(共41张PPT)
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平 面
【情境探究】
1.生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、海平面都给我们以平面的形象,请问:生活中的平面有大小之分吗?
几何中的“平面”呢?如何表示平面?
提示:生活中的平面有大小之分.而几何中的“平面”是从生活中的物体抽象出来的,是平的,无限延展的,且无大小之分;平面可用α,β,γ等表示,也可用表示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写字母表示.
必备知识生成
2.如图所示,直线a与直线b相交于点A,用符号表示能否记为a∩b={A}?
提示:一般不记作a∩b={A},而记作a∩b=A,这里的A既是一个点,又可以理解为只含一个元素(点)的集合.
3.若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上,直尺的边缘上的其余点和桌面有何关系?
提示:直尺边缘上的其余点都在桌面上.
4.两个平面有三个公共点,这两个平面重合吗?
提示:不一定,当三点在同一条直线上时,不能判断两个平面重合;当三点不在同一条直线上时,根据不共线的三点确定一个平面,两平面重合.
5.观察正方体ABCD
-A1B1C1D1(如图所示),平面AB1D1与平面BCC1B1只有公共点B1吗?
提示:因为平面是可以无限延展的,所以平面AB1D1与平面BCC1B1不只有公共点B1,而是有一条公共直线.
【知识生成】
1.平面的概念
(1)平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.
(2)立体几何里的平面是从呈现平面形的物体中抽象出来的.如课桌面、黑板面、平静的水面都给我们平面的局部形象.
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个___________,
并且其锐角画成_____,且横边长等于邻边
长的__倍
一个平面被另一个平面遮挡住,为了增
强立体感,被遮挡部分用_____画出来
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示方法
(1)用_________表示,如平面α,平面β,平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的_________的大写字母表示,如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个_____表示,如平面AC,平面BD.
希腊字母
四个顶点
顶点
4.基本事实1
文字
语言
过_______的三点,有且只有一个平面
图形
语言
符号
语言
A,B,C三点_______?有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
作用
确定平面
证明四点共面
不共线
不共线
5.基本事实2
文字语言
如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在此平面内
图形语言
符号语言
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?_____
作用
判断点在平面内
判断直线在平面内
用直线检验平面
两个点
l?α
6.基本事实3
文字
语言
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
图形
语言
符号
语言
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
作用
确定平面相交
证明三线共点或三点共线
7.基本事实的推论
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
关键能力探究
探究点一 三种语言的转化
【典例1】(1)点P在直线a上,直线a在平面α内可记为( )
A.P∈a,a?α
B.P?a,a?α
C.P?a,a∈α
D.P∈a,a∈α
(2)用符号表示下列语句,并画出图形.
①平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
②点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
【思维导引】解决本例的关键是,要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“?”“?”“?”“∩”的意义.
【解析】(1)选A.点可看成元素,而直线、平面可看成是由点构成的集合,故选A.
(2)①用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
②用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C?AB,如图.
【类题通法】
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
(3)转化时要注意符号的使用,“∈”或“?”反映的是点与线,点与面的关系,而“?”或“?”反映的是直线与平面的关系.
【定向训练】
根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.
(1)A∈α,B?α.
(2)l?α,m∩α=A,A?l.
(3)P∈l,P?α,Q∈l,Q∈α.
【解析】(1)点A在平面α内,点B不在平面α内.
(2)直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点A,且点A不在直线l上.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.
图形分别如图①,②,③所示.
探究点二 点、线共面问题
【典例2】如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC
的中点,点G在PD上,且PG=
PD.证明:点A,E,F,G四点共面.
【思维导引】连接EF,AG,在平面ABCD内,连接AE并延长交DC的延长线于点M,在平面PCD内,连接GF并延长交DC的延长线于点M1,证明点M与点M1重合,进而可得结论.
【证明】连接EF,AG,在平面ABCD内,连接AE并延长
交DC的延长线于点M,则有CM=CD.
