.12
C.24
D.48
【解析】选D.正四棱锥的斜高h′=
=4,S侧=4×
×6×4=48.
3.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是
( )
【解析】选A.如图所示,正方体的A′、C′、D、B四个顶点可构成一个
正四面体,设正方体棱长为a,
则正四面体棱长为
a.所以正方体表面积S1=6a2,正四面体表面积为S2=
4.如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积是______.
?
【解析】易知该几何体是正四棱锥.设正四棱锥为P-ABCD,连接BD,
则PD=PB=1,BD=
,则PD⊥PB.
设底面中心为O,则四棱锥的高PO=
,则其体积是V=
答案:
5.如图,已知ABCD
-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.
【解析】(共52张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【情境探究】
1.观察下面几个几何体的侧面展开图:
必备知识生成
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么图形?
提示:它们的侧面展开图分别为矩形、扇形、扇环.
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积与其侧面展开图的面积有何关系?
提示:它们的侧面积分别等于侧面展开图的平面图形面积.
2.底面半径和高都是R的圆锥和圆柱的体积分别是什么?根据这些你猜想半球的体积是什么?
提示:圆锥的体积V=
πR3,
圆柱的体积V=πR3,
猜想半球的体积V=
πR3.
3.如图,以“小球面片”为底,球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥,那么这些小棱锥的底面和高近似地看成什么?它们的体积之和近似地等于多少?
提示:小棱锥的底面可近似地看成小平面四边形面,高近似地等于半径,体积之和近似地等于球的体积.
【知识生成】
1.圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱=2πr(r+l),
r为_________,
l为_______
圆锥
S圆锥=πr(r+l),
r为_________,
l为_______
底面半径
母线长
底面半径
母线长
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆台
S圆台=π(r′2+r2+r′l
+rl),
r′为___________,
r为___________,
l为_______
上底面半径
下底面半径
母线长
2.柱体、锥体、台体的体积公式
其中S′,S分别表示上、下底面的面积,h表示高,r′和r分别表示上、下底面圆的半径,R表示球的半径.
名称
体积(V)
柱体
棱柱
___
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
____
圆锥
πr2h
台体
棱台
__________
圆台
_____________
Sh
3.球的表面积与体积公式
(1)球的体积公式:V=
_____(R为球的半径).
(2)球的表面积公式:S=_____(R为球的半径).
πR3
4πR2
关键能力探究
探究点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
【典例1】(1)过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体
积之比是
( )
A.1∶1
B.1∶6
C.1∶7
D.1∶8
(2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6,且侧面面积等于两底面面积之和.
①求圆台的母线长.
②求圆台的表面积.
【思维导引】利用轴截面中平行线分线段成比例求体积.
【解析】(1)选C.如图,设圆锥底面半径OB=R,高PO=h,因为O′为PO中点,所以
PO′=
,
因为
=
=
,
所以O′A=
,所以V圆锥PO′=
π·
·
=
πR2h.
V圆台O′O=
·
·
=
πR2h.
所以
=
.
(2)①设圆台的母线长为l,则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62,
所以8πl=40π,所以l=5,所以该圆台的母线长为5.
②由(1)可得圆台的表面积为S=π×(2+6)×5+π·22+π×62=40π+4π+36π=80π.
【类题通法】旋转体的表面积与体积求法
1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
【定向训练】
圆台的母线长为8
cm,母线与底面成60°角,轴截面的两条对角线互相垂直,求圆台的表面积.
【解析】如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1,
其中∠A1AB=60°,过A1作A1H⊥AB于H,
则O1O=A1H=A1A·sin
60°=4
(cm),
AH=A1A·cos
60°=4(cm).
设O1A1=r1,OA=r2,
则r2-r1=AH=4.①
设A1B与AB1的交点为M,则A1M=B1M.
又因为A1B⊥AB1,所以∠A1MO1=∠B1MO1=45°.
所以O1M=O1A1=r1.同理OM=OA=r2.
所以O1O=O1M+OM=r1+r2=4
,②
由①②可得r1=2(
-1),r2=2(
+1).
所以S表=π
+π
+π(r1+r2)l=32(1+
)π(cm2).
【补偿训练】
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”若圆周率约为3,估算出堆放的米约有______立方尺.( )?
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设米堆所在圆锥的底面半径为r尺,
则
×2πr=8,解得:r=
,
所以米堆的体积为V=
×
×πr2×5=
≈
(立方尺),
所以堆放的米约有
立方尺.
2.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后,所形成的几何体的体积是多少?