在平面PCD内,连接GF并延长交DC的延长线于点M1.
取GD的中点N,连接CN.
则由PG=
PD可知PG=GN=ND.
因为点F为PC的中点.所以在△PCN中有FG∥CN,即GM1∥CN.
所以在△GM1D中有CM1=CD.所以点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M.
所以A,E,F,G四点共面.
【类题通法】
证明点线共面的常用方法
(1)纳入平面法:先由基本事实1或其推论确定一个平面,再由基本事实2证明有关点线在此平面内.
(2)辅助平面法:先证明有关的点线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.
【定向训练】
1.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面.
【证明】已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.
求证:直线a,b,c和l共面.
如图所示,因为a∥b,所以直线a与b确定一个平面,设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由推论2知:经过两条相交直线,有且只有一个平面,所以平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
2.已知E、F分别是正方体ABCD
-A1B1C1D1的棱AB,BC的中点.求证:A1,C1,E,F四点共面.
【证明】在正方体ABCD
-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,所以四边形ACC1A1为平行四边形,所以A1C1∥AC.
因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF∥AC.
所以A1C1∥EF.所以直线A1C1与EF确定一个平面α,
所以A1,C1,E,F四点共面于平面α.
探究点三 点共线、线共点问题
【典例3】已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
【思维导引】(1)考虑P,Q,R三点分别在哪几个平面上.
(2)考虑在两个相交平面上的点,有什么特点.
【证明】方法一:因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
所以P,Q,R三点共线.
方法二:因为AP∩AR=A,
所以直线AP与直线AR确定平面APR.
又因为AB∩α=P,AC∩α=R,
所以平面APR∩平面α=PR.
因为B∈面APR,C∈面APR,所以BC?面APR.
又因为Q∈面APR,Q∈α,
所以Q∈PR.所以P,Q,R三点共线.
【类题通法】
证明多点共线的方法
(1)选择两点确定一条直线,然后证明其他点在这条直线上;
(2)证明这些点都在两个平面内,而两平面相交,因此这些点都在两平面的交线上.
【定向训练】
1.如图,正方体ABCD
-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.
【证明】连接A1C1,由AA1∥CC1,得AA1与CC1确定一个平面A1ACC1.
因为A1C?平面A1ACC1,而O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1.
又A1C∩平面BC1D=O,所以O∈平面BC1D.
所以O点在平面BC1D与平面A1ACC1的交线上.
又AC∩BD=M,所以M∈平面BC1D且M∈平面A1ACC1.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1ACC1,
所以平面A1ACC1∩平面BC1D=C1M,所以O∈C1M,
即C1,O,M三点共线.
2.如图,已知平面α,
β,
且α∩β=l.
设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB?α,CD?β.
求证:AB,CD,l共点(相交于一点).
【证明】因为梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB,CD必定相交于一点.
设AB∩CD=M.
又因为AB?α,CD?β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共点(相交于一点).
【课堂小结】
课堂素养达标
1.下列说法中正确的个数为
( )
①书桌面是平面;②8个平面重叠后,要比6个平面重叠后厚;③有一个平面的长是100
m,宽是90
m;④平面是绝对平滑,无厚度,无限延展的抽象概念.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.①错误,因为平面具有延展性;②错误,平面无厚度;③错误,因为平面无厚度、大小之分;④正确,符合平面的概念.
2.平行六面体ABCD
-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】选C.依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行的棱有AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1,故符合条件的棱共有5条.
3.任意三点可确定平面的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.1或无数个
【解析】选D.当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.
4.看图填空:
(1)AC∩BD=__________;?
(2)平面AA1B1B∩平面A1D1C1B1=__________;?
(3)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________;?
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=____________.?
答案:(1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1(共41张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
【情境探究】
1.空间中,没有公共点的两条直线一定平行吗?
提示:不一定,在平面内没有公共点的两条直线平行,在空间没有公共点的两条直线可能平行,也可能异面.
必备知识生成
2.如图长方体,观察图中的直线,你能得出哪些位置关系?
提示:①平行关系:图中AD与BC,BC与B1C1等所在直线是平行关系.
②相交关系:图中AB与BC,A1B与BC等所在直线是相交关系.
③异面关系:图中AA1与BC所在直线,它们既不相交也不平行,是异面关系.
3.观察如图所示的长方体ABCD
-A′B′C′D′,回答下面问题.
(1)①直线D′C与平面DCC′D′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面DCC′D′有无数个公共点.
②直线D′C与平面BCC′B′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面BCC′B′有一个公共点.
③直线D′C与平面ABB′A′有多少个公共点?
提示:直线D′C与平面ABB′A′没有公共点.
(2)直线D′C与平面DCC′D′,平面BCC′B′,平面ABB′A′存在怎样的位置关系?
提示:直线D′C在平面DCC′D′内,与平面BCC′B′相交,与平面ABB′A′平行.
4.观察如图长方体ABCD?A′B′C′D′,
在长方体的6个面中,两两之间的位置关系有几种?
提示:有两种位置关系:平行与相交,如平面AA′B′B∥平面DD′C′C,平面AA′B′B与平面BB′C′C相交于直线BB′.
【知识生成】
1.点、直线、平面位置关系的符号表示
一般用符号“∈”“∩”“?”等描述点、直线、平面之间的位置关系.若A是点,l,m是直线,α,β是平面,则有:
图形语言
文字语言
符号语言
点A在直线l上
____
点A在直线l外
___
点A在平面α内
______
点A在平面α外
_____
直线l在平面α内
_____
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
图形语言
文字语言
符号语言
直线l在平面α外
____
直线l,m相交于点A
______
直线l与平面α
相交于点A
_______
平面α,β相交于直线l
________
l?α
l∩m=A
l∩α=A
α∩β=l
2.异面直线的定义及画法
(1)异面直线:不同在_________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(平面衬托法):
如图(1)(2)所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或
两个平面来衬托.
任何一个
3.空间直线的位置关系
(1)从是否有公共点的角度来分:
(2)从是否共面的角度来分:
4.直线与平面的位置关系
位置
关系
直线a在平面
α内
直线a与平面
α相交
直线a与平面
α平行
公共点
个数
_______
____
____
符号
语言描述
_____
________
______
图形
语言描述
直线与平面相交或平行的情况统称为_____________.
无数个
1个
0个
a?α
a∩α=A
a∥α
直线在平面外
5.平面与平面的位置关系
位置关系
图形语言描述
符号语言描述
公共直线
两平面
平行
_______
无
两平面
相交
_________
_______________
α∥β
α∩β=a
有一条公共直线
关键能力探究
探究点一 用图形和符号语言表示点、线、面之间的位置关系
【典例1】如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
(1)图(1)可以用几何符号表示为:________;?
(2)图(2)可以用几何符号表示为:________.?
【思维导引】解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面、平面与平面的位置关系,最后再用符号语言写出.
【解析】(1)图(1)可以用几何符号表示为:
α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB,a∥b,
即平面α与平面β相交于直线AB,直线a在平面α内,直线b在平面β内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB.
(2)图(2)可以用几何符号表示为:α∩β=MN,
△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B?MN,C?MN.
即平面α与平面β相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在α内但不在直线MN上,点C在平面β内但不在直线MN上.
答案:(1)α∩β=AB,a?α,b?β,a∥AB,b∥AB,a∥b
(2)α∩β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,C∈β,B?MN,C?MN
【类题通法】
用符号语言表示点、线、面位置关系
(1)关键是正确理解点、线、面表示的含义,点表示元素,线、面都是点的集合.
(2)符号语言是数学中常用的一种语言,熟练掌握它与自然语言、图形语言之间的转化,是解决几何问题的基础.
【定向训练】
用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α、β、γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与
平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;
(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
【解析】(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,
β∩γ=PC.图形表示:如图1所示.
(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.