【解析】由题意,所形成的几何体为两个圆锥的组合体,如图
所示,两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD,
且BD=
=
,两个圆锥的高分别为AD和DC,
所以V=V1+V2=
πBD2·AD+
πBD2·CD
=
πBD2·(AD+CD)=
πBD2·AC
=
π×
×5=
π.
故所形成的几何体的体积是
π.
探究点二 球的表面积和体积
【典例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为
( )
A.64π
B.48π
C.36π
D.32π
(2)17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解,他们将体积
公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”,创用了求“玉积率”
的独特方法“会玉术”,其中,D为直径,类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方
形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V=kD3,其中,在等边圆柱
中,D表示底面圆的直径;在正方体中,D表示棱长.假设运用此“会玉术”求得
的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1,k2,k3,那么,k1∶k2∶k3=
( )
A.
∶
∶1
B.
∶
∶2
C.1∶3∶
D.1∶
∶
【思维导引】由已知可得等边△ABC的外接圆半径,进而求出其边长,得出OO1的
值,根据球截面性质,求出球的半径,即可得出结论.
(2)根据球、等边圆柱、正方体的体积公式分别求出k1,k2,k3的值,即得结论.
【解析】(1)选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,
得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin
60°=2
,
所以OO1=AB=2
,
根据球截面性质得OO1⊥平面ABC,
所以OO1⊥O1A,R=OA
=
所以球O的表面积S=4πR2=64π.
(2)选D.球中,V=
πR3=
π
=
D3=k1D3,所以k1=
;
等边圆柱中,V=π
·D=
D3=k2D3,所以k2=
;
正方体中,V=D3=k3D3,所以k3=1;
所以k1∶k2∶k3=
∶
∶1=1∶
∶
.
【类题通法】
求球的体积与表面积的策略
(1)计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.
(2)球的截面特点
①当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;
②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;
③若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=
.
【定向训练】
1.把一个铁制的底面半径为r,高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球,则这个铁球的半径为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为
πr2h=
πR3,所以R=
.
2.已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π,则这两个截面间的距离为________.?
【解析】若两个平行截面在球心同侧,如图①,则两个截面间的距离为
=1;
若两个平行截面在球心异侧,如图②,则两个截面间的距离为
+
=7.
答案:1或7
探究点三 常见几何体与球的切、接问题
【典例3】(1)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为
________.?
(2)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则
的值是__________.?
【思维导引】(1)正方体的体对角线的长即为外接球的直径.
(2)根据球的直径等于圆柱的高和圆柱的底面直径求解.
【解析】(1)设正方体棱长为a,则6a2=18?a2=3
,外接球直径为2R=
a=3,
V=
πR3=
π×
=
π.
答案:
(2)设球半径为r,则
=
.
答案:
【类题通法】
常见的几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)解决球与几何体的切、接问题的关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
(2)具体作法
①内切球问题:找过切点和球心的截面.
②外接球问题:由球心和几何体顶点抽象得出新几何体或过球心作截面.
【定向训练】
1.一球与棱长为2的正方体的各个面相切,则该球的体积为______.?
【解析】由题意可知球是正方体的内切球,因此球的半径为1,其体积为
π.
答案:
π
2.在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
【解析】方法一:作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,
则CC′=a,OC=
.
在Rt△C′CO中,由勾股定理得CC′2+OC2=OC′2,
即a2+
=R2,所以R=
a.
从而V半球=
×
R3=
×
=
a3.又V正方体=a3,
因此V半球∶V正方体=
a3∶a3=
π∶2.
方法二:将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的体对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,
得(2R)2=a2+a2+(2a)2,即4R2=6a2,所以R=
a.
从而V半球=
×
R3=
×
=
a3.
又V正方体=a3,因此V半球∶V正方体=
a3∶a3=
π∶2.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求圆锥的表面积应注意侧面展开图，底面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．
1.数学抽象：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式；
2.数学运算：求旋转体及组合体的表面积或体积；
3.数学建模：运用圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
1.
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积。
(1)公式法
(2)等积法
(3)补体法
(4)分割法
求几何体体积
的常用方法
课堂素养达标
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设底面圆半径为r,母线长为h,
所以h=2πr,则
=
=
=
=
.
2.圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其体积为
( )
A.15π
B.30
C.12π
D.36π
【解析】选C.圆锥的高h=
=4,
故V=
π×32×4=12π.
3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是
( )
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
【解析】选C.所得旋转体为圆柱,圆柱的底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.
4.已知两个球的半径之比为1∶2,则这两个球的表面积之比为
( )
A.1∶2
B.1∶4
C.1∶6
D.1∶8
【解析】选B.
=
=
=
=
.
5.半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为________.?
【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图所示,设圆锥底面半径为r,高为h,
则
所以
所以它的体积为
×π×12×
=
π.
答案:
π