图形表示:如图2所示.
【补偿训练】
1.若点M在直线a上,a在平面α内,则M、a、α间的关系可记为________.?
答案:M∈a,a?α,M∈α
2.根据图形,填入相应的符号:
A______平面ABC,A______平面BCD,BD______平面ABC,
平面ABC∩平面ACD=______.?
答案:∈ ? ? AC
探究点二 空间点、线、面的位置关系
【典例2】已知长方体ABCD
-A1B1C1D1,如图所示,AC与BD相交于点M,则下列说法正确的是( )
①点M在直线AC上,点B在直线A1B1外;
②直线AC与A1D1相交;
③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行;
④直线AC与平面A1B1C1D1异面;
⑤直线BC与A1B1异面.
A.①③④
B.①②⑤
C.①③⑤
D.②③④⑤
【思维导引】根据图形直接作出判断.
【解析】选C.①中,点M是直线AC与BD的交点,点M在直线AC上,点B显然在直线A1B1外,正确;②中,直线AC与A1D1异面,错误;③中,两平面没有公共点,互相平行,正确;④中,直线与平面的位置关系中没有“异面”,直线AC与平面A1B1C1D1平行,错误;⑤正确.
【类题通法】
本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系,做题时,不要主观臆断,要认真观察模型,体会其空间关系.
【定向训练】
已知两平面α,β平行,且a?α,下列四个命题:①a与β内的所有直线平行;
②a与β内无数条直线平行;③a与β无公共点.其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选B.①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行,有一些是异面直线;②正确;③根据定义a与β无公共点,正确.
探究点三 空间两直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定
【典例3】已知a、b、c是空间三条直线,下面给出三个说法:
①如果a⊥b,b⊥c,那么a∥c;
②如果a、b是相交直线,b、c是相交直线,那么a、c也是相交直线;
③如果a、b共面,b、c共面,那么a、c也共面.
在上述说法中,正确说法的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【思维导引】从是否有公共点和是否共面考虑.
【解析】选A.①a与c可能相交,可能平行也可能异面;
②a与c可能异面,可能相交,也可能平行;
③a与c可能不在一个平面内.
故①②③均不正确.
【类题通法】
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.直线与平面位置关系的判定方法
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,根据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.
3.面面位置关系的两种判定方法
(1)定义法:仔细分析题目条件,将自然语言转化为图形语言,通过图形借助定义确定两平面的位置关系.
(2)借助几何模型判断:线、面之间的位置关系在长方体(或正方体)中都能体现,所以对于位置关系的判断要注意利用这一熟悉的图形找到反例或对应的关系.
【定向训练】
1.给出以下结论:(1)直线a∥平面α,直线b?α,则a∥b;(2)若a?α,b?α,则a,b无公共点;(3)若a?α,则a∥α或a与α相交;(4)若a∩α=A,则a?α.正确的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.结合直线与平面的位置关系可知,(1)(2)错误,(3)(4)正确.
2.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a?α,则a与β一定相交.
其中正确的序号是__________(将你认为正确的序号都填上).?
【解析】①错,a与b也可能异面;②错,a与b也可能平行;③对,因为α∥β,所以α与β无公共点,又因为a?α,b?β,所以a与b无公共点,即a与b平行或异面,即a与b一定不相交;由③知④对;⑤错,直线a可能平行于平面β,如图.
答案:③④
【课堂小结】
课堂素养达标
1.圆柱的两个底面的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.平行或异面
D.相交或异面
【解析】选B.圆柱的两个底面无公共点,则它们平行.
2.异面直线是( )
A.空间不相交的两条直线
B.分别位于两个平面内的直线
C.平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.根据异面直线的概念可知.
3.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的
( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交
【解析】选D.直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.
4.空间三条直线互相平行,由每两条平行直线确定一个平面,则可以确定平面的个数为________.?
【解析】三条直线在同一平面内时确定一个平面,三条直线不在同一个平面内时确定三个平面.
答案:1或3
